不等式及其性质

1、一、不等式及其性质【学习目标】1 . 了解不等式的意义，认识不等式和等式都刻画了现实世界中的数量关系；2 .理解不等式的三条基本性质，并会简单应用；3 .理解并掌握一元一次不等式的概念及性质；【要点梳理】要点一、不等式的概念一般地，用 之“、 4”、 "w或”球示大小关系的式子，叫做不等式.用“得!示不等关系的式子也是不等式.要点诠释：不等号 之”或 多”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大.(2)五种不等号的读法及其意义：符号读法意义读作不等于”它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪 个大，哪个小之”读作小于”表示左边的量比右边的量小读作大于”表示左边的量

2、比右边的量大读作小于或等 于“即不大于”，表示左边的量不大于右边的量读作大于或等 于“即不小于”，表示左边的量不小于右边的量(3)有些不等式中不含未知数，如3V4, -1>-2;有些不等式中含有未知数，2x 2x>5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立.类型一、不等式的概念例1.判断下列各式哪些是等式，哪些是不等式.(1) 4V5;(2) x2+l>0；(3) x2x-5;(4) x=2x+3; 3a2+a；(6) a2+2a>42.变式练习:1. (2017春碱

3、关区校级期末) 贵阳市今年5月份的最高气温为 27C,最低气温为18C,已知某一天的气温为tC,则下面表示气温之间的不等关系正确的是()A. 18<t<27B. 18«27C. 18< t < 27D. 18< t < 272. (2017春？未央区校级月考) 下列式子：a+b=b+a；-2>-5;x>1; y-41；2m>n ;2x-3,其中不等式有(3A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个3.(2017春？南山区校级月考)下面给出了 6个式子：？3>0;?x+3y>0;?x=3;x-1;x+2W3; 2xwo；其

4、中不等式有()A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个4. (2017春？太原期中)学校组织同学们春游，租用 45座和30座两种型号的客车，若租用45座客车x辆，租用30座客车y辆，则不等式 “45x+30y >500欧的实际意义是()A.两种客车总的载客量不少于500人B.两种客车总的载客量不超过500人C.两种客车总的载客量不足500人D.两种客车总的载客量恰好等于500人5.已知有理数m , n的位置在数轴上如图所示，用不等号填空.。区产(1) n-m 0; (2) m+n 0; (3) m-n 0; (4) n+1 0; (5) m?n 0;(6) m+1 0.例2.用不等式表示

5、：(1)x与-3的和是负数；(2)x与5的和的28 %不大于-6;(3)m除以4的商加上3至多为5.举一反三：【变式】a a的值一一定是().A.大于零B.小于零C.不大于零D.不小于零例3.下列叙述：a是非负数则aRO;“2减去10不大于2”可表示为a2-10 < 2; ?1 X的倒数超过10”可表不为> 10 ;"a, b两数的平方和为正数”可表不为 xa2+b2> 0.其中正确的个数是().A.1个 B.2个 C.3个 D. 4个要点二、一元一次不等式的概念只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如,2 x 50是一个一元一次不等式

6、.3要点诠释：(1)一元一次不等式满足的条件：左右两边都是整式(单项式或多项式)；只含有一个未知数；未知数的最高次数为1.（2） 一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系：相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是1, “左边”和“右边”都是整式.不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号“V”、“w”、或连接，不等号有方向；一元一次方程表示相等关系，由等号连接，等号没有方向.例1. （2017春?沧州期末）下列各式中，一元一次不等式是（）A.x 5 B. 2x> 1-x2C. x+2yv1 D. 2x+1 < 3xx变式练习2 . （2017春?平川区校级期中）下列

7、是一元一次不等式的是（）.1A.x 1 B. x2-2< 1C. 3x+2D. 2< x-2x3 . （2016春?永丰县期中）若不等式 2xa< 1是关于x的一元一次不等式，则 a符合（）A. awlB, a=0C. a=1D, a=24 .若(m+1 ) x1m|+2>0是关于x的一元一次不等式，则 m=()A. ±1B. 1C. -1D. 05 .下列不等式中，是一元一次不等式的有()个.x xx 1.x > -3; xy > 上x 2 v 3;一一1 ;1 ;23xA. 1B. 2C. 3D. 4要点三、不等式的基本性质不等式的基本性质1:

8、不等式两边加（或减）同一个数（或整式），不等号的方向不变. 用式子表示：如果 a>b,那么a±>b±c.不等式的基本性质 2：不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.a b用式子表不：如果 a>b, c>0,那么ac>bc（或一 一）.c c不等式的基本性质 3:不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.用式子表示：如果 a>b, c<0,那么acv bc（或 b）. c c例1.判断以下各题的结论是否正确（对的打错的打“为”.(1)若 b- 3a<0,则 b3a; (2)如果一5x>20,那么

9、x> 4; (3)若 a>b,则 ac2>bc2; (4)若 ac2>bc2,贝U a>b; (5)若 a>b,则 a (c2+1) >b (c2+1) . (6)若 a>b>0,则.【答案与解析】解：（1）若由b- 3a<0,移项即可得到 b<3a,故正确;(2)如果-5x>20,两边同除以-5不等号方向改变，故错误；(3)若a>b,当c=0时则ac2>bc2错误，故错误；(4)由 ac2>bc2得 c2>0,故正确；(5)若 a>b,根据 C2+1,则 a (c2+1) > b (c

10、2+1)正确.(6)若 a>b>0,如 a=2, b=1,则正确. a b故答案为：【总结升华】本题考查了不等式的性质，两边同乘以或除以一个不为零的负数，不等号方向改变.例4. (2017?青浦区一模)已知 a>b,下列关系式中一定正确的是()A. a2< b2B. 2av 2bC. a+2vb+2D. - a< - b【思路点拨】根据不等式的性质分析判断.【答案】D.【解析】解：A, a2< b2,错误，例如：2> - 1,则 22 > (- 1) 2;B、若a>b,则2a>2b,故本选项错误；C、若a>b,则a+2>b

11、+2,故本选项错误；D、若a>b,则-av- b,故本选项正确.【总结升华】不等式的性质是不等式变形的重要依据.关键要注意不等号的方向.性质1和性质2类似于等式的性质但性质 3中，当不等式两边乘以或除以同一个负数时， 不等号的 方向要改变.举一反三：3【变式】根据不等式的基本性质， 将 mx3”变形为 飞"，则m的取值范围是 .m【答案】m<0.3解：将“mx3”变形为m，m的取值范围是m<0.故答案为：m<0.【巩固练习】一、选择题1 . (2016春?北京期末)在式子-3<0, x>2 x=a, x2- 2x, xw§ x+1>

12、y中，是不等式的有()A. 2个B. 3个 C. 4个 D. 5个2 .下列不等式表示正确的是 ().A. a不是负数表示为 a>0B. x不大于5可表示为x>5C. x与1的和是非负数可表示为 x+1 >0D. m与4的差是负数可表示为 m-4< 03 .式子“x+y=1 ;x > y;x+2y ;x-y>1;xv0”属于不等式的有( )A. 2个 B. 3个C. 4个 D. 5个4 .已知av b,则下列不等式一定成立的是（）A. a+3>b+3 B. 2a>2bC. -av-bD. a-b<05 .若图示的两架天平都保持平衡，则对a、

13、b、c三种物体的重量判断正确的 是 （）.D.b<c).422B.若一X1 ,则 X334 115D.若一X 1 ,则 X 511av b,则看-3ay - 3b （用多”或之”填空）A.a>c B.a<c C.a<b6 .下列变形中，错误的是（A.若 3a+5>2,贝U 3a>2-5 1, 一C.右一X 1 ,则 x> -5 5二、填空题7 . （2016秋?太仓市校级期末）如果8 .用不等式表示 “后a的平方差不是正数”为.9 .在-1,1, 0, 2, 2中，能使不等式 5x>3x+3成立的x的值是; 是23不等式-x>0的解.10

14、.假设a>b,请用或“v”填空(1)a-1 b-1 ;(2)2a 2b;(3) 1 a 2 b ；(4)a+l b+1 .11 .已知a>b,且 g 0,用或“v”填空.ab(1)2a a+b (2) c c(3)c-a c-b (4)-a|c|-b|c|12 . k的值大于-1且不大于3,则用不等式表示k的取值范围是.(使用 形如awxwb的类似式子填空.) 三、解答题13 .现有不等式的性质：在不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变；在不等式的两边都乘以同一个数（或整式），乘的数（或整式）为正时不等号的方向不 变，乘的数（或整式）为负时不等式的方向改变.请解决

15、以下两个问题：（1）利用性质比较2a与a的大小（aw。；（2）利用性质比较2a与a的大小（awQ .14 .当a=3 , b=5时用不等式表示a2+b2与2ab的大小是一当a=-3 , b=5时用不等式表示a2+b2与2ab的大小是当a=1 , b=1时用不等式表示a2+b2与2ab的大小是根据上述数学实验你猜想a2+b2与2ab的大小关系用a、b的其他值检验你的猜想15 .已知xvy,比较下列各对数的大小.5/ 一5,(1)8x-3 和 8y-3;(3) x-2 和 y-1.(2) -x 1 和一y1 ；66【答案与解析】一、选择题1 .【答案】C;【解析】解：-3<0是不等式，x&g

16、t;2是不等式，x=a是等式，x2-2x是代数式，xW3是不 等式，x+1>y是不等式.不等式共有 4个.故选C.2 .【答案】D;【解析】a不是负数应表示为 a>0,故A错误；x不大于5应表示为x<5,故B错误； x与1的和是非负数应表示为 x+1 >0,故C错误；m与4的差是负数应表示为 m-4<0,故D正确。3 .【答案】B.4 .【答案】D;【解析】从不等式 a< b入手，由不等式的性质 1,不等式a< b的两边都加上3后，不等 号的方向不变，得 a+3< b+3,故选项A不成立；由不等式的性质 2,不等式avb的两边都 乘以2后，不等号

17、的方向不变，得 2a<2b,故选项B不成立；由不等式的性质 3,不等式a vb的两边都乘以-1后，不等号的方向改变，得 -a>-b,故选项C也不成立；由不等式的性 质1,不等式avb的两边都减去b后，不等号的方向不变，得 a-bv0.故应选D.5 .【答案】A.6 .【答案】B;一.2)，2-3【解析】B错误，应改为：一x 1,两边同除以一，可得：x 。332二、填空题7 .【答案】> .3a>- 3b,两边同时加上一，得:3a【解析】在 avb的两边同时乘以-3,得:>总-3b.故答案为：>.8 .【答案】x2-a2<Q19 .【答案】2; -1、一

18、2【解析】一一代入验证.10 .【答案】(1)>(2)> (3)<(4) >11 .【答案】(1)> (2)> (3)<(4)<【解析】利用不等式的性质进行判断。12 .【答案】-1 v k< 3.三、解答题13 .【解析】解：(1) a>0 时，a+a>a+0,即 2a>a,a< 0 时，a+ava+0,即 2ava;(2) a> 0 时，2>1,得 2?a> 1?a,即 2a>a;av 0 时，2>1,得 2?av 1?a,即 2a< a.14 .【解析】解：当a=3 , b=

19、5时,a2+b2=34 , 2ab=30 ,a2+b2> 2ab ;当a=1 , b=1时a2+b2=2 , 2ab=2 ,1=1 ,a2+b2=2ab ;综合得出结论：a2+b2> 2ab ( a=b时，取"=")a2+b2> 2ab .设a=2 , b=2 ,则a2+b2=2ab=8 ,上述结论正确； 设 a=5 , b=3 ,则 a2+b2=34 , 2ab=30 ,所以 a2+b2> 2ab , 综上所述，a2+b22ab ( a=b w 0时，取"=")正确.15.【解析】解：(1) ; xv y8xv8y,8x-3 v

20、 8y-3.拓展:(2)x<y, 5-x65y6(3)xv y,x-2vy-2,而 y-2< y-1,x-2 < y-1.类型一、不等式的概念5克、小祛码皆为1克，且1.有数颗等重的糖果和数个大、小祛码，其中大祛码皆为卜图是将糖果与祛码放在等臂天平上的两种情形.判断下列正确的情形是（）.【思路点拨】 根据图示可知1个糖果的质量5克，3个糖果的质量V 16克，依此求出1个 糖果的质量取值范围，再在 4个选项中找出情形正确的.【答案】D.【解析】解：由图（1）知，每一个糖果的重量大于5克，由图（2）知：3个糖果的重量小于16克，即每一个糖果的重量小于 16克.故A选项错；两个糖果

21、的重量小于 32 102克故B选项错；333 e 一 16641三个糖果的重量大于 15克小于16克故C选项错，四个糖果白重量小于 4 21333克故D选项对.【总结升华】 观察图示，确定大小.本题涉及的知识点是不等式，涉及的数学思想是数形结合思想，解决问题的基本思路是根据图示信息列出不等式.举一反三：【变式】设“ ”、“ ”、“ ”分别表示三种不同的物体，现用天平秤两次，情况如图所示，那么、这三种物体按质量从大到小排列应为（）【答案】C.类型二、不等式的基本性质 2 22.下面四个命题： ac? bc?,则 a b； （2） a b,则 a|d b|c|；（3）若a b ,b则一 1 ； （

22、 4）若a 0,则b a b .其中正确的个数是（）.aA. 1个 B.2个 C. 3个 D. 4个【答案】B.【解析】 由ac2 bc2得c 0,因为c2>0,所以a b,正确；因为a b,当c 0时，a,所以错误;bb(3)因为a b,当a 0时，一没有息义，而当 a 0时，1,所以错误； aa(4)因为a 0,所以 a 0, b a b,正确.【总结升华】不等式的基本性质是不等式变形的主要依据，要认真弄清楚不等式的基本性质与等式的基本性质的异同点，特别是不等式两边同时乘以(或除以)同一个数时， 不仅要考虑这个数不等于0,而且先必须确定这个数是正数还是负数.举一反三：【变式1】a、b

23、是有理数，下列各式中成立的是().A.若 a> b,则 a2>b2;B.若 a2>b2,则 a> bC.若 awb,贝 a | w |b| D.若 | a | w |b| ,贝U awb 【答案】D.【变式2】若点P (1 - m, m)在第一象限，则(m - 1) x> 1 - m的解集为. 【答案】xv - 1.解：,一点P(1-m, m)在第一象限， - 1 - m >0, 即 m - 1 <0;不等式(m - 1) x> 1 - m,(m T ) x> - ( m 1),不等式两边同时除以 m-1,得： xv - 1, 故答案为：x

24、v- 1.3.设 a>0>b>c,且 a+b+c=-1 ,若 M =N=4 ab试比较M、N、P的大小.1 a M=-a?1? 1 ；【答案与解析】 a+b+c=-1 , - b+c=-1-a ,同理可得N=?1? 1, P=b又' a > 0 > b > c,-1?1? 1 V ?1 V ?1? 1V ?1? 1即 M v Pv N .【总结升华】 本题考查不等式的基本性质，关键是M、N、P的等价变形，利用了 整体思想消元，转化为a、b、c的大小关系.a (2016春?唐河县期中出响已知-2,且x>1, y<0,试确定x+y的取值范围.

25、【分析问题】先根据已知条件用一个量如y取表示另一个量如 x,然后根据题中已知量 x的取值范围，构建另一量 y的不等式，从而确定该量 y的取值范围，同法再确定另一未知量x的取值范围，最后利用不等式性质即可获解.【解决问题】解：: x-y=2, ,x=y+2.又x> 1,y+2> 1, y> - 1.丈;y< 0,，- 1 v y< 0, 同理得1vxv2由 + 得-1 + 1vy+xv0+2.x+y的取值范围是 0V x+yv 2.【尝试应用】已知 x- y=- 3,且xv - 1, y>1,求x+y的取值范围.【思路点拨】先根据已知条件用一个量如 y取表示另

26、一个量如 x,然后根据题中已知量 x的 取值范围，构建另一量 y的不等式，从而确定该量 y的取值范围，同法再确定另一未知量 x 的取值范围，最后利用不等式性质即可获解.【答案与解析】解：x- y=- 3,x=y 3.又 xv - 1, y - 3 v - 1,y<2.又 y>1,，1vyv2, 同理得-2Vx- 1由 + 得 1 2 v y+x v 2 - 1.，x+y的取值范围是一1 <x+y< 1.【总结升华】此题主要考查了等量代换及不等式的基本性质（1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等

27、号的方向改变；（3）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的 式子，不等号的方向不变.【巩固练习】一、选择题1 .下列不等式中，一定成立的有 （）.5>-2； a2 1 ；x+3>2； a +1 > 1 ；（a2 1）（b2 1） 0 .A. 4个 B. 3个C. 2个 D. 1个的大小关系为（2 .若 a+b > 0 ,且 b v 0 ,则 a, b , -a , -bA. -av-bvbva B. -avbv-bvaC.-a vb< a< -bD. b v -a v -b v a13.若avb,则下列不等式：1 a 122b5a5b1;a

28、 2A. 1个b 2.其中成立的有（B, 2个C. 3个).D.一. i 14 .右 0V xv 1,则 x,一xx2的大小关系是（).A 12A. x x B.xC. x2D.5 .已知a、b、c、d都是正实数，且刍<£ b d,给出下列四个不等式：a c 6c a 分 d bb da b cd cd a b c d a b a b c d其中不等式正确的是（）.D.A. B. C.6.（2016春?丰台区期末）下列不等式变形正确的是（A.由 a>b,得 a 2vb 2B.由 a>b,得一avb社 bC.由 a>b,得F"> 一D.由 a&g

29、t;b,得 ac>bc二、填空题7 .在行驶中的汽车上，我们会看到一些不同的交通标志图形，它们有着不同的意义，如图 所示，如果汽车的宽度为 x m,则用不等式表示图中标志的意义为 .艰宽ca b,8 . (1)右 2 -2，贝U a b;c c(2)若 m< 0, mav mb,则 a b.29 .已知 13x 121 (2x y m) 0,右 y<0,则 m10 .已知关于x的方程3x-（2a-3）=5x+（3a+6）的解是负数，则 a的取值范围是 11 . （2016春?齐南校级期末）下列判断中，正确的序号为 .若一a>b>0,则 abv0;若 ab>0

30、,则 a>0, b>0;若 a>b, cwQ 则 ac>bc;若 a>b, cwQ 贝U ac2>bc2;若 a>b, cwQ 贝U a- cv b c.12 .如果不等式3x-mW0的正整数解有且只有 3个，那么m的取值范围是 . 三、解答题13 .用不等式表不：(1)某工人5月份计划生产零件198个，前16天平均每天生产6个，后来改进技术，提前 3 天，并超额完成任务，设他 16天之后平均每天生产零件 x个，请写出满足条件的 x的关系 式；(2)今年，小明x岁、小强y岁、爷爷m岁；明年，小明年龄的 3倍与小强年龄的6倍之和 大于爷爷的年龄.14 .

31、若a>b,讨论ac与bc的大小关系.15 .根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法.若A-B> 0,则A>B;若A-B=0,则A=B;若A-Bv 0,则AvB.这种比较大小的方法称为“作差法比较大 小”，请运用这种方法尝试解决下列问题.(1)比较 3a2-2b+1 与 5+3a2-2b+b2 的大小；(2)比较a+b与a-b的大小；(3)比较3a+2b与2a+3b的大小.【答案与解析】、选择题1 .【答案】B;【解析】一定成立的是：；2 .【答案】B.3 .【答案】A ;【解析】根据不等式的性质可得，只有成立4 .【答案】C;一c 1【解析】: 0vxv 1,x2<x< -.x5 .【答案】A;【解析】a<£, a、b、c、d都是正实数， b dad v bc ,ac+ad < ac+bc，即 a (