矩阵理论分析matlab实验

1、矩阵理论实验专业：控制科学与工程姓名：刘思学号：2115080100201 矩阵的LU分解1.1 原理定义1.1设ACn×n，若A可以表示成一个下三角矩阵L与一个上三角矩阵U的乘积A=LU（1.1）则称其为矩阵A 的LU分解（三角分解）.定理1.1设ACn×n，如果A的顺序主子式a110，a11a12a21a220，a11a1 n-1an-1 1an-1 n-10（1.2）则存在唯一的主对角线上元素全为一的下三角矩阵L与唯一的上三角矩阵U，使得A=LU. 曾祥金.矩阵分析及应用.武汉大学出版社.2007.8：74-751.2 算法此算法较为简单，直接叙述如下：由公式aij=

2、k=1nlikukj（1.3），可以按照从U的第一行求起，再求L的第一列，再求U的下一行，再求L的下一列，循环下去，直到求出LU.1.3 流程图1.4 程序1 使用MATLAB的自带程序进行LU分解A=2 1 1;4 1 0;-2 2 1;L,U,P = lu(A);运行结果A=2 1 1;4 1 0;-2 2 1;>> L,U,P=lu(A)L = 1.0000 0 0 -0.5000 1.0000 0 0.5000 0.2000 1.0000U = 4.0000 1.0000 0 0 2.5000 1.0000 0 0 0.8000P = 0 1 0 0 0 1 1 0 02

3、自编程序进行LU分解function L,U = LSLU( A )%UNTITLED 刘思编写的矩阵的LU分解程序n,n=size(A); %获取矩阵A的阶L=zeros(n,n); %将矩阵LU置零U=zeros(n,n); for i=1:n %对L矩阵的对角线元素赋值1L(i,i)=1; end for k=1:n %根据算法求L,U矩阵for j=k:n U(k,j)=A(k,j)-sum(L(k,1:k-1).*U(1:k-1,j)'); end for i=k+1:n L(i,k)=(A(i,k)-sum(L(i,1:k-1).*U(1:k-1,k)')/U(k,

4、k); endendend运行结果：>> A=2 1 1;4 1 0;-2 2 1A = 2 1 1 4 1 0 -2 2 1>> A=2 1 1;4 1 0;-2 2 1A = 2 1 1 4 1 0 -2 2 1>> L,U=LSLU(A)L = 1 0 0 2 1 0 -1 -3 1U = 2 1 1 0 -1 -2 0 0 -4与MATLAB 自带分解分解程序一致。2 矩阵的QR分解2.1 原理定理2.1设ACm×n，mn且rank A=n，则比存在非奇异上三角n×n矩阵R及m×n矩阵Q， QHQ=In，使得A=QR（2

5、.1）则称其为矩阵A 的QR分解. 曾祥金.矩阵分析及应用.武汉大学出版社.2007.8：78-792.2 算法1 利用 Schmidt正交化求矩阵的 QR 分解，Schmidt正交化方法是矩阵的 QR 分解最常用的方法. 主要依据下面的两个结论 :结论 1 设 A 是 n阶实非奇异矩阵 ,则存在正交矩阵 Q 和实非奇异上三角矩阵 R 使 A 有 QR 分解 ;且除去相差一个对角元素的绝对值（模）全等于 1的对角矩阵因子外 ,分解是唯一的. 2设 A 是 m × n实矩阵 ,且其n个列向量线性无关 ,则 A 有分解 A =QR,其中 Q 是 m ×n实矩阵 ,且满足 Q H

6、TQ = E,R 是n阶实非奇异上三角矩阵该分解除去相差一个对角元素的绝对值 （模） 全等于1的对角矩阵因子外是唯一的。 李建东.矩阵 QR分解的三种方法.吕梁高等专科学校学报.2009.3:16步骤 : 1、写出矩阵的列向量；2、把列向量按照 Schmidt正交化方法进行正交； 3、得出矩阵的 Q'R'；4、对Q'的列向量单位化得到Q，并在R'的每一行乘以Q'每一列模得到R.2.3 流程图2.4 程序1.MATLAB自带函数进行QR分解B=1 1;0 1;1 1;Q,R=qr(B)Q,R,E=qr(B)运行结果B=1 1;0 1;1 1;Q,R=qr(

7、B)Q,R,E=qr(B)Q = -0.7071 0 -0.7071 0 1.0000 0 -0.7071 0 0.7071R = -1.4142 -1.4142 0 1.0000 0 0Q = -0.5774 0.4082 -0.7071 -0.5774 -0.8165 0 -0.5774 0.4082 0.7071R = -1.7321 -1.1547 0 0.8165 0 0E =0 11 0自编算法进行QR分解function Q,R = LSQR( A )%LSQR 刘思编写的矩阵的QR分解程序A=1,1;0,1;1,1;m,n=size(A); %得到A的维数if (m>=n

8、)&&(n=rank(A) R=eye(n);%R=E Q=zeros(m,n);%对Q赋初值 Q(:,1)=A(:,1); %b1=a1 for i=2:n %提取A的第i列，即A的第i个列向量 for j=1:i-1 x=Q(:,j); % bj R(j,i)=dot(A(:,i),x)/dot(x,x); %确立系数阵R end Q(:,i)=A(:,i)-Q(:,1:i-1)*R(1:i-1,i); end for i=1:n y=Q(:,i); R(i,:)= R(i,:)* norm(y); %对Q单位化（列向量单位化）； Q(:,i)= Q(:,i)/ norm(

9、y); %对R每一行乘以相应的常数使得A=QR endelse disp('不满足QR分解要求！')endend运行结果A = 1 1 0 1 1 1>> QQ = 1.0000 0 0 0 -0.7071 -0.7071 0 -0.7071 0.7071>> RR = 1.0000 1.0000 -0.7071 -1.4142 0.7071 0.0000与MATLAB 自带分解分解程序一致。3 矩阵的奇异值分解3.1 原理设ACm×n，s1，s2，sr 是A 的非零奇异值，则存在m阶酉矩阵U及n阶酉矩阵V，m×n矩阵D.D= = 使

10、得A=UDVH这就是矩阵A的奇异值分解.3.2 算法第一步：求出AHA的特征值0=，确定非零奇异值=，i=1,2，r.第二步：分别求出矩阵AHA的对应于特征值的特征向量并将其单位正交化，得到标准正交向量组1，2，n.令V=（1，2，n）=（V1，V2），V1=（1，2，r），V2=（r+1，r+2，m）.第三步：若U=（1，2，r，r+1，r+2，m）=（U1，U2）其中U1=（1，2，r），U2=（r+1，r+2，m），则因（A1，A2，Ar）=（A1，A2，Ar）即有U1=AV1 .其中=.第四步：解方程组AAHy=0，对基础解系单位正交化可以求得r+1,r+2,m，令U=（1，2，r，r

11、+1，r+2，m）.曾祥金.矩阵分析及应用.武汉大学出版社.2007.8：86-883.3 流程图3.4 程序1. MATLAB自带函数进行奇异值分解A=1 0;0 1;1 0;U,S,V=svd(A)%矩阵的奇异值分解运行结果A=1 0;0 1;1 0;U,S,V=svd(A)%矩阵的奇异值分解U = -0.7071 0 -0.7071 0 1.0000 0 -0.7071 0 0.7071S = 1.4142 0 0 1.0000 0 0V = -1 0 0 12自编程序进行奇异值分解function U,S,V = LSSVD(A)%LSQR 刘思编写的矩阵的奇异值分解程序m,n=size(A); %得到A的维数U=zeros(m);V=zeros(n);r=rank(A); S=zeros(m,n);B,C=eig(A'*A);x=diag(C);B=B.',x;B=sortrows(B,-(n+1);for i=1:r S(i,i)=sqrt(B(i,n+1);endB=B(:,1:n);B=B.'V=qr(B);V1=V(:,1:r);U(:,1:r)=A*V1*(inv(S(1:r,1:r);U(:,r+1:m)=