近代信号处理(报告)

1、RLS算法与LMS算法收敛性能对比研究分析报告人：徐辉报告人：徐辉20201414年年6 6月月 5 5日日目录问题描述 算法仿真实现和分析 自适应均衡算法LMSRLS总结分配徐辉：负责RLS算法理论及结果分析汪朝林：负责RLS算法实验仿真陈超：负责LMS算法理论及结果分析王含章：负责LMS算法实验仿真小组集体：完成RLS算法和LMS算法对比实验分析小组课程报告分工小组课程报告分工问题描述本文主要针对本文主要针对LMS算法和算法和RLS算法进行对比研究，在分析各自算法原算法进行对比研究，在分析各自算法原理的基础上，对两种算法的收敛性能对、信号的追踪效果以及计算复理的基础上，对两种算法的收敛性能

2、对、信号的追踪效果以及计算复杂度进行比分析，研究影响各自收敛性因子对其收敛性的影响。杂度进行比分析，研究影响各自收敛性因子对其收敛性的影响。自适应横向滤波原理 1*0( )()( )( )MHTkky nw x nkw x nxn w原理图公式描述( )( , (1),., (1)Tx nx n x nx nM输入矢量：加权矢量：011( )( ),( ) ,.,( )TMw nw n w nwn*( )( )( ) ( )( )( )HTd ny nwn x nxn w n相应估计：( )( )( )( )( )( )( ) ( )He nd ny nd nd nd nwn x n估计误差：

3、LMS算法原理 LMS自适应滤波器是使滤波器的输出信号与期望响应之间的误差的均方值最小。在最陡下降法中，先设置一个 初值 ，沿着 的负梯度方向调整系数使性能函数的最优向量递归：其中 为 的梯度， 是步长常量，它决定了算法的稳定性和收敛速度。要计算精确的 ，要求输入信号 和 平稳且二阶统计特性已知。为了减少计算量，在最陡下降法的公式中用梯度估计 代替梯度 ，从而得到：LMS算法用 代替 ，得 ，结合估计误差计算式，得( )w n(0)w(1)( )w nw n 22xxxdR wr2( )E e n( )x n( )d n( )n( )n(1)( )( )w nw nn2( )e n2( )E

4、e n2(1)( )( )w nw ne n *(1)( )2( )( )iw nw ne nx nRLS算法算法原理 RLS算法采用的是最小二乘准则，利用在已知n-1时滤波器抽头权系数的情况下，通过简单的更新，求出n时刻的滤波器抽头权系数。采用最小均方误差准则，其代价函数为： 其中 称作遗忘因子，引入遗忘因子作用是离n时刻近的误差赋较大权重，离n时刻远的误差赋较小权重，确保在过去某一段时间的观测数据被“遗忘”，从而使滤波器可以工作在非平稳状态下。2| )(|)(inJin10估计误差定义：)(y)(iiid）（)()n()(iixwidH）（将误差代入代价函数得到加权误差平方和的完整表达式：

5、20| )(*)()(|) n (ixnwidJHinni为求得最优解为求得最优解 ，利用递推最小二乘算法，计算如下：，利用递推最小二乘算法，计算如下：nwoptrnRnwXXopt1)(其中 是均衡器输人矢量的自相关矩阵：衡器输人矢量的自相关矩阵：)(nRXX)()()(n0ixixnRHiniXX)()()(*0idixnrinni矩阵求逆得矩阵求逆得：)() 1n()(1) 1()()() 1() 1()(11112111nxRnxnRnxnxnRnRnRXXHXXHXXXXXX令令)n()(1XXRnP)1()n()() 1n()(1nPxnkPnPH，得，得权系数更新：) 1()()

6、()()() 1() 1() 1()()()() 1()()()() 1()() 1() 1()r(P()r()(*11nwnunknkndnwnrnPnunknunPnunknunPndnrnPnnnnRnwHHHXX最终得：最终得： (n)k(n)e1)-w(n)(*nw式中先验误差：式中先验误差：)() 1()()(nxnwndneH最后更新代价函数：最后更新代价函数：20| )(*)()(|) n (ixnwidJHinniLMS算法仿真结果不同收敛因子的实验结果对比不同收敛因子的实验结果对比采样点数采样点数N=512，滤波器阶数，滤波器阶数k=64，同等条件下试验次数，同等条件下试验

7、次数g=100，再对结果求，再对结果求平均。收敛因子分别为平均。收敛因子分别为u=0.001，u=0.005，u=0.01，u=0.04 4。目标信号和输入信号：目标信号和输入信号：输出波形：均方误差波形：结果分析：收敛因子收敛因子u u决定了信号收敛的速度和输出波形的调整时间。决定了信号收敛的速度和输出波形的调整时间。 当当u u取值在收敛范围内时，从不同取值在收敛范围内时，从不同u u值的输出波形可以看出，值的输出波形可以看出，u u值越小，输出波形的调整时间越长，值越小，输出波形的调整时间越长，u u值越大，输出波形调值越大，输出波形调整时间越短，较快达到平稳状态，但是波形的平滑度有所降

8、整时间越短，较快达到平稳状态，但是波形的平滑度有所降低；从均方误差波形对比可以看出，低；从均方误差波形对比可以看出，u u值越大，收敛速度越值越大，收敛速度越快。理论上来说，快。理论上来说，0 0 2/ 2/max max ，maxmax是输入信号自相是输入信号自相关矩阵的最大特征值。当关矩阵的最大特征值。当u=0.04u=0.04时，无法实现正常滤波，均时，无法实现正常滤波，均方误差不再收敛。方误差不再收敛。不同滤波器阶数的实验结果对比不同滤波器阶数的实验结果对比采样点数采样点数N=512，收敛因子，收敛因子u=0.005，同等条件下试验次数，同等条件下试验次数g=100，再对结果，再对结果

9、求平均。滤波器阶数分别取求平均。滤波器阶数分别取k=10，k=30，k=64。输出波形： k=10k=30k=64均方误差波形：在不同在不同k值时，取三个不同的值时，取三个不同的u值，分别为值，分别为u=0.001，u=0.005，u=0.01k=10k=30均方误差波形：k=64结果分析：由输出波形对比图可知，当由输出波形对比图可知，当k=10k=10时，滤波效果较差，输出时，滤波效果较差，输出信号中所含杂波成分较多，波形也不够平滑；信号中所含杂波成分较多，波形也不够平滑；k=30k=30时效果有时效果有所改善，但是依然不够好；当所改善，但是依然不够好；当k=64k=64时，效果较好，整体波

10、形时，效果较好，整体波形比较平滑。由此可以得出，在其他实验条件相同的情况下，比较平滑。由此可以得出，在其他实验条件相同的情况下，随着滤波阶数增多，滤波效果会更好。随着滤波阶数增多，滤波效果会更好。由均方误差波形对比图可知，当由均方误差波形对比图可知，当u u取相同值的情况（相同取相同值的情况（相同颜色的曲线）下，在颜色的曲线）下，在k=10k=10时，输出波形尚未收敛，随着时，输出波形尚未收敛，随着k k值值变大（变大（k=30,k=64k=30,k=64），均方误差收敛速度变快。），均方误差收敛速度变快。RLS算法仿真结果不同遗忘因子的实验结果对比不同遗忘因子的实验结果对比分别取遗忘因子分别

11、取遗忘因子 ， ， 三种情况进行分析，输入的期望三种情况进行分析，输入的期望信号为非平稳信号信号为非平稳信号 1 . 04 . 08 . 0)05. 0sin(t输入信号和噪声：050100150200250300350400450500-1-0.500.51幅值输 入 周 期 性 信 号050100150200250300350400450500-4-2024幅度采 样 点被 随 机 噪 声 污 染 的 信 号输出信号与目标信号：不同收敛因子的输出信号：050100150200250300350400450500-20020a=0.1时 的 误 差 信 号050100150200250300

12、350400450500-505a=0.4时 的 误 差 信 号050100150200250300350400450500-202a=0.8时 的 误 差 信 号不同收敛因子的误差信号：0501001502002503003504004505000200400a=0.1时 的 MSE05010015020025030035040045050001020a=0.4时 的 MSE050100150200250300350400450500024a=0.8时 的 MSE结果分析：从以上实验结果可以分析得出，随着遗忘因子的增大，收从以上实验结果可以分析得出，随着遗忘因子的增大，收敛情况越好，由于不同

13、遗忘因子仿真的幅值不同，导致在图敛情况越好，由于不同遗忘因子仿真的幅值不同，导致在图中看的不明显，但还是可以看出较大是均方误差。就对输入中看的不明显，但还是可以看出较大是均方误差。就对输入信号的追踪效果而言，图信号的追踪效果而言，图2 2所示的参考信号和期望信号的匹所示的参考信号和期望信号的匹配效果来看，也比较理想。且当迭代次数达到配效果来看，也比较理想。且当迭代次数达到350350次的时候次的时候基本趋于稳定。基本趋于稳定。RLS与与LMS算法对比分析算法对比分析0200400600800100012001400160018002000-10-8-6-4-202468信 号 点 数 nx(n

14、)/w(n)基 于 AR（ 2） 模 型 产 生 的 信 号 x和 高 斯 白 噪 声 w 信 号 序 列高 斯 白 噪 声输入信号：0200400600800100012001400160018002000-2-1.5-1-0.500.511.52信 号 点 数 n对应a1、a2的值LMS与 RLS算 法 收 敛 性 能 对 比 ， LMS耗 时 ： 0.0075304 s, RLS耗 时 ： 0.034347 s LMS-a1变 化RLS-a1变 化LMS-a2变 化RLS-a2变 化a1收 敛 值a2收 敛 值对比参数选取： RLS算法的遗忘因子 ，LMS算法步长 对比结果图对比结果图001. 0u9 . 00200400600800100012001400160018002000-6-5-4-3-2-101234信 号 点 数 n对应a1、a2的值LMS与 RLS算 法 收 敛 性 能 对 比 ， LMS耗 时 ： 0.0073895 s, RLS耗 时 ： 0.033246 s LMS-a1变 化RLS-a1变 化LMS-a2变 化RLS-a2变 化a1收 敛 值a2收 敛 值对比参数选取： RLS算法的遗忘因子 ，LMS算法步长 98. 002