第一章 信号与系统分析

1、1.1 绪言绪言1.2 信号的描述与分类信号的描述与分类1.3 信号的基本运算信号的基本运算1.4 阶跃函数和冲激函数阶跃函数和冲激函数1.5 系统的描述系统的描述1.6 LTI系统分析方法概述系统分析方法概述第一章第一章 信号与系统信号与系统1.1 绪论绪论一、信号的概念一、信号的概念二、系统的概念二、系统的概念一、信号的概念一、信号的概念1. 消息消息 人们常常把来自外界的各种报道统称为消息消息。2. 信息信息 通常把消息中有意义的内容称为信息信息。本课程中对“信息”和“消息”两词不加严格区分。3. 信号信号 信号信号是信息的载体，通过信号传递信息。 系统系统(system)是指若干相互关

2、联的事物组合而成具有特定功能的整体。 信号与系统的关系：信号与系统的关系： 二、系统的概念二、系统的概念系统的基本作用：系统的基本作用：对输入信号进行加工，将其转换为所需要的输出信号1.2 信号的描述和分类信号的描述和分类一、信号的描述一、信号的描述二、信号的分类二、信号的分类一、信号的描述一、信号的描述信号是信息的一种物理体现，一般是随时间或位置变化的物理量。信号按物理属性分：电信号和非电信号。本课程讨论电信号本课程讨论电信号-简称简称“信号信号”。电信号的基本形式：随时间变化的电压或电流。信号描述方法（1）表示为时间的函数 （2）信号的图形表示-波形“信号”与“函数”两词常相互通用。二、信

3、号的分类二、信号的分类1. 确定信号和随机信号 可以用确定时间函数表示的信号，称为确定信号或规则信号，如正弦信号。 若信号在任意时刻的取值都具有不确定性，只能知道它的统计特性，不能用确切的函数描述，这类信号称为随机信号或不确定信号。本课程只讨论确定信号。确定信号与随机信号波形确定信号与随机信号波形 在连续的时间范围内(-t）有定义的信号称为连续时间信号，简称连续信号。时间和幅值都为连续的信号称为模拟信号。2. 连续信号和离散信号连续信号和离散信号 根据信号定义域的特点可分为连续时间信号和离散时间信号。离散时间信号 仅在一些离散的瞬间才有定义离散的瞬间才有定义的信号称为离散时间信号，简称离散信号

4、。若幅值也离散就为数字信号。 相邻离散点间隔通常取等间隔T，离散信号可表示为f(kT)，简写为f(k)，这种等间隔的离散信号等间隔的离散信号也常称为序序列列，其中k称为序号。注意：相邻离散点间隔可以注意：相邻离散点间隔可以相等，也可不等。相等，也可不等。或写为f(k)= ，0，1，2，-1.5，2，0，1，0，将对应某序号m的序列值称为第m个样点的“样值”。3. 周期信号和非周期信号周期信号和非周期信号周期信号周期信号(period signal)是定义在(-，)区间，每隔一定时间T (或整数N），按相同规律重复变化的信号。连续周期信号f(t) ： f(t) = f(t + mT)，m = 0

5、,1,2,离散周期信号f(k)： f(k) = f(k + mN)，m = 0,1,2,满足上述关系的最小T(或整数N)称为该信号的周期周期。不具有周期性的信号称为非周期信号非周期信号。1）sin2t角频率和周期分别为 1= 2 rad/s ， T1= 2/ 1= scos3t角频率和周期分别为 2= 3 rad/s ， T2= 2/ 2= (2/3) s T1/T2= 3/2为有理数，故f1(t)为周期信号，其周期为T1和T2的最小公倍数2。2） cos2t 和sint的周期分别为T1=s， T2= 2 s， T1/T2为无理数，故f2(t)为非周期信号。小结：两个周期信号小结：两个周期信号

6、f1(t)， f2(t)的周期分别为的周期分别为T1和和T2，若其周期之，若其周期之比比T1/T2为有理数，则其和信号为有理数，则其和信号f1(t)+f2 (t)仍然是周期信号，其周期仍然是周期信号，其周期为为T1和和T2的最小公倍数的最小公倍数。例1 判断下列信号是否为周期信号，若是，确定其周期。1）f1(t) = sin2t + cos3t ；2）f2(t) = cos2t + sint解：解f (k) = sin(k) = sin(k + 2m) ， m =0,1,2,例2 判断正弦序列f(k) = sin(k)是否为周期信号，若是，确定其周期。式中称为正弦序列的数字角频率，单位：rad

7、。2sin()sin()kmkmN小结：小结：当当2/ 为整数时，正弦序列周期为整数时，正弦序列周期N = 2/ 。当当2/ 为有理数时，正弦序列仍为具有周期性，但其周期为为有理数时，正弦序列仍为具有周期性，但其周期为N= M(2/ )，M取使取使N为整数的最小整数。为整数的最小整数。当当2/ 为无理数时，正弦序列为非周期序列。为无理数时，正弦序列为非周期序列。解（1） sin(2k) 数字角频率为1 = 2 rad；由于2/ 1 =为无理数，故f1(k) = sin(2k)为非周期序列。（2） sin(3k/4) 和cos(0.5k) 数字角频率分别为1 = 3/4 rad， 2 = 0.5

8、rad 其周期分别为N1 = 8 ， N2 = 4，故f2(k) 周期为N1和N2的最小公倍数8。小结：小结：连续正弦信号一定是周期信号，而正弦序列不连续正弦信号一定是周期信号，而正弦序列不一定是周期序列。一定是周期序列。两连续周期信号之和不一定是周期信号，而两周期序两连续周期信号之和不一定是周期信号，而两周期序列之和一定是周期序列。列之和一定是周期序列。例3 判断下列序列是否为周期信号，若是，确定其周期。 1）f1(k) = sin(2k)； 2）f2(k) = sin(3k/4) + cos(0.5k)。4能量信号与功率信号能量信号与功率信号 将信号f (t)施加于1电阻上，它所消耗的瞬时

9、功率为| f (t) |2，在区间( , )的能量和平均功率定义为（1）信号的能量）信号的能量（2）信号的功率）信号的功率 若信号f (t)的能量有界，即E ,则称其为能量有限信号，简称能量信号。此时P = 0 若信号f (t)的功率有界，即P ,则称其为功率有限信号，简称功率信号。此时E = 离散信号：时限信号时限信号(仅在有限时间区间不为零的信号)为能量能量信号; 周期信号属于功率功率信号，而非周期信号可能是能量信号，也可能是功率信号。有些信号既不是属于能量信号也不属于功率信号，如 f (t) = e t。信号可以表示为一个或多个变量的函数，称为一维一维或多维函数多维函数。本课程只研究一维

10、信号，且自变量多为时间。本课程只研究一维信号，且自变量多为时间。5一维信号与多维信号一维信号与多维信号6 6因果信号与反因果信号因果信号与反因果信号 将t = 0时接入系统的信号f(t) 即在t 1 ，则波形沿横坐标压缩；若0 a 1 ，则展开。对于离散信号，一般不作波形的尺度变换。对于离散信号，一般不作波形的尺度变换。例：例：三种运算次序可任意，但始终对时间t 进行。例例：已知f (t)，画出f ( 4 2t)。法一：平移、反转、尺度变换相结合平移、反转、尺度变换相结合法二：法二：1.4 阶跃函数和冲激函数阶跃函数和冲激函数一、阶跃函数一、阶跃函数二、冲激函数二、冲激函数三、冲激函数的性质三

11、、冲激函数的性质四、冲激函数的广义函数定义四、冲激函数的广义函数定义 阶跃函数和冲激函数阶跃函数和冲激函数不同于普通函数，称为奇异函数。一、阶跃函数一、阶跃函数 选定一个函数n(t)如图所示。阶跃函数性质：阶跃函数性质：（1）可以方便地表示某些信号 f(t) = 2(t)- 3(t-1) +(t-2) r(t)=t (t),斜升函数斜升函数（2）用阶跃函数表示信号的作用区间门函数门函数下图所示矩形脉冲g(t)常称为门函数门函数。g(t)1-/2-/20 t特点特点:宽度为，幅度为1。2|, 02|, 1)(tttg利用移位阶跃函数，门函数可表示为：)2()2()(tttg二、冲激函数 单位冲激

12、函数是个奇异函数：直观定义：矩形脉冲pn(t) 。高度无穷大，宽度无穷小，面积为高度无穷大，宽度无穷小，面积为1的对称窄脉冲。的对称窄脉冲。冲激函数与阶跃函数关系引入冲激函数之后，间断点的导数也存在。f(t) = 2(t +1)-2(t -1) f(t) = 2(t +1)-2(t -1)三、冲激函数的广义函数定义广义函数广义函数 选择一类性能良好的函数(t)(检验函数)，一个广义函数g(t)作用在(t)，得到一个数值Ng(t), (t)， g(t)可以写成：可以写成：)(),()()(ttgNdtttg冲激函数的广义函数定义冲激函数的广义函数定义)0()()(dttt)()()(11tdtt

13、tt移位移位冲激偶信号冲激偶信号 对冲激信号(t)求时间导数，得到一个新的奇异信号，即冲激偶信号冲激偶信号，其表示式为： ( )( )dttdt0t(t)冲激偶的广义函数定义冲激偶的广义函数定义)0( )()( fdttft冲激函数高阶导数的广义函数定义：冲激函数高阶导数的广义函数定义：四、冲激函数的性质1. 冲激函数与普通函数f(t) 的乘积取样性质 例：例：若f(t)在t = 0 、t = a处存在，则有：2. 冲激函数的尺度变换推论：)0( )()( fdttft)()()(11tdtttt冲激函数导数的移位性质冲激函数导数的移位性质0例：例：3. 冲激函数导数的性质-(t)dt冲激函数

14、导数的尺度变换性质冲激函数导数的尺度变换性质五、阶跃序列和脉冲序列五、阶跃序列和脉冲序列 1. 单位阶跃序列单位阶跃序列离散时间单位阶跃序列定义为 01)(k00kk单位阶跃序列 0 123412(k)1k2. 单位脉冲序列单位脉冲序列离散时间单位脉冲序列定义为 00kk单位脉冲序列 1( )0k)()0()()(kfkkf)()()()(mkmfmkkfknnk)()()() 1()()(kkkkf(k)与(k)关系： ( )k( )k(k)性质：( )k1.5 系统的描述系统的描述一、系统的数学模型一、系统的数学模型二、系统二、系统的分类的分类三、系统的框图表示三、系统的框图表示一、系统的

15、数学模型一、系统的数学模型 数学模型数学模型:系统基本特性的数学抽象，是以数学表达式来表征系统的特性。 描述连续系统的数学模型是微分方程微分方程， 描述离散系统的数学模型是差分方程差分方程。二、系统分类二、系统分类 按数学模型的不同，系统可分为：1. 即时系统与动态系统即时系统与动态系统 即时系统即时系统指的是在任意时刻的响应(输出信号)仅决定与该时刻的激励(输入信号)，而与它过去的历史状况无关的系统。 如果系统在任意时刻的响应不仅与该时刻的激励有关而且与它过去的历史状况有关，就称之为动态系动态系统统。2. 连续系统与离散系统连续系统与离散系统当系统的激励是连续信号时,若响应也是连续信号,则称

16、其为连续系统连续系统。当系统的激励是离散信号时,若其响应也是离散信号,则称其为离散系统离散系统。连续系统与离散系统常组合使用,可称为混合系统混合系统。系统分析的基本思想：系统分析的基本思想：1. 根据工程实际应用，对系统建立数学模型。通常表现为描述输入输出关系的方程。2.建立求解这些数学模型的方法。)()()()(tutututuscRL)()(tuCtic)()()(tuRCtRitucR)()()(tuLCtiLtucL )(1)(1)()(tuLCtuLCtuLRtusccc 例例：写出右图示电路的微分方程。 us(t)LR+ - +- uc(t)C解：根据KVL有利用以上各元件端电压与

17、电流的关系可得：三、系统的框图表示三、系统的框图表示 将系统中相乘、微分、相加运算等基本运算用一些理想部件符号表示出来并相互联接，用于表征数学方程的运算关系而画出的图称为模拟框图模拟框图，简称框图框图。积分器的抗干扰特性比积分器的抗干扰特性比微分器的好。微分器的好。1.表示系统功能的常用基本单元表示系统功能的常用基本单元积分器：积分器： 连续系统连续系统系统模拟：系统模拟：实际系统方程模拟框图实验室实现系统设计例1：已知y”(t) + ay(t)+ by(t) = f(t)，画框图。解：将方程写为y”(t) = f(t) ay(t) by(t)例2：(见书p25)已知某连续系统如下图所示，写出

18、该系统的微分方程。 y(t)+ f(t)- x(t) x(t) x(t) a0 a1 b2 b1解：图中有两个积分器，因而系统为二阶系统。设右端积分器的输出为x(t)，那么各积分器的输入分别是 x(t)，x(t)。左方加法器的输出为)()()( )( 01tftxatxatx为了得到系统的微分方程，要消去x(t)及其导数。右方加法器的输出为：)()( )( )(012txbtxbtxbty0201000( )( )( )( )a y tb a x tb a x tb a x t1211101( )( )( )( )a y tb a x tb a x tb a x t210( )( ( )( (

19、 )( ( )y tb x tb x tb x t以上三式相加并整理得：)()( )( )()( )( 01201tfbtfbtfbtyatyaty左方加法器的输出为：)()()( )( 01tftxatxatx 离散系统 所谓差分方程差分方程是指由未知输出序列项与输入序列项构成的方程。未知序列项变量最高序号与最低序号的差数，称为差分方程的阶数差分方程的阶数。由n阶差分方程描述的系统称为n阶阶系统系统。1. 解析描述解析描述建立差分方程建立差分方程2. 差分方程的模拟框图差分方程的模拟框图基本部件单元有：数乘器，加法器，迟延单元迟延单元（移位器）迟延单元（移位器）例：已知离散系统框图，写出系统

20、的差分方程。解：设辅助变量x(k)左侧加法器输入输出关系为：左侧加法器输入输出关系为：x(k)= f(k) 2x(k-1) 3x(k-2)， 即x(k) +2x(k-1) +3x(k-2) = f(k)右侧加法器输入输出关系为：右侧加法器输入输出关系为： y(k) = 4x(k-1) + 5x(k-2)消去消去x(k) ： 2y(k-1)=2*4x(k-2) +2*5x(k-3) 3y(k-2)=3*4x(k-3)+3*5x(k-4)y(k)+ 2y(k-1)+ 3y(k-2)可可 得得:y(k) +2y(k-1) +3y(k-2) = 4f (k-1) + 5f(k-2)根据框图求解微分或差

21、分方程的一般步骤：根据框图求解微分或差分方程的一般步骤：(1)选中间变量x()。 对于连续系统,设其最右端积分器的输出x(t); 对于离散系统，设其最左端延迟单元的输入为x(k)；（2）写出各加法器输出信号的方程；（3）消去中间变量x()。1.6 系统的特性和分析方法系统的特性和分析方法连续的或离散的系统可分为：连续的或离散的系统可分为：1. 线性的和非线性的；2. 时变的和时不变（非时变）的；3. 因果的和非因果的；4. 稳定的和非稳定的。本书主要讨论线性时不变系统。本书主要讨论线性时不变系统。（1）线性性质）线性性质 线性性质包括两方面：齐次性和可加性齐次性和可加性。 若系统的激励f ()

22、增大a倍时，其响应y()也增大a倍，即T af () = a T f ()则称该系统是齐次齐次的。 若系统对于激励f1()与f2()之和的响应等于各个激励所引起的响应之和，即T f1()+ f2() = T f1()+T f2() 则称该系统是可加可加的。一、线性系统（一、线性系统（满足线性性质的系统）系统激励f ()引起响应y() 可简记为：y() = T f ()。若系统既是齐次的又是可加的，则该系统是线性线性的，即：Ta f1() + bf2() = a T f1() + bT f2()动态系统是线性系统的条件动态系统是线性系统的条件动态系统不仅与激励 f () 有关，而且与系统的初始状

23、态x(0)有关，初始状态也称“内部激励内部激励”。完全响应为完全响应为：y () = T f () , x(0)零状态响应为：零状态响应为：yzs() = T f () , 0零输入响应为：零输入响应为：yzi() = T 0，x(0)当动态系统满足下列三个条件时该系统为线性系统：可分解性：可分解性：y () = yzs() + yzi() = T f () , 0+ T 0，x(0)零状态线性：零状态线性：Ta f () , 0 = a T f () , 0 (齐次性)Tf1(t) + f2(t) , 0 = T f1 () , 0 + T f2 () , 0 (可加性可加性)或或Taf1(

24、t) +bf2(t) , 0 = aT f1 () , 0 +bT f2 () , 0T0,ax(0)= aT 0,x(0) (齐次性)T0,x1(0) + x2(0) = T0,x1(0) + T0,x2(0)(可加性可加性)或或T0,ax1(0) +bx2(0) = aT0,x1(0) +bT0,x2(0)零输入线性零输入线性注：三个条件缺一不可注：三个条件缺一不可解：（1） yzs(t) = 2 f (t) +1， yzi(t) = 3 x(0) + 1 显然， y (t) yzs(t) yzi(t)不满足可分解性，可分解性，故为非线性。（2） yzs(t) = | f (t)|， yz

25、i(t) = 2 x(0) y (t) = yzs(t) + yzi(t)满足可分解性； 由于Ta f (t) , 0 = | af (t)| a yzs(t)不满足零状态线性，故为非线性系统。例例1：判断下列系统是否为线性系统？（1） y (t) = 3 x(0) + 2 f (t) + x(0) f (t) + 1（2） y (t) = 2 x(0) + | f (t)|（3） y (t) = x2(0) + 2 f (t) yzs(t) = 2 f (t) , yzi(t) = x2(0) ，显然满足可分解性； 由于T 0,ax(0) =ax(0)2 ayzi(t)不满足零输入线性，故为

26、非线性系统。（3） y (t) = x2(0) + 2 f (t)y (t) = yzs(t) + yzi(t) ， 满足可分解性；Ta f1(t)+ b f2(t) , 0例例2：判断下列系统是否为线性系统？= aTf1(t), 0 +bT f2(t) , 0，满足零状态线性；T0,ax1(0) + bx2(0) = e-tax1(0) +bx2(0) = ae-t x1(0)+ be-t x2(0)= aT0,x1(0) +bT0,x2(0), 满足零输入线性；所以，该系统为线性系统。二、时不变系统与时变系统二、时不变系统与时变系统满足时不变性质的系统称为时不变系统。（1）时不变性质）时不

27、变性质若T0，f(t) = yzs(t)，则有T0，f(t - td) = yzs(t - td)系统的这种性质称为时不变性或移位不变性时不变性或移位不变性。解(1)令g (k) = f(k kd)T0，g (k) = g(k) g (k 1) = f (k kd) f (kkd 1 )而y (k kd) = f (k kd) f (kkd 1)显然T0，f(k kd) = y (k kd) 故该系统是时不变的。(2) 令g (t) = f(t td)T0，g (t) = t g (t) = t f (t td)而y (t td)= (t td) f (t td)显然T0，f(t td) y (t td) 故该系统为时变系统。例：例：判断下列系统是否为时不变系统？（1） y (k) = f (k) f (k 1)（2） y (t) = t f (t)（3） y (t) = f ( t)令g (t) = f(t td) ,则，T0，g (t) = g ( t) = f( t td)若 y (t td) = f (