第六章参数估计(zuizhong)

1、 第一节第一节 参数估计的一般问题参数估计的一般问题 第二节第二节 一个总体参数的区间估计一个总体参数的区间估计 第三节第三节 样本容量的确定样本容量的确定2022-3-201参参数数估估计计在在统统参数估计参数估计假设检验假设检验 统计方法统计方法描述统计描述统计推断统计推断统计2022-3-202统统计计推推总体均值、比总体均值、比率、方差等率、方差等2022-3-203参参数数 抽样估计就是根据样本提供的信息对抽样估计就是根据样本提供的信息对总体的某些特征进行估计或推断。用总体的某些特征进行估计或推断。用来估计总体特征的样本指标也叫估计来估计总体特征的样本指标也叫估计量或统计量，待估计的

2、总体指标也叫量或统计量，待估计的总体指标也叫总体参数，所以抽样估计又称参数估总体参数，所以抽样估计又称参数估计。计。2022-3-204 估计废品率估计废品率估计新生儿的体重估计新生儿的体重估计湖中鱼数估计湖中鱼数 估计降雨量估计降雨量2022-3-205 一、估计量与估计值一、估计量与估计值 二、点估计与区间估计二、点估计与区间估计 三、评价估计量的标准三、评价估计量的标准2022-3-206估计量与估计值估估计计量量1. 估计量：用于估计总体参数的随机变量估计量：用于估计总体参数的随机变量如样本均值，样本比率、样本方差等如样本均值，样本比率、样本方差等如样本均值就是总体均值如样本均值就是总

3、体均值 的一个估计的一个估计量量2. 参数用参数用 表示，估计量表示，估计量用用 表示表示3. 估计值：估计参数时计算出来的统计量的具估计值：估计参数时计算出来的统计量的具体值体值如果样本均值如果样本均值 x =80，则，则80就是就是的估计的估计值值2022-3-208点估计与区间估计参参数数估估估估 计计 方方 法法点点 估估 计计区间估计区间估计2022-3-2010用样本的估计量直接作为总体参数的估计用样本的估计量直接作为总体参数的估计值值如用样本均值直接如用样本均值直接作为作为总体均值的估计总体均值的估计如用两个样本均值之差直接如用两个样本均值之差直接作为作为总体均总体均值之差的估计

4、值之差的估计 没有给出估计值接近总体参数程度的信息没有给出估计值接近总体参数程度的信息 点估计的方法有矩估计法、顺序统计量法、点估计的方法有矩估计法、顺序统计量法、最大似然法、最小二乘法等最大似然法、最小二乘法等2022-3-20111222nXXsPpX2022-3-2012区区间间估估计计(inter在点估计的基础上，给出总体参数估在点估计的基础上，给出总体参数估计的一个区间范围，该区间是由样本计的一个区间范围，该区间是由样本统计量加减抽样误差而得到的统计量加减抽样误差而得到的根据样本统计量的抽样分布能够对样根据样本统计量的抽样分布能够对样本统计量与总体参数的接近程度给出本统计量与总体参数

5、的接近程度给出一个概率度量一个概率度量2022-3-2013 3.3.设总体参数为设总体参数为 ， 为样本确定的为样本确定的两个统计量，对于给定的两个统计量，对于给定的 ，有，有P( )=1- ，称（，称（ ， ）为参数）为参数 的置信度为的置信度为 1- 的置信区间，的置信区间， 、 分分别称为置信下限、上限，通称置信限，别称为置信下限、上限，通称置信限，为显著性水平，为显著性水平， 1- 为置信度。为置信度。 常用的置信水平值有常用的置信水平值有 99%, 95%, 90% 相应的相应的为为0.01，0.05，0.10LU) 10(ULLUUL2022-3-2014 注意对上式的理解：注意

6、对上式的理解： 例如抽取了例如抽取了1000个样本，根据每一个样本均值个样本，根据每一个样本均值构造了一个置信区间，这样，由构造了一个置信区间，这样，由1000个样本构个样本构造的总体参数的造的总体参数的1000个置信区间中，有个置信区间中，有95%的的区间包含了总体参数的真值，而区间包含了总体参数的真值，而5%的置信区间的置信区间则没有包含。这里，则没有包含。这里，95%这个值被称为置信水这个值被称为置信水平（或置信度）。平（或置信度）。 一般地，将构造置信区间的步骤重复很多次，一般地，将构造置信区间的步骤重复很多次，置信区间包含总体参数真值的次数所占的比例置信区间包含总体参数真值的次数所占

7、的比例称为置信水平。称为置信水平。2022-3-2015区区间间估估计计(inter比如，某班级平均分数在比如，某班级平均分数在7585之间，之间，置信水平是置信水平是95% 2022-3-2016置置信信区区间间( (c co on nf fi id d由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称为置信区间为置信区间统计学家在某种程度上确信这个区间会包含真统计学家在某种程度上确信这个区间会包含真正的总体参数，所以给它取名为置信区间正的总体参数，所以给它取名为置信区间 用一个具体的样本所构造的区间是一个特定的用一个具体的样本所构造的区间是一个特定的区间，我们

8、无法知道这个样本所产生的区间是区间，我们无法知道这个样本所产生的区间是否包含总体参数的真值否包含总体参数的真值我们只能是希望这个区间是大量包含总体参我们只能是希望这个区间是大量包含总体参数真值的区间中的一个，但它也可能是少数数真值的区间中的一个，但它也可能是少数几个不包含参数真值的区间中的一个几个不包含参数真值的区间中的一个2022-3-2017置置信信区区间间( (c co on nf fi id d我们用我们用95%的置信水平得到某班学生考试成的置信水平得到某班学生考试成绩的置信区间为绩的置信区间为60-80分，如何理解？分，如何理解？错误的理解：错误的理解：60-80区间以区间以95%的

9、概率包含的概率包含全班同学平均成绩的真值；或以全班同学平均成绩的真值；或以95%的概率的概率保证全班同学平均成绩的真值落在保证全班同学平均成绩的真值落在60-80分分之间。之间。正确的理解：如果做了多次抽样（如正确的理解：如果做了多次抽样（如100次），大概有次），大概有95次找到的区间包含真值，有次找到的区间包含真值，有5次找到的区间不包括真值。次找到的区间不包括真值。2022-3-2018置置信信区区间间( (c co on nf fi id d真值只有一个，一个特定的区间真值只有一个，一个特定的区间“总是包含总是包含”或或“绝对不包含绝对不包含”该真值。但是，用概率可以该真值。但是，用概

10、率可以知道在多次抽样得到的区间中大概有多少个区知道在多次抽样得到的区间中大概有多少个区间包含了参数的真值。间包含了参数的真值。如果大家还是不能理解，那最好这样回答有如果大家还是不能理解，那最好这样回答有关区间估计的结果：关区间估计的结果：该班同学平均成绩的置信区间是该班同学平均成绩的置信区间是60-80分，分，置信度为置信度为95%。2022-3-2019置置信信区区间间xxx2022-3-2020 xxzx22022-3-2021评价估计量的标准无无偏偏性性(unbi 无偏性：估计量抽样分布的数学期望等于无偏性：估计量抽样分布的数学期望等于被估计的总体参数被估计的总体参数2022-3-202

11、3无无偏偏性性(unbis 设为总体未知参数的估计量设为总体未知参数的估计量 若若 则称是的无偏估计量，称具有无则称是的无偏估计量，称具有无偏性。如果偏性。如果 是有偏估计量，则它的是有偏估计量，则它的偏差量为偏差量为)(E偏差偏差= = ）（E2022-3-2024u注注:)(xEx具有无偏性。具有无偏性。 ，对于对于 22)(11xxnsi22)(sE，2s具有无偏性具有无偏性无无偏偏性性(unbi2022-3-2025一一致致性性(con 一致性：随着样本容量一致性：随着样本容量n的增大，估计量的的增大，估计量的值越来越接近被估计的总体参数值越来越接近被估计的总体参数2022-3-202

12、6一一致致性性(conu如果对任意小的正数，有如果对任意小的正数，有u则称，则称， 是是 的一致估计量，称的一致估计量，称 具有具有一致性，可证明一致性，可证明 均具有一致性均具有一致性1limPn2Sx与2022-3-2027有有效效性性(eff点点估估计计量，量，有有更更小小标标准准差差的的估估计计量量更更有有效效122022-3-2028有有效效性性(eff 如果如果 和和 都是总体参数都是总体参数 的无偏估的无偏估计量，计量， 如果如果 ，则说明估计量，则说明估计量 比比 更有效的估计量。更有效的估计量。122212122022-3-2029 一一、总体均值的区间估计、总体均值的区间估

13、计 二、总体比率的区间估计二、总体比率的区间估计 三、总体方差的区间估计三、总体方差的区间估计2022-3-2030一一个个总总体体参参2xp2s2022-3-2031总体均值的区间估计(大样本)总体服从正态分布总体服从正态分布,2 2已知时，或总体不是正态分已知时，或总体不是正态分布但为大样本时，样本均值的抽样分布均为正态分布但为大样本时，样本均值的抽样分布均为正态分布，其数学期望为总体均值布，其数学期望为总体均值，方差为，方差为2 2 /n /n。而。而样本经过标准化以后的随机变量则服从标准正态分样本经过标准化以后的随机变量则服从标准正态分布，即：布，即：根据区间估计的定义，在根据区间估计

14、的定义，在1置信度下，总置信度下，总体均值体均值的置信区间为：的置信区间为：122zzzP)1 ,0( Nnxz总总体体均均值值的的区区2022-3-2033 即：即： 从而有从而有 即在即在1置信度下，置信度下， 的置信区间为：的置信区间为：),(22nzXnzX总总体体均均值值的的区区122znXzP122nzXnzXP2022-3-20342022-3-20352022-3-2036=1028.109,44.10192.336.105251096.136.1052nzx36.105x2022-3-2037总总体体均均值值的的区区总体服从正态分布但总体服从正态分布但2 2未知，或总体不未知

15、，或总体不服从正态分布，只要是在大样本条件下，服从正态分布，只要是在大样本条件下，只需用样本方差只需用样本方差s s2 2代替总体方差代替总体方差2 2 ，这时总体均值这时总体均值 在在1-a1-a置信水平下的置信置信水平下的置信区间可以写为：区间可以写为：),(22nszXnszX2022-3-20382022-3-203963.41,37.3713.25.393677.7645.15.392nszx5 .39x77. 7s例例题题2022-3-2040某企业生产某种产品的工人有某企业生产某种产品的工人有1000人，某日采用不人，某日采用不重复抽样从中随机抽取重复抽样从中随机抽取100人调查

16、他们的当日产人调查他们的当日产量，样本人均产量为量，样本人均产量为35件，产量的样本标准差为件，产量的样本标准差为4.5件，试以件，试以95.45%的置信度估计平均产量的抽的置信度估计平均产量的抽样极限误差和样极限误差和置信区间。置信区间。解：解：x=35，S=4.5，n=100，属于大样本，所以，属于大样本，所以已知已知1- =0.9545,查查Z 1-/2=Z0.97725=2,则则件）(43.0)10001001(1005.4)1()(22_NnnSx件）(86. 043. 02)(_2_xZx2022-3-2041置信区间为置信区间为 ，即在，即在34.14至至35.86件之间件之间.

17、86. 03586. 035 即（即（34.14，35.86）2022-3-2042总总体体均均值值的的区区u总体服从正态分布，若总体服从正态分布，若2未知，且未知，且n30时时 ,则需要用样本方差则需要用样本方差s2代替总体方差代替总体方差2 ，这时，这时样本均值经标准化后的随机变量服从自由度样本均值经标准化后的随机变量服从自由度为（为（n-1）的）的t分布，即分布，即u所以所以u即即12/ttP12/2/tnSXtP)1(ntnsxt2022-3-2043总总体体均均值值的的区区 即在即在1置信度下，置信度下，的置信区间为的置信区间为nstx212/2/nStXnStXP2022-3-20

18、442022-3-20452022-3-20462 .1503, 8 .14762 .1314901677.24131.214902nstx2022-3-2047总体比率的区间估计假定条件假定条件总体服从二项分布总体服从二项分布可以由正态分布来近似可以由正态分布来近似使用正态分布统计量使用正态分布统计量 z) 1 , 0()1 (Nnpz)()-1 ()1 (22未知时或nppzpnzp2022-3-2049%35.74%,65.55%35. 9%65100%)651%(6596. 1%65)1 (2nppzp2022-3-2050总体方差的区间估计1.估计一个总体的方差或标准差估计一个总体的方差或标准差2.假设总体服从正态分布假设总体服从正态分布3.总体方差总体方差 2 的点估计量为的点估计量为s2,且且11222nsn111122122222nsnnsn2