高中数学：异面直线所成的角求法(汇总大全)

1、异面直线所成的角一、平移法：常见三种平移方法：直接平移：中位线平移（尤其是图中出现了中点）：补形平移法：”补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。直角平移法：1 .在空间四边形ABCD中，AD=BC=2,E,F分另为AB、CD的中点，EF=&,求AD、BC所成角的大小.解：设BD的中点G,连接FG,EG。在EFGEF=,值FG=EG=1./EGF=1200.AD与BC成60°的角。2 .正ABC的边长为a,S为ABC所在平面外的一点，SA=SB=SC=a,E,F分别是SC和AB的

2、中点.求异面直线SA和EF所成角.正确答案：45°3 .S是正三角形ABC所在平面外的一点，如图SA=SB=SC,且ASB=BSC=CSA=-,M、N分别是AB和SC的中点.求异面直线SM与BN所成的角的余弦值.证明：连结CM,设Q为CM的中点，连结QN,则QN/SM/QNB是SM与BN所成的角或其补角连结BQ,设SC=a,在BQN中COS/ QN及BN2 NQ2 BQ22BN NQ.105BN=aNQ=?SM=字aBQ=44a4 .如图，在直三棱柱ABCAiBiCi中，/BCA=90°,M、N分别是AiBi和A。的中点,若BC=CA=CCi,求BM与AN所成的角.解：连接

3、MN,作NG/BM交BC于G,连接AG,易证/GNA是BM与AN所成的角.设：BC=CA=CCi=2,则AG=AN=%：5,GN=BM=芯，可编辑cos/GNA=,30TO-5.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点.求AE与DF所成的角。证明：取AB中点G,连结AiG,FG,因为F是CD的中点，所以GF二AD,又AiDi工AD,所以GF工AiDi,故四边形GFDiAi是平行四边形，AiG/DiF。设AiG与AE相交于H,则/AiHA是AE与DiF所成的角因为E是BBi的中点，所以RtAAiACABE,/GAA=ZGAH,从而/AiHA=90即直线AE与DiF

4、所成的角为直角6.如图i28的正方体中，E是A'D'的中点(i)图中哪些棱所在的直线与直线BA'成异面直线；求直线BA'和CC'所成的角的大小；(3)求直线AE和CC'所成的角的正切值；(4)求直线AE和BA'所成的角的余弦值解：(i)VA平面BC',又点B和直线CC'都在平面BC'内，且BCC',直线BA'与CC'是异面直线同理，正方体i2条棱中的CD'、DD'、DC、AD、B'C'所在的直线都和直线BA'成异面直线(2) :CC'/BB&#

5、39;,BA'BST所成的锐角就是BA'和CC'所成的角/A'BB'=450.BA'CC'所成白角是45°(3) vAA'/BB'/CC',AE和AA'所成的锐角/A'AE是AE和CC'所成的角在RtAA'E中，tan/A'AE2E=工，所以AE和CC'所成角的正切值是-AA22IIII取B'C的中点F,连EF、BF,则有EF=AB=AB,/ABFE是平行四边形，从而BF=AE,即BF/AE且BF=AE.BF与BA'所成的锐角/A'B

6、F是AE和BA'所成的角设正方体各棱长为2,连A'F,利用勾股定理求出AB=2/2,AF=BF=J5,由余弦定理得：cos/A,BF=(2加2(W)2f5)2邈22.2.55A的F边长分别为7 .长方体ABCDAiBiCiDi中，若AB=BC=3,AAi=4,求异面直线BiD与BCi所成角的大小。解法一：如图，过Bi点作BiE/BCi交CB的延长线于E点。则/DBE或其补角就是异面直线DBi与BCi所成角，连结DE交AB于M,DE=2DM=3J5,7 .34cos / DBiE=i70DBE= arc cos 7-4i70A：AA,A解法二：如图，在平面DiDBBi中过B点作B

7、E/DBi交DiBi的延长线于E,则/CiBE就是异面直线DBi与BCi所成的角，连结CiE,在iCiE中，/CiBE= arccosU。i70。-7、34/CBE=i35,CiE=3V5,cosZCiBE=,i70练习：求AD与PC所成角的余切值?8 .如图，PA矩形ABCD,已知PA=AB=8,BC=i0,9 .在长方体ABCD-AiBiCiDi中，若棱BB产BC=1,AB=73,求DB和AC所成角的余弦值.?中位线平移法：构造三角形找中位线，然后利用中位线的性质，将异面直线所成的角转化为平面问题，解三角形求之。解法一：如图连结BiC交BCi于0,过0点作OE/DBi,则/BOE为所求的异

8、面直线DBi与BCi所成的角。连结EB,由已知有BiD=<34,BCi=5,BE=3疸，acosZBOE=7342i707.34./BOE=arccosDiA.B.图B图A1D,D>。解法二：如图，连DB、AC交于。点，过。点作OE/ DBi,过E点作EF/C iB,则/ OEF或其补角就是两异面直线所成的角，过73O 点作 OM/ DC,连结 MF、OF。则 OF= 73 ,2cos / OEF=区34，异面直线BiD与BCi所成的角为arc cos 34i70i70解法三：如图，连结DiB交DBi于O,连结DiA,则四边形ABCiDi为平行四边形。在平行四边形ABCiDi中过点

9、O作EF/ BCi交AB、DiCi于E、F,则/ DOF或其补角就是异面直线DBi与BCi所成的角。在4ADF中7.34cos / DOF= 34i70170DOF=arccos7-4i70课堂练习10 .在正四面体ABCD中，已知E是棱BC的中点，求异面直线AE和BD所成角的余弦值。补形平移法：在已知图形外补作一个相同的几何体，以例于找出平行线解法一：如图，以四边形ABCD为上底补接一个高为4的长方体ABCD-A2B2C2D2,连结D2B,则DB1/D2B,/.ZC1BD2或其补角就是异面直线DBi与BCi所成的角，连C1D2,则-7.347.34CiD2c2为Rt,cos/CiBD?=，开

10、面直线DBi与BCi所成的角tharccos。1701707T / / IL Jc3课堂练习：11 .求异面直线AiCi与BDi所成的角的余弦值。在长方体ABCD-AiBiCiDi的面BCi上补上一个同样大小的长方体，将AiCi平移到BE,则/DiBE或其补角就是异面直线AiCi与BDi所成的角，在BDiE中,BDi=3,0后尸石=23二、利用模型求异面直线所成的角模型1引理：已知平面a的一条斜线a与平面a所成的角为&,平面a内的一条直线b与斜线a所成的角为0,与它的射影a'所成的角为Qo求证：cos0=coscos2在平面的斜线a上取一点P,过点P分别作直线c、b的垂线PO、

11、PB,垂足为O、艮连接OB,则 OB± b.在直角AO叽cos在直角ABGKcos在直角ABPKcos所以 cos1 cos 2AOAPAO. APAB. AOAB.APAB AB cosAO AP所以 cos 1 cos 2cos证明：设PA是a的斜线，OA是PA在a上的射影，OB/b ,如图所示。则/PAQ=8/ PAB=8, / OAB=,8过点O在平面a内作OB，AB, OA可知PB± AB。所以cos 1= PA所以 cos 0 = cos cos2s垂足为B,连结PB0cos 0B , cos2 =些 oPAOA利用这个模型来求两条异面直线 a和b所成的角，即引

12、理中的角 8。需：过a的一个面a,以及该面的一条斜线b以及b在a内的射影。12 .如图，MAL平面 ABCD,四边形 ABCD是正方形，且 MA=AB=a ,试求异面直线 MB与 AC所成的角。解：由图可知，直线 MB在平面ABCD内的射影为AB,直线MB与平面ABCD所成的角为45° ,直线AC与直线MB的射影AB所成的角为45 ° ,所以直线AC与直MB所成的角为9 ,满足cos 0 =cos45 ° cos44所以直线AC与MB所成的角为60 213 .已知三棱柱ABC AB1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与

13、CC1所成的角的余弦值为(D )35/ - 7(A) (B) (C)444AB解：设BC的中点为D,连结AD,AD,易知AAB即为异面直线AB与CC1所成的角,ADAD3.由二角余弦止理，易知coscosAADcosDAB-.故选DA1AAB414.如图，在立体图形P-ABCD中，底面ABCD是一个直角梯形，/ AB=BC=a,AD=2a,且 PAL底面 ABCD , PD 与底面成 30 ° 角，AEL PD 于D。求异面直线AE与CD所成的角的大小。解：过E作AD的平行线EF交AD于F,由PAL底面ABCD可知， 直线AE在平面ABCD内的射影为 AF,直线AE与平面ABCD所

14、成的角为/ DAE,其大小为60 ° ,射影AF与直线CD所成的角为/CDA其大小为45 ° ,所以直线与直BAD=90° AD/BC ,线所成的角 8满足cos 0 =cos60cos452一,所以其大小为4ar。4AD3 + ECa - DC2AC.ED所以有:15.长方体ABCDAiBiCiDi中，AB=AAi=2cm,AD=1cm，求异面直线AiCi与BDi所成的角?解：连结BCi、AiB在四面体为日,易求得丹阳.十a】e=dr/由定理得:十时-匕尉-/2M正回邛叵日=arccos-2所以二：、向量法求异面直线所成的角16.如图，在正方体ABCD-AiBi

15、CiDi中，E、F分别是相邻两侧面BCGB1及CDDC的中心求AiE和BiF所成的角的大小。解法一：（作图法）作图关键是平移直线，可平移其中一条直线，也可平移两条直线到某个点上。作法：连结BiE,取BiE中点G及AiBi中点H,连结GH,有GH/AiE0过F作CD的平行线RS,分别交CCi、DDi于点R、S,连结SH,连结GS。由BiH/CiDi/FS,BiH=FS,可得BiF/SH。在GHS中，设正方体边长为a。6GH=亍a（作直线GQ/BC父BBi于点Q,连QH,可知GQhfe直角三角形），HS=ira（连-s,可知H厝为直角三角形），m=詈，（作直线gbc于点P,连iPD,可知四边形GP

16、DS为直角梯形）。.Cos/GHS=6i所以直线AiE与直线BiF所成的角的余弦值为26解法二：（向量法）分析：因为给出的立体图形是一个正方体，所以可以在空间建立直角坐标系，从而可以利用点的坐标表示出空间中每一个向量，从而可以用向量的方法来求出两条直线间的夹角。以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，BBi为z轴，设BC长度为2则点Ai的坐标为（0,2,2）,点E的坐标为（i,0,i）,点Bi的坐标为（0,0,2）,点F的坐标为（2,i,i）;所以向量EA的坐标为（-i,2,i）,向量BiF的坐标为（2,i,-i）,所以这两个向量的夹角8满足cos e尸艺(1) 2 2 1 1 ( 1)|EA |

17、 |BiF |( 1)2 (2)2 (1)2 . (2)2 (1)2 ( 1)21所以直线A1E与直线BF所成的角的余弦值为1617.已知空间四边形 ABCD 中，AB=BC=CD=DA=AC=BD=a,M、N分别为BC和AD的中点，设AM和CN所成的角为a ,求COS a ?（平移法也可）解：由已知得，空间向量 AB , AC, AD不共面，且两两之间的夹角均为60 0 o由向量的加法可以得到AM = 1（ Ab + Ac）, nc = 1 ad + ac 22所以向量AM与向量NC的夹角9 （即角a或者a的补角）满足COSAM NC0 二 *=| AM | | NC |AM - NC =

18、1 ( AB + Ac ) - ( 1 AD + AC22121 - 一 一 一一 AB AD + AB AC +21 -一 AD ) 2AC + ACAC )=-a21+ 1424+1)=2a2；| AM- | 2= 1 ( AB + AC )21 ( AB + AC ) =- (1+1+1) a2= 3 a2; 244| NC 12=1 - 二、AD + AC ) 2(1 AD + AC ) = 1+1242 3a= 一4a2。所以 COS a =| cosBC、AD 上的点，且 BE: EC=AF :18 .已知空间四边形ABCD中，AB=CD=3,E、F分别是FD=1:2,EF=<

19、;7,求AB和CD所成的角的大小。解：取AC上点G,使AG:GC=1:2。连结EG、FG,可知EG/AB,FG/CD,3EG=2AB,3FG=CD。由向量的知识可知EF=EG+GF=-BA+1cD,33设向量BA和CD的夹角为8。一一o21-2一1则由|EF|2=(BA+CD)-(-BA+-CD)=4+1+4cos3333得cos91,所以AB和CD所成的角为60°。底面ABCD是边长为a的正方19 .（思考题）如图，已知平行六面体ABCDA1B1GD1中,形，侧棱AAi长为b,且AAi与AB、AD的夹角都是120°求：（1）ACi的长；直线BDi与AC所成的角白余弦值.技

20、巧与方法：数量积公式及向量、模公式的巧用、变形用解：|AC1|2AC1AC1(而Ac)(aa1ac)(AA1ABAD)(AAABAD)222IAA1|2|AB|2|AD|22AAiAB2AAiAD2ABAD由已知得：|AAj2b2,|AB|2|AD|2a2AA1,ABAA1,AD120,AB,AD90AA1ABbacos1201ab,AA1ADbacos1201ab,ABAD0,|AC1|22a2b22ab,|AC1|2a2b22ab.(2)依题意得，|AC|,2a,ACAbAdBD1ADBAAA1ADABAC西(ABad)(aA1AdAb)ABAAiADAAiABADAD2AB2ABADab

21、|BD1l2 Bdi BD1 (AAi Ad ab)(aA1 ad| AA1 |2 |AD|2 | AB |2 2 AAi AD 2AB ADAB)2AAi AB2a2b2|BDi| .2a2 b2 cos BD,ACBD1 AC|BDi |AC|b4a2 2b2 BDi与AC所成角的余弦值为b4a2 2b2判断是非：(i)(8)(i0近确，其余错；选主举:i(C);2(D);3(D);4(D).5.(2)相交，(5)平行，其余异面；(6):(D),取AB中点M,CCi中点N,连BiE和BiF;(7)答案：(A),延长BiAi至M,使AiM=AiDi,连MA,取AB中点N.8(D);9(E);

22、i0(D);ii(C);3 .4,取AD中点E,则/ME*90°34 .巨，取AC中点F,连EF、BF,求得BE=AD=5,BF=AC=3V2;52'2'五.包5,分别取AC、BiCi的中点P、Q,则PMQN是矩形，设CG=MQ=a,则MP=3a；52六.1，取AC中点F,连EF、BF,WJEF=4,BE=BF=3.6异面直线所成的角一作业姓名：班级：学号：一、判断是非（下列命题中，正确的打，错误的打“X”）（1）梯形的四个顶点在同一平面内；（2）对边相等的四边形是平行四边形；（3）平行于同一直线的两直线平行；（4）垂直于同一直线的两直线平行；（5）两条直线确定一个平

23、面；（6）经过三点可以确定一个平面；（7）无公共点的两直线异面；（8）两异面直线无公共点；（9）两异面直线可以同时平行于一直线；（10）两异面直线可以同时垂直于一直线；（11/同在一个已知平面内的两直线异面；（12月相垂直的两条直线必可确定一平面二、选择题1 .没有公共点的两条直线的位置关系是（）（A）平行（B）异面（C）平行或异面（D）不能确定2 .分别在两相交平面内的两条直线的位置关系是（）（A）异面（B）平行（C）平行或异面（D）平行或异面或相交3 .两条异面直线指的是（）（A）在空间不相交的两条直线（B）某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线（C历别位于两个不同平面的两条直线（D）不同在任一平面内的两条直线（D）相父、平行或异面4 .a、b是异面直线，b、c也是异面直线，那么ac的位置是（）（A）异面（B）异面或平行（C）异面或相交5 .说出正方体中各对线段的位置关系：（1） AB和CG;（2）A1C和BD1；（3）AA和CB1；（4）。和CB1；（5）AB和DC;（6）BD1和DC.6.在棱长为1的正方体ABCDAiBiCiDi中，M和N分别为AB和BBi的中点，那么直线AM(喈(B噜1cxJ1与CN所成角的余弦值是()aQw/(C)3(D)|力55.心B