2016-2017学年高中数学第1讲不等式和绝对值不等式2.2绝对值不等式的解法学案新人教

1、2.绝对值不等式的解法（II学习目标导航I-1.理解绝对值的几何意义，掌握去绝对值的方法.（难点）2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax+b| c; |xa| + |xb| c； |xa| + |xb|wc.（重点）3能利用绝对值不等式解决实际问题.1. 利用绝对值不等式的几何意义求解.2. 利用零点分段法求解.3. 构造函数，利用函数的图象求解.认知侦习质疑（知识梳理要点初疣）教材整理 1 绝对值不等式|x|a的解集不等式a0&a=0a0|x|axaxax|xa或xc?ax+bc或ax+bw c.-JIAA不等式|x+ 1| 3 的解集是(A.x|xv4 或x2C.

2、x|xv4 或x2B. x|4vxv2D.x|4wxv2【解由 |x+ 1| 3,得x+ 1 3 或x+ 1v3,因此xv 4 或x2.【答教材整理3|xa| + |xb| c, |xa| + |xb|wc(c0)型不等式的解法阅读教材P17P19,完成下列问题.基础初探阅读教材 P15P15倒数第 2 行以上部分，完成下列问题.2-O体验-不等式 Ix+ 1| + |x+ 2|V5 的解集为()A.( 3,2)B. ( 1,3)C. ( 4,1)【解析】 |x+ 1| + |x+ 2|表示数轴上一点到2, 1 两点的距离和，根据2, 1之间的距离为 1，可得到一 2, 1 距离和为 5 的点

3、是一 4,1.因此|x+ 1| + |x+ 2|V5 解集是 (4,1)例求解下列不等式.(1)|3x1|w6;(2)3w|x2|V4;(3)|5xx|V6.【精彩点拨】(1)因为 |3x1|W6?6W3X1W6,所以原不等式的解集是57ix13wxw3;(2) 3W|x 2|V4,.3Wx 2V4 或一 4Vx 2w3，即 5wxV6 或一 2Vxw1.所以原不等式的解集为x| 2Vxw 1 或 5wXV6.22法一 由 |5xx|V6，得 |x 5x|V6.2【答案】 C质疑手记疑问 1：预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流:解惑：疑问 2:解惑：疑问 3:解惑：阶段2合

4、作探究通关小组合作型类型1Iax+b|wc与|ax+b| c型不等式的解法:分纽讨论疑难细究关键是去绝对值符号，转化为不含绝对值符号的不等式.【自主解即一 5 0,x2x3 0,|x5x6v0,x bx+ v0,xv2 或x3,即.1vxv6. 1vxv2 或 3vxv6.原不等式的解集为x| 1vxv2 或 3vxv6. 法二 作函数y=x2 5x的图象，如右图所示.|x2 5x|v6 表示函数图象中直线y= 6 和直线y= 6 之间相应部分的自变量的集合.2解方程x 5x= 6,得xi= 1,X2= 6.解方程x 5x= 6,得xi= 2,x2= 3.即得到不等式的解集是x| 1vxv2

5、或 3vxv6.名师应7 ff1.形如av|f(x)|vb(ba0)型不等式的简单解法是利用等价转化法，即av|f(x)|vb(0vavb) ?avf(x)vb或一bvf(x)va.2.形如|f(x)|va, |f(x)| a(a R)型不等式的简单解法是等价命题法，即(1) 当a0 时，|f(x)|va? avf(x)va.|f(x)| a?f(x) a或f(x)va.(2) 当a= 0 时，|f(x)|va无解.|f(x)| a? |f(x)|丰0.(3) 当av0 时，|f(x)|va无解.|f(x)| a?f(x)有意义.再练一题1.解不等式：(1)3v|x+2|6.【解】(1)13v

6、|x+ 2| 4,二 3vx+ 2W4或一 4Wx+ 2v3, 即卩 1vx2或一 6x4v5,所以原不等式的解集为 x|1vx2或一 66.【自主解答】由f(x)w3,得|xa|w3,解得a 3wxwa+ 3.又已知不等式f(x)w3的解集为x| iwxw5,a 3 = 1,所以解得a= 2.a+ 3=5,(2)法一由(1)知a= 2,此时f(x) = |x 2| , 设g(x) =f(x) +f(x+ 5) = |x 2| + |x+ 3| ,| -2x- 1,x2.因此g(x) =f(x) +f(x+ 5) m对x R 恒成立，知实数m的取值范围是(一a,5.法二当a= 2 时，f(x)

7、 = |x 2|.设g(x) =f(x) +f(x+ 5) = |x 2| + |x+ 3|.由 |x 2| + |x+ 3| |(x 2) (x+ 3)| = 5(当且仅当一 3wxw2时等号成立)，得g(x)的最小值为 5.因此，若g(x) =f(x) +f(x+ 5) m恒成立,则实数m的取值范围是(一a,5.1第问求解的关键是转化为求f(x) +f(x+ 5)的最小值，法一是运用分类讨论思想,利用函数的单调性；法二是利用绝对值不等式的性质(应注意等号成立的条件).(1)若不等式f(x)w3的解集为x| iwxw5，求实数a的值； 在 的条件下，若f(x) +f(x+ 5) m对一切实数

8、x恒成立，求实数m的取值范围.x+f x+ j 的最小【精彩点解f x；,由集合相等，求a求y=f值，确定m勺取值范利用g(x)的单调性,g(x)的最小值为 5.已知函数f(x) =|xa|.62将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，这是命题的新动向解题时 应强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活运用.I_I再练一题2.关于x的不等式 lg(|x+ 3| - |x 7|)m当作 1 时，解此不等式；(2)设函数f(x) = lg(|x+ 3| |x 7|)，当m为何值时,f(x)m恒成立？【解】当m= 1 时，原不等式可变为0|x+ 3| |x 7|10，可得其解集为x|2x7.

9、(2)设t= |x+ 3| |x 7| ,则由对数定义及绝对值的几何意义知0t7时，lgt= 1,故只需m1 即可，即m1 时，f(x)c, |xa| + |xb| 0)型不等式的三种解法：分区间(分类) 讨论法、图象法和几何法.分区间讨论的方法具有普遍性，但较麻烦；几何法和图象法直观，但只适用于数据较简单的情况.I_Z_ I再练一题3.已知函数f(x) = |x 8| |x4|.(1)作出函数f(x)的图象；(2)解不等式f(x)2.4,x4,$122x,48.函数的图象如图所示.(2)不等式 |x 8| |x 4|2，即f(x)2.【解】(1)f(x) =3名师j8由一 2x+ 12= 2

10、,得x= 5,9含两个绝对值的不等式的解法含参数的绝对值不等式问题1.不等式|x| (1 2x)0 的解集是(【解析】 原不等式等价于，1 2x0,解得xc型不等式绝对值不等式的解法阶段3体验落实评价(课堂回靖即时达标C.-pmB. (m,)UB. ( 2,2)A.21,10【解析】|.2|1? |x+ 1| |x+ 2|，且x+ 2H0.|x+ 2|114.（2016 重庆七校联盟）在实数范围内，不等式 |2x 1| + |2x+ 1|6的解集为知（如图），当3XW2 时，不等式x1+X+13成立.【答案】5 .解关于x的不等式|2x 1|v2m1( m R).【解】 若 2m-1 0，即m

11、 ,则一(2m 1)v2x 1v2m 1，所以 1 mvxvm综上所述：，原不等式的解集为x|1 mvxvn.A 凡P励志-乂 /、 丿 我还有这些不足：/A我的课下提升方案:(1)学业分层测评（五）（建议用时：45 分钟）学业达标、选择题1 不等式 1|X+ 1|3 的解集为()A. (0,2)B. (2,0)U(2,4)【答X X-3且x丰一2【解不等式 |2x 1| + |2x+ 1|6? 3,由绝对值的几何意义当m12C. (4,0)D.(4,2)U(0,2)【解析】 由 1|x+ 1|3，得1x+ 13 或3x+ 1 1, 0 x2 或4x的解集是（）xxA. (0,2)B. (g,

12、0)C. (2 ,+汶）D.(g,0)U(2,+gx 2x 2x 2【解析】 由绝对值的意义知，等价于厂0,即x（x 2）0,解得 0 xa的解集为 R,则实数a的取值范围是（）A.a3B.a3D.av3【解析】 令t= |x+ 1| + |x 2|，由题意知只要tmina即可，因为 |x+ 1| + |x2|（x+ 1） （x 2）| = 3，所以tmin= 3, aw3.即实数a的取值范围是（一R,3，故选 B.【答案】 B5.设集合A= x|xa|2 ,xR，若A?B,则实数a,b必满足（）A. |a+b|w3B. |a+b|3C. |ab|w3D.|ab|3【解析】 由|xa|1，得a

13、 1x2，得xb+ 2. A? B,.a1b+ 2 或a+13或ab3.【答案】 D二、填空题6不等式|x 5| |x+ 3|4的解集为【导学号：32750023】【解析】 当x4恒成立；当34,解得xW 1,所以3Wxw 1;当x5 时，原不等式为(x 5) (x+ 3) 4, 无解.综上可知，不等式|x 5| |x+ 3|4的解集为x|x 1.【答X|XW17.若关于x的不等式|ax 2|3 的解集为f5xx-(1.133：【解ax 2|3 , 1ax0 时,15axa，与已知条件不符;当a= 0 时，x R,与已知条件不符;当a0 时,51ax-a.又不等式的解集为3 x|x+ 2+ 1

14、 x| = 3,知a3时，原不等式无解.法二：数轴上任一点到 2 与 1 的距离之和最小值为 3.【解所以当aax+1 的解集为x|x0, 则y匸x,xV0.在同一直角坐，则a= _14、儿*1k0XT|x| ax+ 1,只需考虑函数yi= |x|的图象位于y2=ax+ 1 的图象上方的部分，可知a 1, 即a的取值范围是1 ,+).10.已知函数f(x) = |x 3| + |x-2| +k.(1) 若f(x)3恒成立，求k的取值范围；(2) 当k= 1 时，求不等式f(x)3,对任意x R 恒成立，即(|x 3| + |x 2|)min3k.又|x 3| + |x 2| |x 3 x+ 2

15、| = 1, (|x 3| + |x 2|)min= 13k，解得k2.当x6，解得x-,-TX3时，x 4, x3.综上，解集为i-，+s.能力提升1. 如果关于x的不等式|xa| +1x+ 4|1的解集是全体实数，则实数a的取值范围 是()A. ( a,3U5，+m)B. 5, 3C. 3,5D. (a, 5U3,+)【解析】 在数轴上，结合绝对值的几何意义可知aw 5 或a 3.【答案】 D2.若关于x的不等式|x+1| kx恒成立，则实数k的取值范围是()A. (a,0B. 1,0C. 0,1D.0, +a)【解析】 作出y=|x+ 1|与y=kx的图象，如图，当kv0 时，直线一定经

16、过第二、四象限，从图看出明显不恒成立；当k= 0 时，直线为x轴，符合题意；当k0 时，要使|x+1| kx恒成立，只需kw1.当 2x2，解得x3,2xa的解集为 R（其中 R 是实数集），则实数a的取值范围是_ .【解析】 不等式|x 1| + |xa| a恒成立,a不大于|x 1| + |xa|的最小值，.|x1| + |xa| |1 a| ,|1 一a|a,1 一aa或 1 一awa,解得aw4.已知a R,设关于x的不等式|2xa| + |x+ 3|2x+ 4 的解集为A若 a= 1，求A；若A= R,求a的取值范围.【导学号：32750024】【解】当xw3 时，原不等式化为3x

17、22x+ 4,得xw3.1当一 3vxw时，原不等式化为 4 x2x+ 4，得一 3vxw0.2 AJ1当x2 时，原不等式化为 3x+ 22x+ 4，得x2.综上，A= x|xw0或x2.(2)当xw 2 时，|2xa| + |x+ 3| 02x+ 4 成立. v当x 2 时，|2xa| + |x+ 3| = |2xa| +x+ 32x+ 4，所以a+ 1w2 或a+ 1w号，得aw2.综上，a的取值范围为（一a，2.探究 怎样解|xa| + |xb|wc和|xa| +1xb| c型不等式？【提示】 求解这类绝对值不等式，主要的方法有如下三种：(1)(几何法)利用绝对值的几何意义求解.只要找到【答得xa+ 1 或xwa 1216使|xa| + |xb| =c成立的x值,依据“大于取两边，小于取中间”的法则写出不等式的解集即可.(2)(分段讨论法)分段讨论去掉绝对值符号，以a,b为分界点，将实数集分为三个区间，在每个区间上xa,xb的符号都是确定的，从而去掉绝对值符号.(3)(图象法)联系函数图象，通过分析函数值的取值范围得到不等式的解集.例 (1)解不等式