浙江专用2018版高考数学大一轮复习第五章平面向量复数5.3平面向量的数量积

1、（浙江专用）2018版高考数学大一轮复习 第五章 平面向量、复数 5.3 平面向量的数量积教师用书1向量的夹角已知两个非零向量a和b，作a，b，则AOB就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是0，2平面向量的数量积定义设两个非零向量a，b的夹角为，则数量|a|b|·cos 叫做a与b的数量积，记作a·b投影|a|cos 叫做向量a在b方向上的投影，|b|cos 叫做向量b在a方向上的投影几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的乘积3.平面向量数量积的性质设a，b都是非零向量，e是单位向量，为a与b(或e)的夹角则(1)e·

2、;aa·e|a|cos .(2)aba·b0.(3)当a与b同向时，a·b|a|b|；当a与b反向时，a·b|a|b|.特别地，a·a|a|2或|a|.(4)cos .(5)|a·b|a|b|.4平面向量数量积满足的运算律(1)a·bb·a；(2)(a)·b(a·b)a·(b)(为实数)；(3)(ab)·ca·cb·c.5平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，则a·bx1x2y1y2，由此得到(1)若a(x，y

3、)，则|a|2x2y2或|a|.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离AB|.(3)设两个非零向量a，b，a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y20.(4)若a，b都是非零向量，是a与b的夹角，则cos .【知识拓展】1两个向量a，b的夹角为锐角a·b>0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角a·b<0且a，b不共线2平面向量数量积运算的常用公式(1)(ab)·(ab)a2b2.(2)(ab)2a22a·bb2.(3)(ab)2a22a·bb2.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括

4、号中打“”或“×”)(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量()(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量()(3)由a·b0可得a0或b0.(×)(4)(a·b)ca(b·c)(×)(5)两个向量的夹角的范围是0，(×)1(教材改编)已知向量a(2,1)，b(1，k)，a·(2ab)0，则k等于()A12 B6C6 D12答案D解析2ab(4,2)(1，k)(5,2k)，由a·(2ab)0，得(2,1)·(5,2k)0，102k0，解得k12.2(20

5、16·临安质检)已知向量a与b的夹角为30°，且|a|1，|2ab|1，则|b|等于()A. B. C. D.答案C解析由题意可得a·b|b|cos 30°|b|,4a24a·bb21，即42|b|b21，由此求得|b|，故选C.3(2016·温州调研)若平面四边形ABCD满足0，()·0，则该四边形一定是()A直角梯形 B矩形C菱形 D正方形答案C解析由0得平面四边形ABCD是平行四边形，由()·0得·0，故平行四边形的对角线垂直，所以该四边形一定是菱形，故选C.4(2016·北京)已知向量a

6、(1，)，b(，1)，则a与b夹角的大小为_答案解析设a与b的夹角为，则cos ，又因为0，所以.题型一平面向量数量积的运算例1(1)(2016·天津)已知ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE2EF，则·的值为()A B.C. D.(2)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为_；·的最大值为_答案(1)B(2)11解析(1) 如图，由条件可知，所以·()·()2·2.因为ABC是边长为1的等边三角形，所以|1，BAC60°，所以

7、83;.(2)方法一以射线AB，AD为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，设E(t,0)，t0,1，则(t，1)，(0，1)，所以·(t，1)·(0，1)1.因为(1,0)，所以·(t，1)·(1,0)t1，故·的最大值为1.方法二由图知，无论E点在哪个位置，在方向上的投影都是CB1，·|·11，当E运动到B点时，在方向上的投影最大，即为DC1，(·)max|·11.思维升华平面向量数量积的三种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求

8、解，即a·b|a|b|cosa，b(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则a·bx1x2y1y2.(3)利用数量积的几何意义求解(1)(2016·全国丙卷)已知向量，则ABC等于()A30° B45° C60° D120°(2)(2015·天津)在等腰梯形ABCD中，已知ABDC，AB2，BC1，ABC60°.点E和F分别在线段BC和DC上，且，则·的值为_答案(1)A(2)解析(1)|1，|1，cosABC，又0°ABC180°

9、，ABC30°.(2)在等腰梯形ABCD中，ABDC，AB2，BC1，ABC60°，CD1，······2×1×cos 60°2××12×cos 60°××12×cos 120°.题型二平面向量数量积的应用命题点1求向量的模例2(1)(2016·宁波模拟)已知平面向量a，b的夹角为，且|a|，|b|2，在ABC中，2a2b，2a6b，D为BC的中点，则|_.(2)在平面直角坐标系中，O为原点，A(

10、1,0)，B(0，)，C(3,0)，动点D满足|1，则|的最大值是_答案(1)2(2)1解析(1)因为()(2a2b2a6b)2a2b，所以|24(ab)24(a22b·ab2)4×(32×2××cos 4)4，所以|2.(2)设D(x，y)，由(x3，y)及|1，知(x3)2y21，即动点D的轨迹为以点C为圆心的单位圆又(1,0)(0，)(x，y)(x1，y)，|.问题转化为圆(x3)2y21上的点与点P(1，)间距离的最大值圆心C(3,0)与点P(1，)之间的距离为，故的最大值为1.即|的最大值是1.命题点2求向量的夹角例3(1)已知单位向

11、量e1与e2的夹角为，且cos ，向量a3e12e2与b3e1e2的夹角为，则cos _.(2)若向量a(k,3)，b(1,4)，c(2,1)，已知2a3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是_答案(1)(2)解析(1)因为a2(3e12e2)292×3×2×12×cos 49，所以|a|3，因为b2(3e1e2)292×3×1×12×cos 18，所以|b|2，又a·b(3e12e2)·(3e1e2)9e9e1·e22e99×1×1×28，所以cos .(

12、2)2a3b与c的夹角为钝角，(2a3b)·c0，即(2k3，6)·(2,1)0，4k660，k3.又若(2a3b)c，则2k312，即k.当k时，2a3b(12，6)6c，即2a3b与c反向综上，k的取值范围为.思维升华平面向量数量积求解问题的策略(1)求两向量的夹角：cos ，要注意0，(2)两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是aba·b0|ab|ab|.(3)求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有a2a·a|a|2或|a|.|a±b|.若a(x，y)，则|a|.(1)(2015·湖北)已知向量，|3，则·

13、;_.(2)(2016·绍兴二模)已知单位向量a和b满足|ab|ab|，则a与b夹角的余弦值为()A BC. D.(3)在ABC中，若A120°，·1，则|的最小值是()A. B2C. D6答案(1)9(2)C(3)C解析(1)因为，所以·0.所以··()2·|20329.(2)由|a|b|1，|ab|ab|，得22a·b2(12a·b1)，即a·b，cosa，b.(3)·1，|·|·cos 120°1，即|·|2，|2|222·22|

14、·|2·6，|min.题型三平面向量与三角函数例4(2015·广东)在平面直角坐标系xOy中，已知向量m，n(sin x，cos x)，x.(1)若mn，求tan x的值；(2)若m与n的夹角为，求x的值解(1)因为m，n(sin x，cos x)，mn.所以m·n0，即sin xcos x0，所以sin xcos x，所以tan x1.(2)因为|m|n|1，所以m·ncos，即sin xcos x，所以sin，因为0<x<，所以<x<，所以x，即x.思维升华平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量

15、的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等(1)已知O为坐标原点，向量(3sin ，cos )，(2sin ，5sin 4cos )，且，则tan 的值为()A BC. D.(2)已知向量a(，)，ab，ab，若OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，则OAB的面积为_答案(1)A(2)1解析(1)由题意知6sin2cos ·(5sin 4cos )0，即6sin25sin cos 4cos20

16、，上述等式两边同时除以cos2，得6tan25tan 40，由于，则tan 0，解得tan ，故选A.(2)由题意得，|a|1，又OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，所以，|.由得(ab)·(ab)|a|2|b|20，所以|a|b|，由|得|ab|ab|，所以a·b0.所以|ab|2|a|2|b|22，所以|，故SOAB××1.5利用数量积求向量夹角典例已知直线y2x上一点P的横坐标为a，直线外有两个点A(1,1)，B(3,3)求使向量与夹角为钝角的充要条件错解展示现场纠错解错解中，cos <0包含了，即，反向的情况，此时a1，故，夹角为钝角的

17、充要条件是0<a<2且a1.纠错心得利用数量积的符号判断两向量夹角的范围时，不要忽视两向量共线的情况1(2016·北师大附中模拟)已知向量a(x1,2)，b(2,1)，则ab的充要条件是()Ax Bx1Cx5 Dx0答案D2若向量a，b满足|a|b|2，a与b的夹角为60°，则|ab|等于()A2 B2C4 D12答案B解析|ab|2|a|2|b|22|a|b|cos 60°442×2×2×12，|ab|2.3(2016·山西四校联考)已知平面向量a，b满足a·(ab)3，且|a|2，|b|1，则向量a

18、与b夹角的正弦值为()A B C. D.答案D解析a·(ab)a2a·b222×1×cosa，b42cosa，b3，cosa，b，又a，b0，sina，b.4. 在ABC中，如图，若|，AB2，AC1，E，F为BC边的三等分点，则·等于()A. B. C. D.答案B解析若|，则222·222·，即有·0.又E，F为BC边的三等分点，则·()·()··22·×(14)0.故选B.5(2016·驻马店质检)若O为ABC所在平面内任一点，且满足()&

19、#183;(2)0，则ABC的形状为()A正三角形 B直角三角形C等腰三角形 D等腰直角三角形答案C解析因为()·(2)0，即·()0，因为，所以()·()0，即|，所以ABC是等腰三角形，故选C.*6.若ABC外接圆的圆心为O，半径为4，220，则在方向上的投影为()A4 B.C. D1答案C解析如图所示，取BC的中点D，连接AD，OD，则由平面向量的加法的几何意义得2.又由条件得，所以2，即4，所以A，O，D共线所以OABC，所以CD为在方向上的投影因为|4，所以|3，所以| .7(2016·绍兴柯桥区二模)已知平行四边形ABCD中，AC3，BD2，

20、则·_.答案解析ABCD中，|3，|2，()2()25，·.8在ABC中，·3，ABC的面积S，则与夹角的取值范围是_答案，解析由三角形面积公式及已知条件知SABCAB·BCsin B，所以AB·BCsin B3，由·3，知AB·BCcos(B)3，所以AB·BC，代入得，3，所以1tan B，所以B，而与的夹角为B，其取值范围为，9(2017·临安中学调研)已知在直角三角形ABC中，ACB90°，ACBC2，点P是斜边AB上的中点，则··_.答案4解析由题意可建立如图所示的

21、坐标系，可得A(2,0)，B(0,2)，P(1,1)，C(0，0)，则···()224.10(2015·杭州模拟)已知，|，|t，若点P是ABC所在平面内的一点，且，则·的最大值等于_答案13解析建立如图所示坐标系，则B，C(0，t)，(0，t)，t(0，t)(1,4)，P(1,4)，··(1，t4)1717213.11在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m(cos(AB)，sin(AB)，n(cos B，sin B)，且m·n.(1)求sin A的值；(2)若a4，b5，求角B的大小及向量在方向上的投影解(1)由m·n，得cos(AB)cos Bsin(AB)sin B，所以cos A.因为0A，所以sin A .(2)