瞬时变化率—导数

1、3.1.2瞬时变化率导数学习目标：1.理解导数的概念和定义及导数的几何意义(重点)2.理解运动在某时刻的瞬时变化率(瞬时速度)(难点)自 主 预 习·探 新 知1曲线上一点处的切线设曲线C上的一点P，Q是曲线C上的另一点，则直线PQ称为曲线C的割线；随着点Q沿曲线C向点P运动，割线PQ在点P附近越来越逼近曲线C.当点Q无限逼近点P时，直线PQ最终就成为在点P处最逼近曲线的直线l，这条直线l称为曲线在点P处的切线2瞬时速度运动物体的位移S(t)对于时间t的导数，即v(t)S(t)3瞬时加速度运动物体的速度v(t)对于时间t的导数，即a(t)v(t)4导数设函数yf(x)在区间(a，b)

2、上有定义，x0(a，b)，当x无限趋近于0时，比值无限趋近于一个常数A，则称f(x)在点xx0处可导，并称常数A为函数f(x)在点xx0处的导数，记作f(x0)5导函数若函数yf(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作f(x)6函数yf(x)在点xx0处的导数f(x0)的几何意义是曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率基础自测1判断正误：(1)函数yf(x)在xx0处的导数值与x值的正、负无关()(2)在导数的定义中，x，y都不可能为零()(3)在导数的定义中，0.()【解析】(

3、1).x是自变量的增量，可正可负，函数f(x)在xx0处的导数与它的正负无关(2)×.y可以为0，如常数函数(3)×.也可能是负数或0.【答案】(1)(2)×(3)×2函数f(x)x2在点(1,1)处切线的斜率是_【解析】k2x，当x0时，k2，故所求的切线的斜率是2.【答案】23一辆汽车运动的速度为v(t)t22，则汽车在t3秒时加速度为_【解析】6t，当t0时，6，故汽车的加速度为6.【答案】6合 作 探 究·攻 重 难求瞬时速度与瞬时加速度(1)一辆汽车按规律s2t23做直线运动，求这辆车在t2时的瞬时速度(时间单位：s，位移单位：m)(

4、2)设一辆汽车在公路上做加速直线运动，其在t s时的速度为v(t)t21，求汽车在t1 s时的加速度. 【导学号：95902184】思路探究(1).(2)【自主解答】(1)设这辆车在t2附近的时间变化量为t，则位移的增量s2(2t)23(2×223)8t2(t)2，82t，当t0时，8，所以这辆车在t2时的瞬时速度为8 m/s.(2)设这辆车在t1附近的时间变化量为t，则速度的增量v(1t)21(121)(t)22t，t2，当t0时，2，所以汽车在t1 s时的加速度为2.规律方法(1)求瞬时速度的步骤：求位移增量sS(t0t)S(t0)；求平均速率；求瞬时速度：当t趋近于0时，趋近于

5、v.(2)求瞬时加速度的步骤：求平均加速度；令t0，求瞬时加速度.跟踪训练1若一物体的运动方程为S7t28，则其在t_时的瞬时速度为1.【解析】因为7t14t0，所以当t0时，趋近于14t0，即14t01，t0.【答案】求函数在某一点处的导数求函数yx在x1处的导数. 【导学号：95902185】思路探究方法一：先求y，再求出，令x0，可求f(1)，先求出f(x)，再求出f(x)在x1处的值方法二：先求出，当x无限趋于0时，即可求出f(x)在x1处的值【自主解答】方法一：y(1x)x1，当x0时，0，f(1)0.方法二：1，当x无限趋于0时，1无限趋近于1，即f(x)1，故f(1)0.函数yx

6、在x1处的导数为10.规律方法由导数的定义知，求一个函数yf(x)在xx0处的导数的步骤如下：(1)求函数值的改变量yf(x0x)f(x0)；(2)求平均变化率；(3)求当x0时，的值，即f(x0).跟踪训练2根据导数的定义求下列函数的导数：(1)求yx2在x1处的导数；(2)求yx25在点P处的导数【解】(1)y(1x)2122x(x)2，2x，当x无限趋近于0时，2x无限趋近于2，所以f(1)2.(2)y(2x)254x(x)2，4x，当x0时，4，故f(2).导数的几何意义及应用探究问题1平均变化率的几何意义是什么？【提示】平均变化率的几何意义是过点P(x0，f(x0)和Q(x0x，f(

7、x0x)割线的斜率2在探究1中，若让x0，割线PQ是如何变化的？【提示】当点Q沿着曲线无限接近点P，即x0时，割线PQ有一个极限位置PT，我们把直线PT称为曲线在点P处的切线3根据探究2的答案，导数的几何意义是什么？【提示】函数yf(x)在xx0处的导数的几何意义是曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线斜率kf (x0)4我们在初中学过圆的切线，圆是一种特殊曲线，圆的切线与圆只有一个公共点，其他曲线和它的切线也只有一个公共点吗？【提示】曲线的切线，并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以有无穷多个求双曲线y过点的切线方程. 【导学号：95902186】思路探究由导数的几何意义先

8、求出斜率，再求方程. 【自主解答】，当x0时，即kf(2).所以由直线方程的点斜式知切线方程为：y(x2)，即yx1.规律方法1求曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线方程即点P的坐标既适合曲线方程，又适合切线方程，若点P处的切线斜率为f(x0)，则点P处的切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)；如果曲线yf(x)在点P处的切线平行于y轴(此时导数不存在)，可由切线定义确定切线方程为xx0.2若切点未知，此时需设出切点坐标，再根据导数的定义列关于切点横坐标的方程，最后求出切点坐标或切线的方程，这种情况下求出的切线方程往往不止一条跟踪训练3已知直线y3xa和曲线yx3相切，求实数a的

9、值【解】设切点为M(x0，y0)，则3x3x0(x)(x)2，当x无限趋近于0时，3x3x0(x)(x)2无限趋近于3x.由题意得，3x3，解得x01或x01.所以切点坐标为(1,1)或(1，1)将点(1,1)代入直线y3xa，可得a2；将点(1，1)代入直线y3xa，可得a2.综上可知，a2或a2.构建·体系 当 堂 达 标·固 双 基1设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0x)f(x0)axb(x)2 (a，b为常数)，则f(x0)_.【解析】ab·x，当x0时，a，f(x0)a.【答案】a2已知曲线yx3，则以点P(2,4)为切点的切线方程是_. 【导学号：95902187】【解析】x2(x2)x·x，当x0时，x2，所以f(x)x2，kf(2)4，切线方程为y44(x2)，即y4x4.【答案】y4x43设函数f(x)ax32，若f(1)3，则a_.【解析】3a3axa(x)2当x0时，3a，所以f(1)3a3，即a1.【答案】14.如图3­1­3所示，函数yf(x)的图象在点P处的切线方程是yx5，则f(3)f(3)_.图3­1­3【解析】由导数的几何意义知f(3)1，又f(3)352，f(3)f(3)2(1)3