傅里叶光学课件

1、线性系统：线性系统：脉冲响应：脉冲响应：线性不线性不变系统变系统:传递函数：传递函数：若系统对若干激励的线性组合的整体响应等于若系统对若干激励的线性组合的整体响应等于 ，则，则该系统称为线性系统。该系统称为线性系统。系统对系统对 的响应。的响应。输入脉冲输入脉冲位移位移时时, 仅使响应函数仅使响应函数 ，则此线性系统称为则此线性系统称为线性不变系统。线性不变系统。线性不变系统线性不变系统 称为传递函数，称为传递函数，又称为又称为。线性不变系线性不变系统的输入输统的输入输出关系：出关系：空域空域频域频域),(),(),(yxhyxfyxgG(fx, fy) = F (fx, fy) H (fx,

2、 fy) 单个激励所产生的响应的线性组合单个激励所产生的响应的线性组合 脉冲响应函数的脉冲响应函数的 F.T.频率响应频率响应产生相应的位移产生相应的位移输入脉冲函数输入脉冲函数第一章第一章 二维线性系统分析二维线性系统分析Analysis of 2-Dimensional Linear System 1.4 抽样定理抽样定理 Sampling Theorem问题的提出问题的提出: 对于一个连续的信号对于一个连续的信号(模拟信号模拟信号), 是否是否必须连续地发送必须连续地发送,才能传递信号所包含的全部信息才能传递信号所包含的全部信息?答答:为了完全描述一个频带受限制的信号为了完全描述一个频带

3、受限制的信号(带限信号带限信号), 可以对它在离散点可以对它在离散点(时间或空间点时间或空间点)进行抽样进行抽样.抽样定理抽样定理若函数若函数g (x, y) 不包括高于不包括高于Bx 和和By 的频率分量的频率分量,则此函则此函数可以由一系列间隔数可以由一系列间隔(X, Y )等于或小于等于或小于1/(2Bx)和和1/(2By) 处的函数值完全决定处的函数值完全决定. X, Y: 时时/空域空域, 间隔间隔; Bx , By :频域频域, 带宽带宽1.4 抽样定理抽样定理 1、函数的抽样、函数的抽样上式表明上式表明,抽样后的函数抽样后的函数gs(x,y)由间距分别为由间距分别为X和和 Y的的

4、d d 函数阵列构成函数阵列构成, 每个每个d d 函数下的体积正比于该函数下的体积正比于该点的函数值点的函数值.),(combcomb ),(yxgYyXxyxgs将连续函数将连续函数g(x,y)在间隔为在间隔为X和和Y的分立的空间的分立的空间点上抽样点上抽样, g(x)0 x=.xcomb(x/X)0 x0gs(x)X 就是与梳函数相乘的过程就是与梳函数相乘的过程.抽样后抽样后的函数系列用的函数系列用gs(x,y)表达表达:1.4 抽样定理抽样定理 1、函数的抽样：二维情形、函数的抽样：二维情形),(combcomb ),(yxyxsffGYyXxffG 1.4 抽样定理抽样定理 抽样函数

5、抽样函数gs(x,y)的频谱的频谱),(,yxnmyxffGYmfXnf d nmyxYmfXnfG,),(combcomb yxyxffGYfXfXY经过抽样后函数的频谱经过抽样后函数的频谱,是原连续函数的是原连续函数的频谱以间隔频谱以间隔1/X, 1/Y重复平移并叠加重复平移并叠加.),(combcomb ),(yxgYyXxyxgs1.4 抽样定理抽样定理 二、函数的抽样二、函数的抽样抽样后函数抽样后函数gs(x,y)的频谱的频谱如果如果G (fx, fy)频带无限制频带无限制, 则这则这些频谱函数必然会重叠。些频谱函数必然会重叠。 nmyxYmfXnfG,Gs(fx, fy)即使即使G

6、 (fx, fy)是频带有限的函数是频带有限的函数, 若若X,Y取值不合适取值不合适, 这些重复的这些重复的频谱函数之间也会互相重叠频谱函数之间也会互相重叠.fxGs(fx)01/X1/X只有使这些频谱函数互不重叠只有使这些频谱函数互不重叠, 才有可能用滤波的才有可能用滤波的方法方法,从中提取出原函数的频谱从中提取出原函数的频谱, 进而求出原函数进而求出原函数.fxGs(fx)01.4 抽样定理抽样定理 二、函数的抽样二、函数的抽样由抽样值还原出原函数的条件由抽样值还原出原函数的条件fxG(fx)-BxBx0 nmyxYmfXnfG,Gs(fx, fy)(2) 原函数抽样时原函数抽样时,在在x

7、方向和方向和y方向抽样点的间方向抽样点的间隔隔 X 和和Y不得大于不得大于1/(2 Bx)和和1/(2 By), (1) g(x,y)是是限带函数限带函数, 其频谱其频谱G (fx, fy)仅仅在频率平面上一个有限区域在频率平面上一个有限区域 上不为零上不为零.2 Bx, 2 By : 带宽带宽: 包围包围 的最小矩形在的最小矩形在 fx 和和 fy方向上的宽度方向上的宽度.yxBYBX21 ,21则则Gs中各个区域中各个区域(间隔为间隔为1/X,1/Y)的频谱就不会重叠的频谱就不会重叠fxGs(fx)-BxBx01/X有可能用滤波的方法有可能用滤波的方法,提取出原函数的频谱提取出原函数的频谱

8、G, 进而求出原函数进而求出原函数.1.4 抽样定理抽样定理 二、函数的抽样二、函数的抽样由抽样值还原出原函数的条件由抽样值还原出原函数的条件fxGs(fx)-BxBx01/X则则Gs中各个区域中各个区域(间隔为间隔为1/X,1/Y)的频谱就不会重叠的频谱就不会重叠, 有可能用滤有可能用滤波的方法波的方法,提取出原函数的频谱提取出原函数的频谱G, 进而求出原函数进而求出原函数.yxBYBX21 ,21yxBYBX21 ,21称为奈奎斯特称为奈奎斯特(Niquest)间隔间隔只要以小于或等于只要以小于或等于奈奎斯特间隔奈奎斯特间隔对对g(x,y)抽样抽样,则则gs(x,y)的频的频谱就是谱就是G

9、 (fx, fy)的周期性复现的周期性复现,包含了包含了g(x,y)的全部信息的全部信息.1.4 抽样定理抽样定理 2、原函数的复原、原函数的复原理想低通滤波理想低通滤波为了从为了从gs(x,y)中还原出中还原出g(x,y), 将将gs(x,y)通通过一个理想低通滤波器过一个理想低通滤波器,只允许所有频率只允许所有频率|fx|Bx, |fy|By 的频率分量无畸变地通过的频率分量无畸变地通过,而将此区域以外的频率分量完全阻塞而将此区域以外的频率分量完全阻塞.fxGs(fx)-BxBx01/X此理想低通滤波器的频率此理想低通滤波器的频率特性为频域中的门函数特性为频域中的门函数1.4 抽样定理抽样

10、定理 2、原函数的复原、原函数的复原理想低通滤波理想低通滤波用频域中宽度用频域中宽度2 2Bx和和2 2By的位于原的位于原点的矩形函数作为滤波函数点的矩形函数作为滤波函数: : yyxxyxBfBf,ffH2rect2rect滤波过程滤波过程 :yxyyxxyxs,ffGBfBf,ffG2rect2rect根据卷积定理，在空间域得到根据卷积定理，在空间域得到: : yxgyxhyxgs, mYnX,yxnX,mYgXYx,ygYyXxx,ygnms combcombyBxBsBBBfBfFx,yhyxyxyyxx2sinc2inc4 2rect2rect 1.4 抽样定理抽样定理 2、原函数

11、的复原、原函数的复原理想低通滤波理想低通滤波mYyBx-nX BnX,mYgXYBBx,ygyxnmyx 2sinc2sinc 4若取最大允许的抽样间隔，即若取最大允许的抽样间隔，即X =1/(2 Bx)，Y=1/(2 By) ，则，则用函用函数的抽样值计算出原函数：数的抽样值计算出原函数： yyxxnmyxBmyB Bnx-BBmBngyx22sinc22sinc2,2,g原函数在分立点上的抽样值原函数在分立点上的抽样值插值函数插值函数插值插值: :由抽样点函数值计算非抽样点函数值由抽样点函数值计算非抽样点函数值空域中等效于：空域中等效于：1.4 抽样定理抽样定理 抽样和还原的图示抽样和还原

12、的图示g(x)0 xcomb(x/X)x.0=x0gs(x)*Xcomb(Xfx)01/Xfx-1/X.fxG(fx)-BxBx0=fxGs(fx)0Bx-Bx3Bx-3Bx1/X-1/XX1/(2Bx)F.T.F.T.F.T.抽样抽样fxrect(fx/2Bx)-BxBx0.fxG(fx)-BxBx0=?F.T.F.T.还原还原1.4 抽样定理抽样定理 抽样和还原的图示抽样和还原的图示x0gs(x)2Bxsinc(2Bx)fx012Bx12Bxx0gs(x)-XX2X-2X*=Sinc函数称为函数称为内插函数内插函数频域滤波相当于频域滤波相当于空域的插值运算空域的插值运算连续函数具有的信息内

13、容等效于一系列的信息抽样连续函数具有的信息内容等效于一系列的信息抽样.重新恢重新恢复连续函数所必需的离散值的最小数目由抽样定理决定复连续函数所必需的离散值的最小数目由抽样定理决定.1.4 抽样定理抽样定理 抽样和还原的图示抽样和还原的图示抽样抽样空域空域 g(x,y)频域频域 G(fx,fy)comb(x/X)comb(y/Y)gs(x,y)Gs(fx,fy)还原还原低通滤波器低通滤波器h(x,y)H(fx,fy)g(x,y)= gs(x,y)* h(x,y)G(fx,fy)= Gs(fx,fy)H(fx,fy)抽样定理表明抽样定理表明: : 在一定条件下可以由插值准确恢复原函数。在一定条件下

14、可以由插值准确恢复原函数。一个连续的限带函数可以由其离散的抽样序列代替，而不丢一个连续的限带函数可以由其离散的抽样序列代替，而不丢失任何信息。失任何信息。 1.4 抽样定理抽样定理抽样定理的适用性抽样定理的适用性在数学上在数学上, 限带函数在空域上一定是无限扩展的函数限带函数在空域上一定是无限扩展的函数函数不可能在空域和频域都被限制在某一范围内函数不可能在空域和频域都被限制在某一范围内.只要只要信号存在于有限的时空范围信号存在于有限的时空范围,就会有所有的频率分量就会有所有的频率分量.严格的限带函数在物理上是不存在的严格的限带函数在物理上是不存在的.但是但是,实际信号的大部分能量被一定范围的频

15、率分量所携带实际信号的大部分能量被一定范围的频率分量所携带.高频分量携带的能量甚少高频分量携带的能量甚少.由于忽略高频分量由于忽略高频分量, 所引入的误差所引入的误差可以忽略可以忽略, 故可近似看作限带函数故可近似看作限带函数. 因而抽样理论在信息的传输和处理中有重要的意义因而抽样理论在信息的传输和处理中有重要的意义.yxyxyxBBBBBBXY164XY421Y221X21.4 抽样定理抽样定理 3、空间带宽积、空间带宽积若若 限带函数限带函数g(x,y)在频域中在频域中|fx|Bx, |fy|By 以外恒等于零以外恒等于零, 即函数的带宽为即函数的带宽为Bx 和和By, 则函数在空域中则函

16、数在空域中|x| X 和和|y| Y的范围内最少的抽样点数为的范围内最少的抽样点数为:空域中的面积空域中的面积频域中的面积频域中的面积在该区域中函数可以用在该区域中函数可以用16XYBxBy个值个值近似近似表示表示.定义定义: 空间带宽积空间带宽积SW (SBP)= 16XYBxBy1.4 抽样定理抽样定理 3、空间带宽积、空间带宽积空间带宽积的物理意义空间带宽积的物理意义 空间信号空间信号(图像、场分布图像、场分布)的信息容量的信息容量 成像系统、信息存储、处理系统，存储和处理信息的能力成像系统、信息存储、处理系统，存储和处理信息的能力 空间物体的自由度数或自由参数数空间物体的自由度数或自由

17、参数数N若若g(x,y)为实函数，为实函数， 每个抽样值为一个实数，每个抽样值为一个实数， N=SW若若g(x,y)为复函数，为复函数， 每个抽样值为一个复数，每个抽样值为一个复数， N=2SW 不变性，不变性， 不随空间位移或频移变化不随空间位移或频移变化 (空间尺度变化引起频谱尺寸相反变化空间尺度变化引起频谱尺寸相反变化.)1.4 抽样定理抽样定理 3、空间带宽积、空间带宽积例例液晶显示屏尺寸为液晶显示屏尺寸为250250(mm2), 每个像元的每个像元的尺寸为尺寸为0.25 0.25 (mm2), 计算计算:1.像元总数像元总数2.可以显示的基元光栅的最高空间频率可以显示的基元光栅的最高

18、空间频率3. 空间带宽积空间带宽积空间信号空间信号(图像、场分布图像、场分布)的信息容量的信息容量 成像系统、信息存储、处理系统，存储成像系统、信息存储、处理系统，存储和处理信息的能力和处理信息的能力 像元尺寸像元尺寸=d, d, 液晶显示屏边长的一半液晶显示屏边长的一半= X =Y 可以显示的基元光栅的最高空频可以显示的基元光栅的最高空频 B=1/(2d d) SBP= 16XYBxBy= 2X 2Y 2Bx 2By=？ 可以显示的基元光栅的最高空频可以显示的基元光栅的最高空频 B=1/(2d d) SBP= 16XYBxBy= 2X 2Y 2Bx 2By=？作业作业P22 ： 1.5 例题：例题： P22 ： 1.7 若二维不变线性系统的输入是若二维不变线性系统的输入是“线脉冲线脉冲” ” f(x,y)=d d(x)，系统对线脉冲的输出响应称为线，系统对线脉冲的输出响应称为线响应响应L L(x)。如果系统的传递函数为。如果系统的传递函数为H(fx,fy)，证，证明：明：线响应的一维傅里叶变换等于系统传递线响应的一维傅里叶变换等于系统传递函数沿函数沿fx轴的截面分布轴的截面分布H(fx,0)。 证明：证明：系统对系统对(x,y)平面原点处的点脉冲平面原点处的点脉冲d d(x,y)的响应是的响应是h(x,