专题二：平行四边形常用辅助线的作法(精排版)讲解学习

1、专题二：平行四边形用 辅 助 线 的 作 法 （精排版）精品文档专题讲义平行四边形十几何辅助线的作法、知识点1 .四边形的内角和与外角和定理：(1)四边形的内角和等于360° ;(2)四边形的外角和等于360°.2 .多边形的内角和与外角和定理：(1) n边形的内角和等于(n-2)180(2)任意多边形的外角和等于360°.3 .平行四边形的性质:四边形ABC北平行四边形性质判定(1)两组对边分别平行;(2)两组对边分别相等;(3)两组对角分别相等;(4)对角线互相平分；(5)邻角互补.4、平行四边形判定方法的选择已知条件(面推的灯定方法边L 一组对边相等，L方法

2、，方法一组对边平行定义(方法1)方法(3)L角一组对角相等.二方法(5对南线.J卜方法45、和平行四边形有美的辅助线作法(1)利用一组对立/ 0 /例1、图，已知¥。是平行四边形ABCD勺对角线AC的中点，四边形OCD日平行四边形.求证:OE与AD互相平分.说明：当已知条件中涉及到平行，且要 求证的结论中和平行四边形的性质有 关，可试通过添加辅助线构造平行四边 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档例2、如图，在 ABC中，E、F为AB上两点，AE=BF ED/AC, FG/AC交BC分另为D, G.求证：ED+FG=AC.说明：当图形中涉及到一组对边 平行时，可通过作平行线构

3、造另 一组对边平行，得到平行四边形/工/(3)利用对角线互.相平分构造平行四边形 小、/口”十 例3、女噌，如典 人叫 ABC的中线，BE父AC于E,父ADT F,且AE=EF求证BF=AC./学/说明：本题通过利用对角线互相平分构造平G行四边形，实际上是采用了平移法构造平行 四边形.当已知中点或中线应思考这种方法收集于网络，如有侵权请联系管理员删除(4)连结对角线，把平行四边形转化成两个全等三角形例4、如图，在平行四边形 ABCD中，点E,F在对角线AC上，且AE CF ,请你以F为C和图城明字丁点连成二条新线段，B猜想并证E,I'有的某一条线图1段相等(只需证明一条线段即可)(5)

4、平移对角线，把平行四边形转化为梯形例5、如右图2,在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点0,如果AC 12,BD 10, AB m,那么m的取值范围是(A、1 m 11 B 、2 m 22C、 10 m 12(6)过一边两端点作对边的垂线，把平行四边形转化为矩形和直角三角形问题。例6、已知：如图，四边形 ABCD为平行四边形求证：AC BD AB BC CD DA(7)延长一边中点与顶点连线，把平行四边形转化为三角形。例7、已知：如右上图4,在正方形ABCD中，E,F分别是CD、DA的中点，BE与CF交于P点，求证：AP AB1、如图，E是平行四边形ABCD的边AB的中点，AC与DE

5、相交于点F,若平行四边形ABCD2、顺次连接一个任意四边形四边的中点，得到一个的面积为S,则图中面积为2s的三角形有(3、如图，AD, BC 垂直相交于点 O, AB/CD, BC=8 , AD=6 ,则AB+CD的长二_并证明4、已知等边三角形 ABC勺边长为a, P是 ABC内一点，PD/ AB, PEE/ BC, PF /AC,点D E、F 分另1J在 BC、AG AB上，猜想：PD+ PE+PF=你的猜想.5、平行四边形ABCg, E,G,F,H分别是四条边上的点，且 AE CF ,BC DH ,试说明：EF与GH相互平分.6、如图，平行四边形 ABCD勺对角线AC和BD交于O, E、

6、F分别为OB OD的中点,过O任作一直线分另IJ交AR CD于G H.试说明：GF/EH7、如图，已知AB AC , B是AD的中点,试说明：CD 2CE8、如图，E是梯形ABCD要DC的中点.1 C试说明.S ABE2 s梯形ABCDE是AB的中点.9、已知六边形 ABCDEF勺 6 个内角均为 120° , C52cm, BO8cm, AB= 8cm, AF=5cm 试求此六边形的周长.10、已知 ABO等腰三角形，AB=AC D是BC边上的任一点，且DE ABDF AC,CH AB ,垂足分别为 E、F、H,求证：DE DF CH11、已知：在 Rt ABC中，AB BC ;在

7、Rt ADE中，AD DE ；连结EC ,取EC的中点M ,连结DM和BM .(1)若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图，求证：BM DM 且 BM DM ;(2)如果将图8-中的ADE绕点A逆时针旋转小于45°的角，如图，那么(1)中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明.图C答案：例4、(1)连结BFBF DE证明：连结DB, DF ,设DB, AC交于点O丁四边形ABCD为平行四边形 . . AO OC,DO OBv AE FC AO AE OC FC 即 OE OF四边形EBFD为平行四边形例5、解：将线段DB沿DC方向平移，使得DBC

8、E,DC BE ,则有四边形CDBE为平行四边形,2AB 2 m.在 ACE 中，AC 12,CE BD 10,AE.12 10 2m 12 10,即 2 2m 22 解得 1 m 11 故选 A例6、证明：过A,D分别作AE BC于点E , DF BC的延长线于点F .AC2 AE2 CE2 AB2 BE2 (BC BE)2 AB2 BC2 2BE BCBD2 DF 2 BF2 (CD2 CF 2) (BC CF )2 CD2 BC2 2BC CFWJAC2 BD2 AB2 BC2 CD2 DA2 2BC CF 2BC BEv四边形ABCD为平行四边形 AB / CD且AB CD , AD

9、BC ABC DCF: AEB DFC 900 ABE DCFBE CF.AC2 BD2 AB2 BC2 CD2 DA2例7、证明：延长CF交BA的延长线于点K二.四边形ABCD为正方形AB / CD 且 AB CD, CD AD, BAD BCD D 900 1 K 又 D DAK 900, DF AFCDF KAF-11- . AK CD AB. CE CD,DF AD. CE DF22: BCD D 900BCE CDF1213 90023 900CPB 90O，则 KPB 90°二 AP AB、课堂练习1、C 2、平行 3、1045、分析：观察图形，EF与HG为四边形HEGF

10、的对角线，若能说明四边形 HEGF是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分这一性质即可得到6、分析：观察图形，GF与EH为四边形GEHF的对边，若能说明四边形 EHFG是平行四边形，平行四边形具有对边平行的性质可得 GF/ EH .7、分析：延长CE至F,使EF = CE,连结AF、BF ,得四边形AFBC是平行四边形，利用平行四边形的性质证明 DBCAFBC即可精品文档8、分析：过点E作MN /AB,交BC于N,交AD的延长线于M,则四边形ABNM是平1八SABE = S平行四边形ABNM2行四边形, ABE与四边形ABNM等底等高，所以S梯形ABCD = S平行四边形ABNM 即可。9

11、、延KBA、EF>交点讥作G:迪KBC* ED,交点记作H. V_i=120*f 7. _J=60*.同理1_4=_7=_8-6(i%推导出AFGA与ACDH都是正 三角港FC；-<A-lA-5,CT=DH=f H=2. _H=K(T丁即叱 AEH/GA,V _G+_E-I8O0,二GE/BIL因此，四边九6HHF是平行四功虺GB=(；A+AB=5-H=13, BH=BC-H. H=«+2=HL四边形C；BHE的周长T13+I。产工=46久助脑的周长的周长三四访能CBHF的周长%F39.10、证明：过D点作DGLCH于G又 DELAB 于 E, CH，AB于H 四边形 D

12、GHE 为矩形；DE = GH EH / DG. B= / GDC又 AB = AC./B=/ACB ./GDC = /ACB又/DGC = /DFC = 90°CD = DC （公共边）.-.CDGA DCF （AAS）DF=CG又 CH =CG + GH .CH=DF + DG （等量代换）11、懈 ;型£。和Race都是母:且触阻3阻 ,缸丁血轲， 又嵬是E&的中点；卫峰3球；功诵宾:初介城？工区的士asa 二dBHE唬&BMC的外角勒朋斯附餐窿*脾蒯审理右现3/却KYM化口叫 工整道蟋崇崛淳洌黏绿p)嚏我4£三他 专即盈解凝” 片萌或与鼠如

13、瓯 延长DM到电 使胎=国迂绪电、BN. EK=P!T* /ENFI =1>H=WT£n精品文档平行四边形中常用辅助线的添法平行四边形(包括矩形、正方形、菱形)的两组对边、对角和对角线都具有某些相同 性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成 三角形的全等、相似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理， 其常用方法有下列几种，举例简解如下：(1)连对角线或平移对角线：(2)过顶点作对边的垂线构造直角三角形(3)连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线(4)连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，

14、构造三角形相似或等积三角形。(5)过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等 .第一类：连结对角线，把平行四边形转化成两个全等三角形。例1如左下图1,在平行四边形ABCD中，点E,F在对角线AC上，且AE CF ,请你 以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等(只需证明一条线段即可)连结BFBF DE证明：连结DB,DF，设DB, AC交于点O四边形ABCD为平行四边形AO OC,DO OBv AE FC. AO AE OC FC 即 OE OF四边形EBFD为平行四边形BF DEC第二类：平移对角线，把平行四边形转化为梯形。AB图2例

15、2如右图2,在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O,如果AC 12,BD 10, AB m,那么m的取值范围是()A1 m 11 B2 m 22C10 m 12 D5 m 6解：将线段DB沿DC方向平移，使得DB CE,DC BE ,则有四边形CDBE为平行四边形，.在 ACE 中，AC 12,CE BD 10, AE 2AB 2m .12 10 2m 12 10,即 2 2m 22 解得 1 m 11 故选 A第三类：过一边两端点作对边的垂线，把平行四边形转化为矩形和直角三角形问题。例3已知：如左下图3,四边形ABCD为平行四边形求证：AC2 BD2 AB2 BC2 CD2 DA

16、2证明：过A,D分别作AE BC于点E , DF BC的延长线于点F .AC2 AE2 CE2 AB2 BE2 (BC BE)2 AB2 BC2 2BE BCBD2 DF 2 BF2 (CD2 CF 2) (BC CF )2 CD2 BC2 2BC CFWJAC2 BD2 AB2 BC2 CD2 DA2 2BC CF 2BC BEv四边形ABCD为平行四边形 AB / CD且AB CD , AD BC ABC DCF: AEB DFC 900 ABE DCFBE CF收集于网络，如有侵权请联系管理员删除_22_222_2 AC BD AB BC CD DA第四类：延长一边中点与顶点连线，把平行

17、四边形转化为三角形。例4:已知：如右上图4,在正方形ABCD中，E,F分别是CD、DA的中点，BE与CF交于P点，求证：AP AB证明：延长CF交BA的延长线于点K二.四边形ABCD为正方形AB / CDH AB CD, CD AD, BADBCDD 900 1 K 又 D DAK 90°, DF AFCDF KAF-11 . AK CD AB. CE -CD,DF -AD CE DF22v BCD D 90°BCE0 CDF1213 90°.23 90°CPB 900 加 KPB 900二 AP AB第五类：延长一边上一点与一顶点连线，把平行四边形转化为平行线型相似三角形。例5如左下图5,在平行四边形ABCD中，点E为边CD上任一点，请你在该图基础上，适当添加辅助线找出两对相似三角形。解：延长AE与BC的延长线相交于F,则有 AEDs FEC , FABs FEC , AED sFAB第六类：把对角线交点与一边中点连结，构造三角形中位线1例6已知：如右上图6,在平