专题多面体的外接球问题讲课教案

1、专题多面体的外接球问题精品文档专题 多面体的外接球问题一、考点分析：有关多面体外接球问题，是立体几何中的一个重点，也是近几年高考考题的一个热点，研究 多面体外接球的知识，既要运用多面体的知识又要运用球的相关知识；特别注意多面体的有关几 何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中会起着至关重要的作用。二、教学目标1、了解多面体与其外接球的关系2、掌握几种常见的多面体的外接球的计算方法。三、教学重点、难点不同类型的多面体与其外接球半径的求法四、教学过程/J（一）球的性质性质1：用一个平面去截球，截面是圆面；-1b"-一 二二 一 -用一个平面去截球面， 截线是圆。大圆-

2、截面过球心，半径等于球半径；小圆-截面不过球心性质2:球心和截面圆心的连线垂直于截面.性质3:球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r下面的关系：r '府 d2（二）球体的体积与表面积：421、V球R 2、S 球面4 R3（三）球与多面体的接、切1.外接球球心到各顶点的距离相等（R） 2.内切球球心到各面的距离相等（r）五、经典模型：（一）汉堡模型（直棱柱和圆柱外接球问题）例1、已知正四棱柱的各个顶点都在同一个球面上，且高为 4,体积为16.其外接球的表面积是例2:直三棱柱ABC AB1G的各个顶点都在同一个球面上，若 AB=AC=AA2, BAC=20o,则此球的表面积等于（）（

3、二）对棱相等模型题型：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等（AB=CD,AD=BC,AC=B）D,标出三组互a,b,c.AD=BC=x,AB=CD=y,AC=BD=z,求外接球问题第一步：画出一个长方体（补形）， 为异面直线的对棱；第二步：设长方体的长宽高分别为2. 22abx2 2 22 2 2 2bcy2R a b c2 2 2 acz例3:三棱锥A-BCD, AB=CD=2,AD=BC=3,AC=BD=4则三棱锥 A-BCD勺外接球的表面积为（）（三）墙角模型（三条两两垂直的棱）C收集于网络，如有侵权请联系管理员删除解题方法：找三条两两垂直的线段，直接利长方体对角线公式即可:2R2

4、 2R _例题4: （1）已知三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为 J3 ,其外接球的表面积是1的等腰百角三角形和边长为1正方形,（2）已知某几何体的三视图如图所示，三视图是边长为 则该几何体外接球的体积 .（四）垂面模型题型一、侧棱垂直于底面的棱锥（PA 平面ABC）步骤：第一步：将ABC画在小圆面上，以 A为小圆直径的一个端点，作小圆的直径 AD,连接PD,则P皿过千心O第二步：Q为ABC的外心，所以OOi平面ABC,计算出小圆Q的半径O1D r （r利用正弦定理计算可得）第三步：利用勾股定 理即可：R2 r2 OO12例5:三棱锥S ABC中，侧棱SA平面ABC,底面ABC是边长为V3

5、的正三角形，SA=2«, 则该三棱锥的外接球体积等于（题型二：三棱锥P ABC的三条侧棱相等，且各个顶点都球面上第一步：确定球心CW位置，取 ABC勺外心O,则PQO1三点共线;第二步：先计算出小圆O的半径，AO1 r,再算出棱锥的高PO1；第三步：勾股定理：OA2 OiA2 O1O2 R2 h R 2 r2,解出R方法二:2R a为棱长，为侧棱与底面所成角 sin例6:正三棱锥S ABC中，底面ABC是边长为V3的正三角形，侧棱长为2,则该三棱锥的外接球 体积等于（） （五）折叠模型题型：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起或菱形折叠第一步：先画出如图所示的图形，将BCD画在小圆上,

6、找出 BCD和 A'BD的外心Hi和H2第二步：过此和乩分别作平面BC野口平面A'BD的垂线，两垂线的交点即为球心Q连接OEOC;第三步：解OEH,算出OH,在RT OCH1中，勾股 定理即可：OH2+CH2=R2例7:棱形ABCDJ边长为2,且BAD 60°,将棱形ABCD对角线B/T叠，使得平面A, BD平面BCD,则三棱锥A'-BCD的外接球的半径为（BC变式：“平面A'BD 平面BCD”改为“平面A'BD与平面BCD所成角为120°”则三棱锥A'-BCD 的外接球的半径为（）六、课堂小结1、汉堡型（直棱柱或圆柱）如何找

7、外接球的半径呢？（1）先找外接球的球心：它的球心是连接上下两个多边形的外心的线段的中点；（2）再构造直角三角形，勾股定理求解2、三组对棱分别型的三棱锥如何找外接球的半径呢？方法：直接补成长方体，求具体对角线；3、三条棱两两垂直的三棱锥如何找外接球的半径呢？方法：直接补成长方体，求具体对角线;4、墙面型（侧棱垂直于底面的棱锥）如何找外接球的半径呢？第一步：找底面多边形外接圆的圆心 Oi,计算出小圆Oi的半径OiD r（r利用正弦定理 计算可得）;1第二步：过Oi作OOi底面，O为球心且OiO=2h（h为椎体的局）第三步：利用勾股定理即可：5、侧棱不垂直于底面且侧棱都相等的棱锥，如何找外接球的半径呢？（D找底面多边形外接圆的圆心Q（顶点在底面的投影），计算出小圆 Oi的半径OiD r（r利用 正弦定理计算可得）；（2）在高线上取一点作为球心 O;（3）利用勾股定理求出 半径即可6、折叠问题（对称性）（i）找两底面多边形外接圆的圆心Oi、O2,计算出小圆的半径r（r利用正弦定理计算可得）;（2）在过小圆圆心O,O2作两面的垂线，两高线交点为 球心O;（3）利用勾股定理求出 半径即可七、课后作业i、正