高三数学正弦定理

1、2021/3/911.1.1正弦定理郭艳杰（07304215）2021/3/92CA B BaAbcoscosBbAasinsin在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？2021/3/93 BbAasinsin同理可证CcsinBbsin= 当 ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，有借助高相等：aCDsinBbCDsinA从而 sinCcsinBbsinAa思考：这个等式在钝角三角形中是否成立？2021/3/94再看钝角三角形ABC，作AB边上的高，交AB的延长线于点

2、D，则bCDsinAACBDaCDsinB借助高相等：BbAasinsin同理可证CcsinBbsin=从而sinCcsinBbsinAa2021/3/95从上面的研究过程中，我们可以得到以下定理正弦定理：在一个三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等，即sinCcsinBbsinAa2021/3/96 例1 已知ABC，根据下列条件，求相应的三角形中其他边和角的大小（保留根号或精确到0.1）（1） A=60 ， B=45， a=10；（2）a=3，b=4， A=30；（3）b=3 ，c=6， B=120. 6 2021/3/972 .83610sin6045sin10sinAasinBb2

3、 .1160sin75sin10sinAasinCc754560180C1 ）解：（由正弦定理，得2021/3/98（2）由正弦定理，得32330sin4absinAsinB.2138B8.41B或7.5sin30sin108.23AsinasinCc2.1088.4130180C8.41B时，当2.130sin8.11sin3sinAasinCc8.112.13830180C2.138B时，当2021/3/9915CB180A45C60C120B135C45C，即或2263236bcsinBsinC2 . 22315sin63sinBbsinAa（3）由正弦定理，得再由正弦定理，得2021/

4、3/910 例2 如图1-4，在ABC中， A的角平分线AD与边BC相交于点D，求证：ACABDCBDABCD2021/3/911中，和证明：如图，在ACDABD由正弦定理，得，sinABsinBD（1）sinAC180sinACsinDC）（(2)(1) (2) ，得ACABDCBDABCD2021/3/912 3练习：1、已知ABC，根据下列条件，解三角形（保留根号或精确到0.1）(1) A=60, B=30,a=3;(2)a=3,b= , A=60;(3) A=45,B=75,b=8;(4)a=3,b=2, B=45 2、求证：在ABC中， . (提示：令 )cbasinCsinBsinAksinCcsinBbsinAa2021/3/913小结与思考小结与思考问题问题 通过以上的研究过程，同学们主要学到了通过以上的研究过程，同学们主要学到了那些知识和方法？你对此有何体会？那些知识和方法？你对此有何体会？1. 已知两边和其中一边的对角解三角形时判已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数断解的个数.2. 它表述了三角形的边与对角的正弦值的关系它表述了三角形的边与对角的正弦值的关系.3. 定理证明分别从直角、锐角、钝角出发，运定理证明分别从直角、锐角、钝角出发，运 用分类讨论的思想用分类讨