电磁场课后答案

1、2-习亀1-3某材料含有密度为 10人个/米3的电子.以及同等量的一价正厲子。电子以 IfPm/s的平 均速度朝一个方向运动，正离子以 0.lm/s 的平均速度朝相反方向运动。求该材 料内的电荷密度 p 及 电流密度 J。解因为材料中含有的电子和正离子是同等量的 , 所以电荷密度卩 =0。 因为电流方向被定义为正 电荷运动方向，所以电流密度 J =Ji+J2, 式中= 千 Ji =由J| = 10 jxl020xl.6xi0 ,= 16 000J2 = 0.1 x lOAxiAx 10-2=1.6得J = Ji+72=16 001.6 A/m 7 习 1-6 已知曲线方程为I y = X2电流

2、方向为正电荷运动方向。2- 5习 HV4 直径为 1mm 的铜导线上有 10A 的恒定电流流过。若电子密度为1021 个/ 米? 试估计电子的半均速度。解因为 J = pv = l/La ,p= Ne.fff 以v =/(AaNe) = 10/?x(0.5xiO ,),xl02?xl.6xlO _w= 7.96xtO Jm/s2- 6习题1-5 个电子以IO解 电场对电荷 q 所做的功为 m/s的速度平行于z轴的正方向运动若平行于x轴正方向 加有一个强 度为 lb A/m 的均匀磁场。问 : 如果要使电子保持原来的运动状态 . 需再加一个什 么样的电场？解依题意有V = ?,106,H = G

3、10I x = 1 y 若使电子保持原来的运动状态 , 应使电子所受的外力沽伦兹力为零，即F#g = qE + gV X /2QH = 0 即E=-vXMoffxXlUv/m所以，为使电子保持原来的运动状态，应加一个电场：E= -i/wxio i 十算由点 (0.0.1) 沿曲线运动到点 ( 2? 4. -3)时. 电场 E = i,2jry 一 iy3x2 + *4 =x2,d = 2xdxz = l 7y=l*2dz = - 2jt( Lt2x 3dr - 3x 52xdj- + x(l - x 2)(-2x)dx/ 1 4672X7X 3心）0 (2?茁-6,甘-2, +2/壮)习4!2

4、5-J已知总为 Q的电费均匀分布在内半径为s外半径为b的空心琢上？求空间 各处的电场强度E（ r）.M如图18所示？这是一个已知II的分布？求场的何M。因为电荷奁空心球上均匀分布？所以空心球上的电荷密度为由积分形式的电场辰斯定 2Qod? = JvpdV取个半空为的球面。（1）当 OAr.a 时，有讯=0 由球对称性知E| = i rE|r （G ）打da =J : J( G )左=4 ” oE( r*)sin&d卩=J/dV = 0E ? （2=0 | = 0所以（2）当 ar nb 时 木La丘 2 ? da = JpdV因为空心球上的电荷为均匀分布，所以于是，空间的电场(OAr,a)分布

5、为(arR6)E=6 )4jt?o 厂？(沪-a)由球对称性知(r?)即所以(3)当 rb 时由球对称性知场? da = J* “ ?2?卩)亡 En&dOd 卩?r3 - a 3-4&0 厂沱 2.(心)-詳 rpQ八,(T =4, or263_ajQE2.爲禹Q彳 foE)? da = J/dV = QEj=ir Ejr (r.)可得所以EE)也E3-ir, 12Q? 4肚o片2-9习s -e出上题中IEI沿心的分布曲线。曲线连续吗？与例i? i中的曲线比较，从中可以得到什么结论？解片题中的电场分布为(OAr,a)(+F)Q(a r,，14A 琢(65 - b)o*lEllftr.的分布曲

6、线如图1-9所示。由图1-9H 1垒可以看出.曲线是连续的，与例11中的曲线比较，可以得出这样的结论：电荷不存花奇舁点，即 P不是无穷大时，场也保持连续。2-10例1-2 自由空间中的环形线电荷，半径为a,线电荷密度为 Ao. Ao是常数。求该环轴线上的电场强度，讨论当轴线上的点za时，电场的近似表达式。此结论说明了什么？解题思路 该系统具有以环形线电荷轴线为轴的对称性，可以选取柱坐标系，使z轴与该环轴线重合，由其对称性可知轴线上的电场强度只有z 方向上的分量 . 只需求解电场的z 分址即可E 二 E(G? g)=i, E,(几?卩? 2) + i/.WcE) + LE(nz)(1) 如果电场

7、与匚评无关？则衣达式可简化为E = E(z) = t r Er仍旧具有“2三个分娥。(2)如果电场没有“分就，则表达式可简化为E-B(rftf.z)=iJE t(r c.f 9z)仍IH与三个变v *有关:则环上任一？线元亦=如ad4亦0厂2解如图1? 3所示？选取柱坐标系，使：轴与环形线电荷的釉线重AoddYtP点产生的电场为由其对称性可知，轴线上的电场强度只有工方向上的分It,即dE, = dEasa = 洋程 cosa4K?or合?所以轴线上的电电荷住二处所产生的电场A()因为九心r = J / + 工,cosa =专|B |dw31? .= 0 26 + c）.导体上带有沿轴向流动的均

8、匀分布在导体戲面上的恒 定电St.电波独度为“。求空间的磁场强度HW）。（ W/K:用叠加原息）, _ _ 1 M对于该系统.在不失一般性的惜况下 .为方便起见.建立如下的坐标系：以半径为a的圆扶的轴线为=轴.且取.r轴过08柱及空洞轴，如图1-12所术。用叠加原理求制。首先求出在具有空洞的圆柱上的体电流J.然后祚空洞处补充一体电流密度为+ J和-J的鬪柱，于是.可将原系统等效为如图1-13所示的系统I和系统H。注意；本题不能补充的电流柱.因为这样做不可能将原系统分解成可用积分场定律求解的分系统，依題意有t H * dl j J *下曲分别求解条统 1和条统11的场。 对于系统I：由积分形式场

9、定律 取一个半径为rc的环路C,它所围的面积为So当OArca时因为J为當矢厳, 所以力也,=sJ - daJ ? da = JoKrl他=叫(2? d$ =打尸 2q)?讥 d 卩=2xrcH2F(re)因此H2 = S ( :; 2)ga时Hi ? ds = j J ? da?血=曲由对称性知Hi = W,G)? d$ = y cfHiF(rc)?卩=2nrcH (r c)因此fH，r 2。-2 也(：2-小 跖“防写成直角坐标变的形式，可得系统(宀)1中的场为(0?ca )./oa i+ #* 2xr c(a2-c2)-2 + y 2 2it(a 2c2)(61)I相同的方法求得对于系统

10、11:只需将坐标系平移.即并将电流密度改为-ijo,便可用与系统H-S( Xjr-W+g 巾 2 ；(化 2)( 0? ； c)22F 2：（ Q2-F ） = 一 （才 _6）2 + y 2n（a -c ）所以，空间的磁场强度为Ifi V. + i r l * 走_门一洞洞外住内c z 1叫皿IQ + 4_匚(才 6) foK2ir(a2-c 2) (x - b)2 y12n(a 2I 2?(才 6)Io/l 宀 H 2x( a 2-c2)(x -柱外/,)2 + 2 2Aa2.-R)已场分布为个半径为r的无限长圆柱面，在其上有沿轴向流 H| ? ds = 2nr cHjg习此S空间2的动、

11、密度为Ko的均 匀面电流。求空间的磁场分布H(r)。 (0Cr cR)n1, *pB 1 U解如图14所示，由于系统中 E = 0,所以修正的安培定律为打严 (QR)H ? ds = / V ? da且有K = igKo由对称性可知：H与q有关，而与pz无关，因此H = ifHT(rc)o取一个 半径为rc的圆为积分回路 C,它所围的平面面积为 So当OWqVR时J ? da = 0 Jst “2山=1 A2f( rc)r cdp = 2xrcH2f,(rJ=f J *da =0 Js 所以H2=0(0Ar cR时?r， = jr_a ，y = y,z=z&(x.y.z)坐标系中.选一个柱面作

12、为离斯面，柱面的上、下底与z=0=0的平面平行，旦距的平面的距离相等，柱面上、下底面积大小均为 由对称性知s。E = / z)习1-13已知在r = 0和z = a之间的区域中，分布有均匀的、密 为的体电荷.求空间的电场分布E(r)0解由电场离斯定律知J(0 da -如图1 15所示，肖先将坐标系原点沿X方向平移至a处，平移前、后坐标系间的关系为E(x)-E(-jr)。上eoE ：? daJ. SO ? ia阿.ir( 一 才)?(-ij)da + 0A2 da)所以(,T号时 foE| ? da=)? f,da + st=2StoE|,(jr)s.x*)? (-i,)da+ j co | ?

13、 daJs.pci=畑(r J2)梅坐杯轴)0)i).2)E?5T2eo(xa )(x0 )2-19习通1-14已知一个半径为a的无限氏导体圆柱, 的均匀体电流c求它在空间各点产生的陋场强度H(r)o解 如图1J6所示，无限长圆柱内的电流密度为由积分形式场在其上有沿取一个半轻为rc的环路C,所围的平面面枳为So 当 0Ar(va 时 f H 2?人=j/ ? da因为J为常矢董，所以-da = Joda = JArl?2 = Wr c)H2 ? ds =尸 2.(G)?以曲？ 2xrc H2r(rc)J c也=一 (Xr ea )(.Jo & 卜2j i应(r ca2r c0 1 L6m 17

14、可得即29 = 10* 0所以1xl= KTT=A|A-J=8.85x 10 6 C/m 2习通1-16对于一个点电荷产生的静电场，如果有一个闭合曲血，它 的侧面为頂点在点电荷上的圆锥面的一部分？两个端面分别是以点电荷为球心的、半径为Ri和R2的球面的一 部分, 证明如图1? 18所示，设点电荷位于球坐标系原点，它 在空间产生的电场为试证明这个其在闭合曲面 S上的净通联为环E * do + J v da式中，S(RJ、S(R2)分别为懐面弘在半轻为乩和局的球面上所截的 球冠面积(其中弘为半锥角)。因为圆锥S績上的通最为dd + i* da- d Iffi 118所以同理可得rf *是 +J百=

15、j(cosA 0 - 1)ls(Rp “？ da = J ： :红 inOdedp=f f ?0 W 用 sin&d&d 卩 Jo Jo 4g 用r=乎 sin&d&d 卩Jo Jo 4K=-y (cosAo - 1)p e()E ? da =sqE ? da + 1eAE ? da =01sJ&R,)JS(R2)另一方面.因为曲面所围体积内无静电荷存在习fl!1-15冇啊个互相平行的无限大金风平板，其上分 To?已知曲板相距1 cm ?板间电圧为MV,求的大小。(提解由前述的例越1? 3可知，如图117所示，购个互相平 行的无限大带电金Mf-fiE = -i r 29(OVzVd)0lo(?

16、0)由 V=EdjjdV 0f Ci dd * j pdV * 0可见这个场在该曲面上満足电场离斯定律。习题2? 2已知导体内的电流与电场之间的关系为:J = eE,式中为导体的电导率。宙由式(2?3)和式(2 5)证明：在。为常数的导体内，不可能积累电荷。说明这个证明为什么不适用于导体表面。解将导体内电流和电场的关系J = aE代入式(2? 5)中，有 ? J = pE =-子 Ot因为a为常数，所以。可提到积分号外，于是有 ? J= d ? E = V ? () = at将式(2-3)代入上式，有j-If解上述方程可得QuQoe %式中,po为时的电荷密度。由于p是/的负指数函数，因此，随

17、着时间的增加，导体内的P要逐渐衰减。因为导体的(7/罚非常大，所以，在很短的时间内Y就可以衰减为零。因此，在”为常数的导体内，不可能 积累电荷。导体表面上场量可能是非良态的？是场量不连续边界，由于微分形式场定律不适用，所以上述证明不适用于导体表面。习题2? 3求下列电场的源分布。(1) E(r) = i/Eex2 (E。为常数)fl的源？即电荷(2) E(r) = i r d(a 为常数)解由干本題中两个电场分布均不存在奇异点？故可用微分形式电场高斯定律求得它的分布。(1) p = V ?CoE = 2 oEo-rn r_L. d(rfsinfti) 2a oE(j-) = i TVo(f )

18、2 (0zd)式中，匕，为常数。求：?解(I)板间的体电荷分(1) 板间体电荷分布；(2) 理想导体板内电场为0,在两板相对的两个面上的电荷分布情况如何布，可直接由微分形式电场高斯定律求得_ p r 2CoVOXP=v *?0E =(2)两板相对的两个面上的电荷分布可由电场法向边界条件求解Q在0 处AO = G，?OaLsO = O在 jr = d 处%= -G?oA|x./= - ?oVo3-10习？25 K2-4中?若板间电场为*E(or “= i.Vosin (芳)。os(字)(0x/)式中? o为常ft.c=( Aoa )式中Jo为常试用fit分场定律求它产生的it场分布, 并用积分场

19、定律验i君S (QX用徽分场定冷求處场分布 +鞘厂知i0 ,故应有限, 所以应有丄无关？即*1U 旦旦聲I孑 dpJfj rTHr Hf习？2-6巳知空间的电潭分布为可因为f本题是静态场问 H,所以有因为在4 = 0处没有线电流，,A=0C由系时的对由性可知？麋统与了丄无关 因为且童场只有分?即所以，当OW ca,时，取半径为，的环=2Hp(q)I ./ ? da = J() na2 J sL. .可得% ( 口)=缎所以，由积分场定律验证得到的磁场分布也为2.Jg(OAr ta )3-17习ft 2-7试址明在一个勺.r和y无关的系统中？无散无靛的矢域场A(r.r)是?个均匀时变场证朗由越意

20、M(ru)是无散无族的矢虽场？所以有V ?4 (r.Z )工 0V x A(r.f)-0由典为系统M T.y无关?pA.11所以1由吨* -朮土 XA Ay A f4-2习? 3? 1由于E(r)= -V4(r).因此，若已知空间簾点电位则可求出浜点处的电场：这个结论是否止确？若已知电位4X0Q0) = 100 V.能否求出 E(0,0.0)?解该结论是備谋的。因为作为电位场的负梯度 ？电场 E)反袂了电位场的空间变化度，故只有知過电位场随空间的变化慵数 G(刀时，才可求出电场 E(r)o只知道某点处的电 位值是无法得到电位在空 间的变化情况的。若已知电位6(000) = 100 V,不能求出

21、E(0,0,0)o = O,则空间任一点 P相对于Po点的电位分布为需要注意的是：参考点的选定可使空间各点的电位值惟一，离开参考点来谈某点的电位是没有意义的。4-5习通3-4已知在My平面上有三个点电荷，*( -a,0) = IC,g 2(0.a ) = 2C.q %a .0) = 1C o求空间的 电场分布E(r)o解因为在空间某点的点电荷的电位为0()=4加(心所以，三个点电荷产生的电位分别为5 =盘*、=(沪八外“根据叠加原理，空间的电位分布为5/)=药 + 5 + 5 因此，空间的电场分布为E(r)= - V* +层477+(号丄。-1.Inz)所以.根据电位的桥加原理.正方形均匀线电

22、荷在 P(0,0,z)点处产生的电位为 轴线上的电场分布为人o az4(0.E(O,0,Z)- -V#(O,O,?)=i,4-10习题36两条线电荷密度等于“，但符号相反的无限长且互相平行的均匀线电荷.当它们之间的距离df0, 8,但保持xad为席数时所得到的极限模型称为二维电偶极子。Pt =hd称为二维电個极子的偶极矩。试求二维电偶极子的电位和电场分布。M依题意建立如图3-10所示坐标系.取两线电荷所在平面为心平面，两线电荷的中心处为=轴。因为位于z轴的无限长线电荷“在空间产生的电位为P = Cxjnr c2x = 0.此时即有c=o及0 = zA-ln 22xce rcj当dT时，可得到d

23、qf 三86护d工f卩=对_rc- y cos?1 + z a?yInl-Q=忠山(1+菇卩)-加(1-令z =驾严 由于d-0.故上式含有ln(l ),x-0的賂数形式。将ln(l 在 z=0处喪开，则有cos午)-ln(l-务0卩卜尹cos卩听以。=孟严若定义PT= d为二维电偶极尸的偲极矩，则有0二議呵电场为e = -ve4-12习B3-有一个位于z轴的线电荷系统,7A(r)=? 1_，式中，儿为常数 求它在心面上的电位和电场分布。z0z(.r ,j? ,0)=0由于电力线是由正电荷发出而终止于负电荷的.因此它在xOy面上的电场强度应有 s方向的 分址所以，不能使用e( ,y,0)来求E

24、(r,y,0),只能使用直接积分来求电场分布。如图3-11所示.为求心面上任意一点 P处的电场，先分别在dzi.dzz.且使Idz ； I = |dz ； l,则它们在P点处产生的电场分别为晌.a4 _4?o(x 2 +dEz 2乡？-入.d珀+4x?o (-r 2 +dE =dE| $ Z 2)*dE其合成h和-石线电荷上士 z处取线元df；WX 1 、mi u由于ij = - i (2sina丈中?J卩+ /+以斬以1FAozdzdE- “ 253+寸+尹严龙中，i| U2分别为2指向P点的单位矢將dE在=从0到8进行积分，可得入 o/ch，：I r 2n? o(x 2 +* z2) i.

25、cosp) = - i ”8(2) 在rc = 2m的圆柱面上的面电荷務度.可由边界条件求得7 =-2)(0r c2)(0r c21o.T S2若这两种导体的介电常数都是co.试求：(1) 系统的电流分布。(2) 在rc = 2 m的圆柱面上的面电荷密度。?依题意，可建立如图3-14所示的坐标系，冃有(1) 由于系统中的电场分布为=L? (? OE- “ E)2=-1.2fosin 护4-16习A3- 10证明格林定理da = J v(AV2/ + W, ? V/)dV和V/ yV|()-da = J (|V2/ /V2)dV证明：由离斷定理f A - da = V ? Ad V令A =且由矢

26、量公式 ?( 0 V /) = W-V f+0 好 可得格林第一定理(sV/.da = ,(002/+. v/ ) dv若令a =/ %?!由格林第一定理可知/V ? da = J (/V 2a + V/ ? ip) dV将以上两式相减.可得格林第二定理札(八/ - da = j v( AV2/- /V2TdV4-19习B3-11导出图3-15所示的镜像关系式15解该系统的边界条件为0(r)| r#.il = Oe( /)图(a)所示系统可以由图(b)所示镜像系统代替？即图(b)所示的电荷系统可以保证这 两个边界条件。根据点电荷电位叠加的关系，导体球面上的电位为?|,., = -2-丄 + =

27、4?4?o r 4i? or式中r = Q R? + 护2RdcosE由边界条件叫R=0,有q ill4 兀 r 4 兀?(7厂 即g2(R，十沪)-/2(R2 + 屮)=2RcosG (如 2 - dq 2)因为8S&为任意变量，为了保证等式两边相等，则有g2(R2 + &2 ) _ /2( R2 + 护)=如 2 _ dqU = OR2 + X_ bR + d 1 ,d g2式中的参数关系为ft = y(或 M = R2)q=学 q(或 dq = Rq)4-24习ff 3-13有一个一维导体直角形，如图3-17所示，设导体无限薄垃接地(1)若有一点电荷q如图3-17(a)所示放H,求空间的

28、电位和电场分布。解(1)用镜像法求解，系统的等效镜像系统如图 可以很容易地写出角域中的电位分布为圏3 18 若电荷如图377(b)所示放置，是否可用镜像法求解？为什么？3? 18所示。由点电荷的电位表达式讣二 冷你1.-V (工-a )2 + (y - a )2 + 工J 1 工 + a 2 + (y + a 卩 * V(x - a ) 2 + (y + a F +电场分布为E = - V0-q !匚（才-0） + 0 （ $V 1 ） + 7* 匚（工 + a） + 0 （,?幺）+ 2 +4（工-a 卩 + （y - a 卩 + / P（x + a ） 1 + （ -fl） 2 + z2

29、172 *匚（工 + a） + i ,（y + a ）+ 20 （# - a ）+ i,（y + a ）+ 2 （工+ a F + _（ y + a F + 工卩（才一_a F 令 （ y + a F + z2讪 J（2）当电荷如图3? 17 （ b）所示位放时？不能再用镜金法求解，原因如下。在使用镜像法时泌须保证原边界（工0=0）和（工=0,y0）上电位为零，如果按昭八、（1）中方法配倉镜像电荷，必然使得才=0和y = 0两个平面上电位为零，相当于又增加了两个条件，即（工 VO.y9 ）和（工=0? yV0 ）上电位等于零，这与原题意不符。而且，这样做的结果 会使得镜像电荷进人（才V 0*0）和（=0?，V 0）的区域中，而这两个区域是 包含在求解区 域中的，这将破坏电位在求解区域中所満足的方程。根据惟一性定理，此时即 使用镜像法得到场解,也不再是原问题的解 C另外，此时待求角域的范围为a = f = 2 ; 3,而2/3不是正整数，故不符合镜像法在角城时的使用条件。4-26习通3-15已知在j=