第3章3.7 DFT的应用-线性卷积-谱分析

1、第第3章章 离散傅立叶变换（离散傅立叶变换（DFT）2022-3-1513.4 DFT的应用举例的应用举例 3.4.1 用用DFT计算线性卷积计算线性卷积1. 循环卷积定理循环卷积定理： 如果：如果：1122( )( )( )( )X kDFT x nXkDFT x n则由时域循环卷积定理有则由时域循环卷积定理有 Y(k)=DFTy(n)=X1(k)X2(k), 0kL-10kL-1 3.4.1 用用DFT计算线性卷积计算线性卷积1. 循环卷积定理循环卷积定理： 如果：如果：112120( )( )( )( )()( )LLLmy nx nx nx m xnmR n第第3章章 离散傅立叶变换（

2、离散傅立叶变换（DFT）2022-3-152l循环卷积可以在时域计算，也可以在频域计算，而循环卷积可以在时域计算，也可以在频域计算，而DFT有快速算法有快速算法FFT，当，当N很大时，在频域计算的速度很大时，在频域计算的速度要快的多，故常用要快的多，故常用DFT来计算循环卷积。来计算循环卷积。 图 3.4.1 用DFT计算循环卷积 第第3章章 离散傅立叶变换（离散傅立叶变换（DFT）2022-3-153 2.线性卷积的计算：线性卷积的计算： 希望用希望用DFT(FFT)计算线性卷积。计算线性卷积。 而而DFT只能直接只能直接用来计算循环卷积，为此导出线性卷积和循环卷积之用来计算循环卷积，为此导

3、出线性卷积和循环卷积之间的关系以及循环卷积与线性卷积相等的条件。间的关系以及循环卷积与线性卷积相等的条件。 假设假设h(n)和和x(n)都是有限长序列，都是有限长序列， 长度分别是长度分别是N和和M。 它们的线性卷积和循环卷积分别表示如下：它们的线性卷积和循环卷积分别表示如下： 1010( )( )( )( ) ()( )( )( )( ) ()( )NlmLcLLmy nh nx nh m x nmy nh nx nh m x nmR n(3.4.1) (3.4.2) 其中，其中， LmaxN, M，( )(),Lqx nx n qL第第3章章 离散傅立叶变换（离散傅立叶变换（DFT）202

4、2-3-1541010( )( )()( )( ) ()( )NcLmqNLqmy nh mx nmqL R nh m x nmqL R n 对照式对照式(3.4.1)可以看出，可以看出， 上式中上式中 10( ) ()()Nlmh m x nqLmy nqL(3.4.3) ( )()( )clLqy ny nqL R n第第3章章 离散傅立叶变换（离散傅立叶变换（DFT）l循环卷积循环卷积 是线性卷积是线性卷积 以循环卷积点数以循环卷积点数L为周为周期的周期延拓序列的主值序列。期的周期延拓序列的主值序列。l循环卷积长度：循环卷积长度：L; 线性卷积长度：N+M-1; l只有当循环卷积 的长度

5、LM+N-1时，以L为周期为周期进行周期延拓才无混叠现象。此时，取主值才有进行周期延拓才无混叠现象。此时，取主值才有l线性卷积和循环卷积相等的条件： LM+N-1 2022-3-155( )()( )clLqy ny nqL R n( )cy n( )ly n( )cy n( )( )lcy ny n第第3章章 离散傅立叶变换（离散傅立叶变换（DFT）2022-3-156图 3.4.3 用DFT计算线性卷积框图 补L N个零点L点DFT补L M个零点L点DFTL点IDFTy(n)h(n)x(n)当循环卷积的长度当循环卷积的长度LM+N-1 时，线性卷积和时，线性卷积和循环卷积相等，这时，可用循

6、环卷积相等，这时，可用DFT来计算线性来计算线性卷积，框图如下：卷积，框图如下：第第3章章 离散傅立叶变换（离散傅立叶变换（DFT）2022-3-157图 3.4.2 线性卷积与循环卷积 第第3章章 离散傅立叶变换（离散傅立叶变换（DFT）2022-3-1583.4.2 用用DFT对信号进行谱分析对信号进行谱分析 1 用用DFT对连续信号进行谱分析对连续信号进行谱分析目的：时域频域都离散化，便于计算机处理。目的：时域频域都离散化，便于计算机处理。 连续信号连续信号xa(t) 连续函数连续函数Xa(j) 离散信号离散信号xa(nT) 离散信号离散信号X(k)X(k)则是则是x(n)的傅里叶变换的

7、傅里叶变换X(ej)在频率区间在频率区间0，2上的上的N点等间隔采样。这里点等间隔采样。这里x(n)和和X(k)均为有限长序列。均为有限长序列。FTDFT第第3章章 离散傅立叶变换（离散傅立叶变换（DFT）2022-3-159用用DFT对信号进行谱分析是一个近似的过程：对信号进行谱分析是一个近似的过程：FT要求：要求：“时域有限，频域无限时域有限，频域无限”； “频域有限，时域无限频域有限，时域无限”；DFT要求：时域频域均有限。要求：时域频域均有限。工程上经过预处理：工程上经过预处理：频谱很宽的信号，预滤波器滤除幅度较小的高频成分，使频谱很宽的信号，预滤波器滤除幅度较小的高频成分，使连续信号

8、的带宽小于折叠频率。连续信号的带宽小于折叠频率。对于持续时间很长的信号，截取有限点进行对于持续时间很长的信号，截取有限点进行DFT。用用DFT对连续信号进行频谱分析必然是近似的，其近似程对连续信号进行频谱分析必然是近似的，其近似程度与信号带宽、采样频率和截取长度有关。度与信号带宽、采样频率和截取长度有关。矛盾第第3章章 离散傅立叶变换（离散傅立叶变换（DFT）2022-3-15102.用用DFT对连续信号进行谱分析的过程：对连续信号进行谱分析的过程：x(n)d(n)信号的频谱分析：计算信号的傅立叶变换信号的频谱分析：计算信号的傅立叶变换xa(t)Xa(j)x(n)xN(n)NxN(n)Xa(e

9、jw)XN(k)NXN(k)抽样抽样t=nTs截短截短周期延周期延拓拓周期延拓周期延拓取一个周期取一个周期周期延拓周期延拓s=2/TsXa(ejw)*D(ejw)卷积卷积抽样抽样0 =/N周期延拓周期延拓取一个周期取一个周期FTDTFTDTFTDFSDFT如何利用如何利用XN(k)近似近似Xa(j)?第第3章章 离散傅立叶变换（离散傅立叶变换（DFT）2022-3-1511第第3章章 离散傅立叶变换（离散傅立叶变换（DFT）2022-3-1512假设假设xa(t)是经过预滤波和截取处理的有限长带限信号。已是经过预滤波和截取处理的有限长带限信号。已知连续信号知连续信号xa(t)持续时间为持续时间

10、为Tp，最高频率为，最高频率为fc。1）、将）、将xa(t)采样，即，等间隔采样，即，等间隔(T)分段分段()( )(1)1( )()(2)2 j taaj taaXjx t edtx tXjed()( )()j tj nTaaantnTdtTXjx t edtx nT eT 第第3章章 离散傅立叶变换（离散傅立叶变换（DFT）l2)、将、将x(n)截短，截短， ，共，共N个采样点个采样点l由于时域采样周期为由于时域采样周期为T，则由时域采样定理，频，则由时域采样定理，频域产生以域产生以s=2fs=2/Ts为周期的周期延拓。为周期的周期延拓。l如果如果xa(t)是带限信号，则采样信号的频谱不会

11、是带限信号，则采样信号的频谱不会产生混叠，周期为产生混叠，周期为s=2/Ts，取其中的一个周，取其中的一个周期的期的FT，则（，则（2）变为：）变为：2022-3-15130,ptT10()()(3) Nj nTaanXjTx nT e01()()(4)2sj nTaax nTXjed第第3章章 离散傅立叶变换（离散傅立叶变换（DFT）3)、频域采样，一个周期、频域采样，一个周期s分分N段，采样间隔为段，采样间隔为0，且，且 ,F称为频率分辨率称为频率分辨率则，公式（则，公式（3）、（）、（4）分别为：）分别为：2022-3-151402 F0100()() NjknTaanXjkTx nT

12、e210( )NjknNnTx n e0122sFTFN ( )(5)T DFT x n第第3章章 离散傅立叶变换（离散傅立叶变换（DFT）2022-3)()21()2sj nTaaNjknTakx nTXjedXjke21000()2NjknNakXjke210001()2NjknNakNXjkeN01()(6)aIDFT XjkT第第3章章 离散傅立叶变换（离散傅立叶变换（DFT）l重写(5)、(6)如下：l上式即是由DFT求连续非周期信号的傅里叶变换的采样值的近似计算公式2022-3-151600()() ( ) aakXjkXjT DFT x n01( )(

13、)()aat nTax nXtIDFT XjkT第第3章章 离散傅立叶变换（离散傅立叶变换（DFT）2022-3-15173.谱分析过程中的参数选择：谱分析过程中的参数选择：TP：xa(t)的持续时间；的持续时间； fc：xa(t)的最高频率的最高频率T或或TS： 时域采样间隔；时域采样间隔； N：采样点数：采样点数fs：时域采样频率：时域采样频率 F：频域采样间隔（频率分辨率）：频域采样间隔（频率分辨率）1.各参数之间的关系：各参数之间的关系：2;1;scspffTfNTT11spfFNNTT谱分辨率提高，F减小21,scpNfFfFTF时域有效持续时间越长越好第第3章章 离散傅立叶变换（离

14、散傅立叶变换（DFT）2022-3-15181spFTTNT，谱分析范围和频率分辨率：谱分析范围和频率分辨率：谱分辨率谱分辨率F=fs/N，如果保持采样点数如果保持采样点数N不变，要提高频谱分辨率不变，要提高频谱分辨率(减小减小F)，就必须降低采样频率，采样频率的降低会引起谱分析范就必须降低采样频率，采样频率的降低会引起谱分析范围变窄和频谱混叠失真。围变窄和频谱混叠失真。如维持如维持fs不变，为提高频率分辨率可以增加采样点数不变，为提高频率分辨率可以增加采样点数N，因为因为只有增加对信号的观察时间只有增加对信号的观察时间Tp，才能增加才能增加N。Tp和和N可以按照下面两式进行选择：可以按照下面

15、两式进行选择：FfNc2FT1p第第3章章 离散傅立叶变换（离散傅立叶变换（DFT）2022-3-1519 【例例 3.4.2】 对实信号进行谱分析，要求谱分辨率对实信号进行谱分析，要求谱分辨率F10 Hz，信号最高频率，信号最高频率fc=2.5 kHz， 试确定最小记试确定最小记录时间录时间Tp min，最大的采样间隔，最大的采样间隔Tmax，最少的采样点数，最少的采样点数Nmin。如果。如果fc不变，要求谱分辨率提高不变，要求谱分辨率提高1倍，最少的采样倍，最少的采样点数和最小的记录时间是多少？点数和最小的记录时间是多少？解解因此因此Tp min=0.1 s。因为要求。因为要求fs2fc，

16、所以，所以s 1 . 01011pFT50010250022s102 . 025002121cmin3cmaxFfNfT第第3章章 离散傅立叶变换（离散傅立叶变换（DFT）2022-3-1520为使用为使用DFT的快速算法的快速算法FFT，希望，希望N符合符合2的整数的整数幂，为此选用幂，为此选用N =512点。点。为使频率分辨率提高为使频率分辨率提高1倍，即倍，即F=5 Hz，要求：，要求：用快速算法用快速算法FFT计算时，选用计算时，选用N=1024点。点。 上面分析了为提高谱分辨率，又保持谱分析范围上面分析了为提高谱分辨率，又保持谱分析范围不变，必须增长记录时间不变，必须增长记录时间Tp

17、，增加采样点数。应当注，增加采样点数。应当注意，这种提高谱分辨率的条件是必须满足时域采样定意，这种提高谱分辨率的条件是必须满足时域采样定理，甚至采样速率理，甚至采样速率fs取得更高。取得更高。s 2 . 051000 10525002min pminTN第第3章章 离散傅立叶变换（离散傅立叶变换（DFT）2022-3-1521第第3章章 离散傅立叶变换（离散傅立叶变换（DFT）2022-3-15224 用用DFT进行谱分析的误差问题进行谱分析的误差问题 (1) 混叠现象。混叠现象。 对连续信号进行谱分析时，首先要对其采样，变对连续信号进行谱分析时，首先要对其采样，变成时域离散信号后才能用成时域

18、离散信号后才能用DFT(FFT)进行谱分析。采样进行谱分析。采样速率速率fs必须满足采样定理，否则会在必须满足采样定理，否则会在=(对应模拟频对应模拟频率率f=fs/2)附近发生频谱混叠现象。这时用附近发生频谱混叠现象。这时用DFT分析的结分析的结果必然在果必然在f=fs/2附近产生较大误差。因此，理论上必须附近产生较大误差。因此，理论上必须满足满足fs2fc(fc为连续信号的最高频率为连续信号的最高频率)。 措施：措施： 对对fs确定的情况，一般在采样前进行预滤波，确定的情况，一般在采样前进行预滤波，滤除高于折叠频率滤除高于折叠频率fs/2的频率成分，以免发生频率混叠的频率成分，以免发生频率

19、混叠现象。现象。 第第3章章 离散傅立叶变换（离散傅立叶变换（DFT）2022-3-1523 (2) 栅栏效应。栅栏效应。 N点点DFT是在频率区间是在频率区间0，2上对时域离散信号上对时域离散信号的频谱进行的频谱进行N点等间隔采样，而采样点之间的频谱函数点等间隔采样，而采样点之间的频谱函数是看不到的。这就好像从是看不到的。这就好像从N个栅栏缝隙中观看信号的频个栅栏缝隙中观看信号的频谱情况，仅得到谱情况，仅得到N个缝隙中看到的频谱函数值。因此称个缝隙中看到的频谱函数值。因此称这种现象为栅栏效应。由于栅栏效应，有可能漏掉这种现象为栅栏效应。由于栅栏效应，有可能漏掉(挡住挡住)大的频谱分量。大的频

20、谱分量。第第3章章 离散傅立叶变换（离散傅立叶变换（DFT）2022-3-1524改进：为了把原来被为了把原来被“栅栏栅栏”挡住的频谱分量检测出来，挡住的频谱分量检测出来，l对有限长序列，可以在原序列尾部补零；对有限长序列，可以在原序列尾部补零；l对无限长序列，可以增大截取长度及对无限长序列，可以增大截取长度及DFT变换区间长变换区间长度，从而使频域采样间隔变小，增加频域采样点数和采度，从而使频域采样间隔变小，增加频域采样点数和采样点位置，使原来漏掉的某些频谱分量被检测出来。样点位置，使原来漏掉的某些频谱分量被检测出来。l对连续信号的谱分析，只要采样速率对连续信号的谱分析，只要采样速率fs足够

21、高，且采样足够高，且采样点数满足频率分辨率要求，就可以认为点数满足频率分辨率要求，就可以认为DFT后所得离散后所得离散谱的包络近似代表原信号的频谱。谱的包络近似代表原信号的频谱。第第3章章 离散傅立叶变换（离散傅立叶变换（DFT）2022-3-1525(3) 截断效应。截断效应。对对x(n) 截断截断,形成有限长序列形成有限长序列w(n)称为窗函数，长度为称为窗函数，长度为N。w(n)=RN(n), 称为矩形窗函数。称为矩形窗函数。根据傅里叶变换的频域卷积定理，有根据傅里叶变换的频域卷积定理，有( )( )( )Ny nx n Rnjjjjj()1(e ) ( )(e )(e )21(e )(

22、e)d2YDTFT y nXWXW 第第3章章 离散傅立叶变换（离散傅立叶变换（DFT）2022-3-1526其中其中对矩形窗数对矩形窗数w(n)=RN(n)，有，有幅度谱幅度谱Wg()曲线如图曲线如图3.4.12所示所示(Wg()以以2为周期，只画低频部分为周期，只画低频部分)。图中，图中，|2/N的部分称为主瓣，其余部分称为旁瓣。的部分称为主瓣，其余部分称为旁瓣。jj(e )DTFT ( ),(e )DTFT ( )Xx nWw n1jjj ()2gsin(/ 2)(e )DTFT ( )e( )esin(/ 2)NwNWw nW )2/sin()2/sin()(NWg 图3.4.12 矩

23、形窗的幅度谱第第3章章 离散傅立叶变换（离散傅立叶变换（DFT）2022-3-1527例如，例如，x(n)=cos(0n)，0=/4, 其频谱为其频谱为截断前、后的幅频曲线如下图所示：截断前、后的幅频曲线如下图所示：lllX2424)e (j泄漏泄漏谱间干扰谱间干扰第第3章章 离散傅立叶变换（离散傅立叶变换（DFT）2022-3-1528由上述可见，截断后序列的频谱由上述可见，截断后序列的频谱Y(ej)与原序列频与原序列频谱谱X(ej)必然有差别：必然有差别： (1) 泄露。泄露。 由图可知，原来序列由图可知，原来序列x(n)的频谱是离散的频谱是离散谱线，经截断后，使原来的离散谱线向附近展宽，

24、通谱线，经截断后，使原来的离散谱线向附近展宽，通常称这种展宽为泄露。显然，泄露使频谱变模糊，使常称这种展宽为泄露。显然，泄露使频谱变模糊，使谱分辨率降低。频谱泄露程度与窗函数幅度谱的主瓣谱分辨率降低。频谱泄露程度与窗函数幅度谱的主瓣宽度直接相关，在第宽度直接相关，在第7章将证明，在所有的窗函数中，章将证明，在所有的窗函数中，矩形窗的主瓣是最窄的，但其旁瓣的幅度也最大。矩形窗的主瓣是最窄的，但其旁瓣的幅度也最大。第第3章章 离散傅立叶变换（离散傅立叶变换（DFT）2022-3-1529(2) 谱间干扰谱间干扰。 在主谱线两边形成很多旁瓣，引起不在主谱线两边形成很多旁瓣，引起不同频率分量间的干扰同

25、频率分量间的干扰(简称谱间干扰简称谱间干扰)，特别是强信号谱的，特别是强信号谱的旁瓣可能湮没弱信号的主谱线，或者把强信号谱的旁瓣误旁瓣可能湮没弱信号的主谱线，或者把强信号谱的旁瓣误认为是另一频率的信号的谱线，从而造成假信号，这样就认为是另一频率的信号的谱线，从而造成假信号，这样就会使谱分析产生较大偏差。会使谱分析产生较大偏差。 第第3章章 离散傅立叶变换（离散傅立叶变换（DFT）2022-3-1530改进措施：改进措施：由图由图3.4.12可以看出，可以看出，增加增加N可使可使Wg()的主瓣变窄，的主瓣变窄，减小减小泄露泄露，提高频率分辨率，但旁瓣的相对幅度并不减小。为，提高频率分辨率，但旁瓣

26、的相对幅度并不减小。为了了减小谱间干扰减小谱间干扰，应用其它形状的窗函数应用其它形状的窗函数w(n)代替矩形窗代替矩形窗(窗函数将在窗函数将在FIR数字滤波器设计中介绍数字滤波器设计中介绍)。但在但在N一定时，旁瓣幅度越小的窗函数，其主瓣就越宽。一定时，旁瓣幅度越小的窗函数，其主瓣就越宽。所以，在所以，在DFT变换区间变换区间(即截取长度即截取长度)N一定时，只能以降一定时，只能以降低谱分析分辨率为代价，换取谱间干扰的减小。低谱分析分辨率为代价，换取谱间干扰的减小。 图3.4.12 矩形窗的幅度谱第第3章章 离散傅立叶变换（离散傅立叶变换（DFT）2022-3-1531 栅栏效应与频率分辨率是

27、两个不同的概念：栅栏效应与频率分辨率是两个不同的概念：如果在长度为如果在长度为N的序列的序列后补后补N个零个零，再进行，再进行2N点点DFT，使栅栏宽度减半，从而使栅栏宽度减半，从而减轻了栅栏效应减轻了栅栏效应，得到，得到高密度谱高密度谱。但是这种截短后补零的方法不能提高频率分辨率。但是这种截短后补零的方法不能提高频率分辨率。因为截短已经使频谱变模糊，补零后仅使采样间隔变小，因为截短已经使频谱变模糊，补零后仅使采样间隔变小，但得到的频谱采样的包络仍是已经变模糊的频谱，所以但得到的频谱采样的包络仍是已经变模糊的频谱，所以频率分辨率没有提高。因此，要频率分辨率没有提高。因此，要提高频率分辨率，只有

28、提高频率分辨率，只有通过增加信号的有效持续时间通过增加信号的有效持续时间Tp，来增加采样点数，来增加采样点数，才能得到才能得到高分辨率谱高分辨率谱。第第3章章 离散傅立叶变换（离散傅立叶变换（DFT）总结：谱分析的步骤总结：谱分析的步骤l首先，确定信号抽样频率首先，确定信号抽样频率fs 满足时域抽样定理，即：满足时域抽样定理，即： fs 2fc，T =1/fs 1/2fc （1）l然后，确定抽样信号的长度然后，确定抽样信号的长度N N 应满足频率分辨率应满足频率分辨率f 的要求，即：的要求，即： N fs/f （2）l最后，根据谱线间隔最后，根据谱线间隔fd 确定确定DFT的点数的点数L ，即

29、：即： L fs/fd （3） L 一般取满足式一般取满足式2的整数幂次。的整数幂次。2022-3-1532第第3章章 离散傅立叶变换（离散傅立叶变换（DFT）l结合实例进行频谱分析结合实例进行频谱分析l实例实例1：已知一连续信号为：已知一连续信号为其中其中f0=100HZ，f1=130HZ。现以频率。现以频率fs=600HZ对该信号对该信号进行抽样，试利用进行抽样，试利用DFT分析其频谱。分析其频谱。分析：分析：首先，信号最高频率首先，信号最高频率f1=130HZ，采样频率采样频率fs=600HZ，满满足采样定理要求；足采样定理要求；然后，信号的相邻两个谱峰间隔然后，信号的相邻两个谱峰间隔fd =f1-f0 =30， L fs/fd =600/30=20（个）（个）2022-3-153301( )cos(2)cos(2)x tf tf t第第3章章 离散傅立叶变换（离散傅立叶变换（DFT）2022-3-1534第第3章章 离