概率论与数理统计：1-4 条 件 概 率

1、 14 条 件 概 率 一、引出条件概率的例子 二、条件概率的数学定义 三、乘法公式 四、全概率公式 五、贝叶斯公式 一、引出条件概率的例子 记“取出的产品是甲厂生产的”这一事件为A “取出的产品为次品”这一事件为B 则本例所需求的是已知A发生的条件下 B发生 的 概 率 此 概 率 记 作P(B|A) 称为在A发生的条件下 B发生的条件概率 例118 一批同型号产品由甲 乙两厂生产 产品结构如下 现在假设被告知取出的产品是甲厂生产的 那么这件产品为次品的概率是多大呢? 一、引出条件概率的例子 例118 一批同型号产品由甲 乙两厂生产 产品结构如下 现在假设被告知取出的产品是甲厂生产的 那么这

2、件产品为次品的概率是多大呢? 从这批产品中随意地取一件 则这件产品为次品的概率为 %83. 6120081)(BP 当被告知取出的产品是甲厂生产的时 由于甲厂生产的500件产品中有25件次品 因此 %550025)|(ABP 一、引出条件概率的例子 例118 一批同型号产品由甲 乙两厂生产 产品结构如下 现在假设被告知取出的产品是甲厂生产的 那么这件产品为次品的概率是多大呢? 当被告知取出的产品是甲厂生产的时 由于甲厂生产的500件产品中有25件次品 因此 %550025)|(ABP 注意 )()(1200/5001200/2550025)|(APABPABP)()(1200/5001200/

3、2550025)|(APABPABP )()()|(APABPABP 容易验证 对一般的古典概型 只要P(A)0 总有一、引出条件概率的例子 在几何概型中(以平面区域情形为例) 在平面上的有界区域内等可能地投点可见 在古典概型和几何概型这两类“等可能”概型中总有 )()()(/ )()(/ )()()()|(APABPSASSABSASABSABP )()()|(APABPABP 若已知A发生 则B发生的概率为 )|()|(11AAPAAPiiii )()()|(APABPABP (12) 二、条件概率的数学定义 定义13(条件概率 ) 给定概率空间( P) A B是其上的两个事件 且P(A)

4、0 则称 为已知事件A发生的条件下 事件B发生的条件概率 对给定的事件A P(A)0 条件概率满足概率的三条公理 (1) P( |A)1 (2)对任意事件B 有P(B|A)0 (3)对任意可数个两两不相容的事件A1 A2 An 有 例119 一袋中装有10个球 其中3个黑球 7个白球 先后两次从袋中各取一球(不放回) (1)已知第一次取出的是黑球 求第二次取出的仍是黑球的概率 (2)已知第二次取出的是黑球 求第一次取出的也是黑球的概率 记Ai为事件“第i次取到的是黑球”(i1 2) 解 (1)在已知A1发生 即第一次取到的是黑球的条件下 第二次取球就在剩下的2个黑球、7个白球共9个球中任取一个

5、 根据古典概率计算 取到黑球的概率为2/9 即有 92)|(12AAP 151PP)(2102321AAP说明 例119 一袋中装有10个球 其中3个黑球 7个白球 先后两次从袋中各取一球(不放回) (1)已知第一次取出的是黑球 求第二次取出的仍是黑球的概率 (2)已知第二次取出的是黑球 求第一次取出的也是黑球的概率 记Ai为事件“第i次取到的是黑球”(i1 2) 解 在已知A2发生 即第二次取到的是黑球的条件下 第一次取球发生在第二次取球之前 问题的结构不像(1)那么直观 采用(12)式计算P(A1|A2)更方便一些 (2)因为151PP)(2102321AAP 151PP)(2102321

6、AAP 103)(2AP 例119 一袋中装有10个球 其中3个黑球 7个白球 先后两次从袋中各取一球(不放回) (1)已知第一次取出的是黑球 求第二次取出的仍是黑球的概率 (2)已知第二次取出的是黑球 求第一次取出的也是黑球的概率 记Ai为事件“第i次取到的是黑球”(i1 2) 解 根据条件概率公式(12)可得 92)()()|(22121APAAPAAP92)()()|(22121APAAPAAP (2)因为 151PP)(2102321AAP151PP)(2102321AAP 151PP)(2102321AAP 103)(2AP 三、乘法公式 乘法公式 当P(A)0时 有 P(AB)P(

7、A)P(B|A) (1 3) 当P(B)0时 有 P(AB)P(B)P(A|B) (1 5) 根据条件概率公式 当P(A)0时 有 )()()|(APABPABP 从而 P(AB)P(A)P(B|A) 简要证明 三、乘法公式 乘法公式 当P(A)0时 有 P(AB)P(A)P(B|A) (13) 当P(B)0时 有 P(AB)P(B)P(A|B) (15)乘法公式的推广 若P(A1A2An1)0 则 P(A1A2An) P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(An|A1A2An1) (16) 例120 某批产品中 甲厂生产的产品占60% 已知甲厂的产品的次品率为10% 从这批产品中随

8、意地抽取一件 求该件产品是甲厂生产的次品的概率 记A表示事件“产品是甲厂生产的” B表示事件“产品是次品” 由题设知 解 P(AB)P(A)P(B|A) 根据乘法公式 有 P(A)60% P(B|A)10% 60%10% 6% 例121 袋中有10个球 其中3个黑球、7个白球 先后两次从中随意各取一球(不放回) 求两次取到的均为黑球的概率 设Ai表示事件“第i次取到的是黑球”(i1 2) 则A1A2表示事件“两次取到的均为黑球” 由题设知 解 103)(1AP 于是根据乘法公式 有 P(A1A2)P(A1)P(A2|A1)103)(1AP 92)|(12AAP P(A1A2)P(A1)P(A2

9、|A1)15192103 全概率公式的因果分析法全概率公式的因果分析法 对于一个具体的问题，首先找出题目所关心的对于一个具体的问题，首先找出题目所关心的“结果事件结果事件”： B，以及影响这一结果事件发生的所有，以及影响这一结果事件发生的所有“原因事件原因事件”： ，如果是知道各原因事件的概率，去寻找结果事件发生的概率时，如果是知道各原因事件的概率，去寻找结果事件发生的概率时，即即“由因导果由因导果”，则使用，则使用全概率公式。全概率公式。1,nAA 用图示：用图示： P( B )1,nAA )|()(iiiABPAP )()(iiiiABPABP )()()(iiABPBPBP )|()()

10、(iiiABPAPBP (17) 四、全概率公式 简要证明 定理11(全概率公式) 设Ai是一列有限或可数无穷个两两不相容的非零概率事件 且iiA 则对任意事件 B 有 )()()(iiABPBPBP )()(iiiiABPABP )|()()()(11iiniiniABPAPBAPBP 四、全概率公式 全概率公式的特例 设A1 A2 An是一个完备事件组 且P(Ai)0 i1 2 n 则对任意事件B 有定理11(全概率公式) 设Ai是一列有限或可数无穷个两两不相容的非零概率事件 且iiA 则对任意事件 B 有 )|()()(iiiABPAPBP (17) 例122 一袋中有10个球 其中3个

11、黑球 7个白球 从中先后随意各取一球(不放回) 求第二次取到的是黑球的概率 记Ai为事件“第i次取到的是黑球”(i1 2) 则有 解 P(A2)P(A1A2)P( A1A2)P(A1)P(A2|A1)P( A1)P(A2| A1)由题设易知 103)(1AP 92)|(12AAP 于是有 1039310792103)(2AP103)(1AP 107)(1AP 92)|(12AAP 93)|(12AAP 1039310792103)(2AP 例123 为了解一支股票未来一定时期内价格的变化 往往要分析影响股票价格的基本因素 比如利率的变化 现在假设人们经分析估计利率下调的概率为60% 利率不变的

12、概率为40% 根据经验 人们估计 在利率下调的情况下 该支股票价格上涨的概率为80% 而在利率不变的情况下 其价格上涨的概率为40% 求该支股票将上涨的概率 记A为事件“利率下调” 那么A即为“利率不变” 记B为事件“股票价格上涨” 据题设知 解 P(A)60% P(B|A)80% 于是 60%80%40%40%64% P( A)40% P(B| A)40% P(B)P(AB)P( AB) P(A)P(B|A)P( A)P(B| A) )|()()|()()()()|(jjjiiiiABPAPABPAPBPBAPBAP (19) )|()()|()()()()|(1jjniiiiiABPAPA

13、BPAPBPBAPBAP (19) 五、贝叶斯公式 贝叶斯公式的特例 设A1 A2 An是一个完备事件组 且P(Ai)0 i1 2 n 则对任意事件B P(B)0 有 定理12(贝叶斯公式) 设Ai是有限或可数无穷个两两不相容的非零概率事件 且iiA 则对任意事件 B P(B)0 有 例124 袋中有10个球 其中3个黑球 7个白球 从中先后随意各取一球(不放回) 如果观察到第二次取到的球是黑球 求第一次取到的是黑球的概率 设“第一次取到的是黑球”这一事件为A “第二次取到的是黑球”这一事件为B 则问题归结为求条件概率P(A|B) 解 根据贝叶斯公式 )|()()|()()|()()|(ABP

14、APABPAPABPAPBAP 易知 103)(AP 从而得 92931079210392103)|(BAP 103)(AP 92)|(ABP 92)|(ABP 107)(AP 107)(AP 93)|(ABP )|()()(31iiiABPAPBP 例125 设某批产品中 甲、乙、丙三厂生产的产品分别占45%、35%、20% 各厂产品的次品率分别为4%、2%、5% 现从中任取一件 (1)求取到的是次品的概率 (2)经检验发现取到的产品为次品 求该产品是甲厂生产的概率 记“该产品为甲厂生产的”这一事件为A1 “该产品为乙厂生产的”这一事件为A2“该产品为丙厂生产的”这一事件为A3 “该产品是次

15、品”这一事件为B 由题设知 解 P(B|A3)5% P(B|A2)2% P(B|A1)4% P(A3)20% P(A2)35% P(A1)45% (1)由全概率公式得 45%4%35%2%20%5%35% 例125 设某批产品中 甲、乙、丙三厂生产的产品分别占45%、35%、20% 各厂产品的次品率分别为4%、2%、5% 现从中任取一件 (1)求取到的是次品的概率 (2)经检验发现取到的产品为次品 求该产品是甲厂生产的概率 记“该产品为甲厂生产的”这一事件为A1 “该产品为乙厂生产的”这一事件为A2“该产品为丙厂生产的”这一事件为A3 “该产品是次品”这一事件为B 由题设知 解 P(B|A3)5% P(B|A2)2% P(B|A1)4% P(A3)20% P(A2)35% P(A1)45% (2)由贝叶斯公式得 %4 .51%5 . 3%4%45)()|()()()()|(1111BPABPAPBPBAPBAP%4 .51%5 . 3%4%45)()|()()()()|(1111BPABPAPBPBAPBAP%4 .51%5 . 3%4%45)()|()()()()|(1111BPABPAPBPBAPBAP 练习题：练习题： 在肝癌诊断中有一种血清甲胎蛋白法。用在肝癌诊断中有一种血清甲胎蛋白法。用A表示表示“被检验被检验者患有