2015挑战中考数学压轴题

1、目录第一部分函数图象中点的存在性问题1.1例 1例 2例 3例 4例 5例 6因动点产生的相似三角形问题2013 年上海市中考第 24 题2012 年苏州市中考第 29 题2012 年黄冈市中考第 25 题2010 年义乌市中考第 24 题2009 年临沂市中考第 26 题2008 年苏州市中考第 29 题1.2例 1例 2例 3例 4例 5例 6例 7因动点产生的等腰三角形问题2013 年上海市虹口区中考模拟第 25 题2012 年扬州市中考第 27 题2012 年临沂市中考第 26 题2011 年湖州市中考第 24 题2011 年盐城市中考第 28 题2010 年南通市中考第 27 题20

2、09 年江西省中考第 25 题1.3例 1例 2例 3例 4例 5例 6例 7因动点产生的直角三角形问题2013 年山西省中考第 26 题2012 年广州市中考第 24 题2012 年杭州市中考第 22 题2011 年浙江省中考第 23 题2010 年北京市中考第 24 题2009 年嘉兴市中考第 24 题2008 年河南省中考第 23 题1.4例 1例 2例 3例 4例 5例 6例 71.5例 1例 2例 4因动点产生的平行四边形问题2013 年上海市松江区中考模拟第 24 题2012 年福州市中考第 21 题2012 年烟台市中考第 26 题2011 年上海市中考第 24 题2011 年江

3、西省中考第 24 题2010 年山西省中考第 26 题2009 年江西省中考第 24 题因动点产生的梯形问题2012 年上海市松江中考模拟第 24 题2012 年衢州市中考第 24 题2011 年义乌市中考第 24 题例 5例 71.6例 1例 2例 3例 4例 5例 6例 71.7例 1例 2例 31.8例 1例 2例 32010 年杭州市中考第 24 题2009 年广州市中考第 25 题因动点产生的面积问题2013 年苏州市中考第 29 题2012 年菏泽市中考第 21 题2012 年河南省中考第 23 题2011 年南通市中考第 28 题2010 年广州市中考第 25 题2010 年扬州

4、市中考第 28 题2009 年兰州市中考第 29 题因动点产生的相切问题2013 年上海市杨浦区中考模拟第 25 题2012 年河北省中考第 25 题2012 年无锡市中考第 28 题因动点产生的线段和差问题2013 年市中考第 25 题2012 年滨州市中考第 24 题2012 年山西省中考第 26 题第二部分图形运动中的函数关系问题2.1例 1例 2例 3例 4由比例线段产生的函数关系问题2013 年宁波市中考第 26 题2012 年上海市徐汇区中考模拟第 25 题2012 年连云港市中考第 26 题2010 年上海市中考第 25 题2.2例 1例 2例 3例 4例 5例 6由面积公式产生

5、的函数关系问题2013 年菏泽市中考第 21 题2012 年省中考第 22 题2012 年河北省中考第 26 题2011 年市中考第 28 题2011 年山西省中考第 26 题2011 年重庆市中考第 26 题第三部分图形运动中的计算说理问题3.1例 1例 2代数计算及通过代数计算进行说理问题2013 年南京市中考第 26 题2013 年南昌市中考第 25 题3.2 几何证明及通过几何计算进行说理问题例 12013 年上海市黄浦区中考模拟第 24 题例 22013 年江西省中考第 24 题选自东师范大学的中考数学压轴题（含光盘）一书。该书收录当年各地具有代表性的中考数学压轴题， 并把它们分为

6、4 部分、24 小类。该书最大的特色是用几何画板和超级画板做成电脑课件，并为每一题录制了讲解，让你在动态中体验压轴题的变与不变，获得清晰的解题思路，完成满分解答，拓展思维训练。中考数学压轴题自以来广受读者欢迎，被评为优秀畅销图书,成为“中考压轴题”类第一畅销。在上海、北京、江苏、浙江等省市的名牌初中的毕业班学生中，几乎人手一本，成为冲刺名牌高中必备。由于格式问题，该书最具特色的电脑课件和文件在此无法一并附上，敬请原谅。第一部分函数图象中点的存在性问题1.1因动点产生的相似三角形问题例 12013 年上海市中考第 24 题如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，顶点为 M 的抛物线 yax2bx

7、（a0）经过点 A和 x 轴正半轴上的点 B，AOBO2，AOB120°（1）求这条抛物线的表；（2） 连结 OM，求AOM 的大小；（3） 如果点 C 在 x 轴上，且ABC 与AOM 相似，求点 C 的坐标图 1动感体验请打开几何画板文件名“13 上海 24”，拖动点 C 在 x 轴上运动，可以体验到，点 C 在点 B 的右侧，有两种情况，ABC 与AOM 相似请打开超级画板文件名“13 上海 24”，拖动点 C 在 x 轴上运动，可以体验到，点 C 在点 B 的右侧，有两种情况，ABC 与AOM 相似点击按钮的 和中部，可到达相似的准确位置。思路点拨1. 第（2）题把求AOM

8、的大小，转化为求BOM 的大小2. 因为BOMABO30°，因此点 C 在点 B 的右侧时，恰好有ABCAOM3根据夹角相等对应边满分解答例，分两种情况讨论ABC 与AOM 相似（1）如图 2，过点 A 作 AHy 轴，垂足为 H 在 RtAOH 中，AO2，AOH30°，3 所以 A (-1, 3) 所以 AH1，OH因为抛物线与 x 轴交于 O、B(2,0)两点，(-1,3)设 y ax(x 2) ， 代 入 点A，可得 3 3a =图 2332 - 23 ，3 x 为 y =所以抛物线的表333 x2 - 23 x =3 (x -1)2 -（2）由 y3333得抛物线

9、的顶点 M 的坐标为(1, - 3 ) 所以tan ÐBOM =3 33所以BOM30°所以AOM150°3) 、B(2,0)、M (1, - 3 ) ，（3）由 A (-1,33 ， AB = 23= 2 3 得tan ÐABO =3 ， OM3OA= 3 所以ABO30°，OM因此当点 C 在点 B 右侧时，ABCAOM150°ABC 与AOM 相似，存在两种情况：如图 3，当 BA =OA= 3 时， BC = BA = 2 3 = 2 此时 C(4,0)BCOM333BA = 3 ´ 2 3 = 6 此时 C(8,0

10、)如图 4，当 BC =OA= 3 时， BC =BAOM图 3图 4考点伸展在本题情境下，如果ABC 与BOM 相似，求点 C 的坐标如图 5，因为BOM 是 30°底角的等腰三角形，ABO30°，因此ABC 也是底角为 30°的等腰三角形，ABAC，根据对称性，点 C 的坐标为(4,0)图 5例 22012 年苏州市中考第 29 题如图 1，已知抛物线 y = 1 x2 - 1 (b +1)x + b （b 是实数且 b2）与 x 轴的正半轴分别交444A、B（点 A 位B 是左侧），与 y 轴的正半轴交C（1） 点 B 的坐标为 ，点 C 的坐标为 （用含

11、b 的代数式表示）；（2） 请你探索在第一象限内是否存在点 P，使得四边形 PCOB 的面积等于 2b，且PBC是以点 P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由；（3） 请你进一步探索在第一象限内是否存在点 Q，使得QCO、QOA 和QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点 Q 的坐标； 如果不存在，请说明理由图 1动感体验请打开几何画板文件名“12 苏州 29”，拖动点 B 在 x 轴的正半轴上运动，可以体验到，点 P 到两坐标轴的距离相等，存在四边形 PCOB 的面积等于 2b 的时刻双击按钮“第（3） 题”

12、，拖动点 B，可以体验到，存在OQAB 的时刻，也存在OQAB 的时刻思路点拨1. 第（2）题中，等腰直角三角形 PBC 暗示了点 P 到两坐标轴的距离相等2. 联结 OP，把四边形 PCOB 重新分割为两个等高的三角形，底边可以用含 b 的式子表示3. 第（3）题要探究三个三角形两两相似，第一直觉这三个三角形是直角三角形，点 Q最大的可能在经过点 A 与 x 轴垂直的直线上满分解答（1）B 的坐标为(b, 0)，点 C 的坐标为(0, b )4（2）如图 2，过点 P 作 PDx 轴，PEy 轴，垂足分别为 D、E，那么PDBPEC 因此 PDPE设点 P 的坐标为(x, x)如图 3，联结

13、 OP所以 S 四边形 PCOBSPCOSPBO 1 ´ b × x + 1 ´ b × x = 5 bx 2b242x = 16 所以点 P 的坐标为( 16 ,16 )8555图 2图 3（3）由 y = 1 x2 - 1 (b +1)- b) ，得 A(1, 0)，OA14444如图 4，以 OA、OC 为邻边构造矩形 OAQC，那么OQCQOA当 BA = QA ，即QA2 = BA × OA 时，BQAQOAQAOA所以(b )2 = b -1b = 8 ± 4 3 所以符合题意的点 Q 为(1, 2 + 3 )4如图 5，

14、以 OC 为直径的圆与直线 x1 交因此OCQQOAQ，那么OQC90°。当 BA = QA 时，BQAQOA此时OQB90°QAOA所以 C、Q、B 三点共线因此 BO = QA ，即 b= QA 1QA = 4 此时 Q(1,4)b4COOA图 4图 5考点伸展第（3）题的思路是，A、C、O 三点是确定的，B 是 x 轴正半轴上待定的点，而QOA 与QOC 是互余的，那么我们自然想到三个三角形都是直角三角形的情况这样，先根据QOA 与QOC 相似把点 Q 的位置确定下来，再根据两直角边对应例确定点 B 的位置如图中，圆与直线 x1 的另一个交点会是符合题意的点 Q 呢？

15、如果符合题意的话，那么点 B 的位置距离点 A 很近，这与 OB4OC例 32012 年黄冈市中考模拟第 25 题如图 1，已知抛物线的方程 C1： y = - 1 (x + 2)(x - m) (m0)与 x 轴交mB、C，与y 轴交E，且点 B 在点 C 的左侧（1） 若抛物线 C1 过点 M(2, 2)，求实数 m 的值；（2） 在（1）的条件下，求BCE 的面积；（3） 在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点 H，使得 BHEH 最小，求出点 H的坐标；（4） 在第四象限内，抛物线 C1 上是否存在点 F，使得以点 B、C、F 为顶点的三角形与BCE 相似？若存在，求 m 的值；若

16、不存在，请说明理由图 1动感体验请打开几何画板文件名“12 黄冈 25”，拖动点 C 在 x 轴正半轴上运动，观察左图，可以体验到，EC 与 BF 保持平行，但是BFC 在无限远处也不等于 45°观察右图，可以体验到，CBF 保持 45°，存在BFCBCE 的时刻思路点拨1. 第（3）题是典型的“牛喝水”问题，当 H 落段 EC 上时，BHEH 最小2. 第（4）题的解题策略是：先分两种情况画直线 BF，作CBFEBC45°，或者作 BF/EC再用含 m 的式子表示点 F 的坐标然后根据夹角相等，两边对应于 m 的方程满分解答例列关（1）将 M(2, 2)代入 y

17、 = - 1 (x + 2)(x - m) ，得2 = - 1 ´ 4(2 - m) m4m（2）当 m4 时， y = - 1 (4所以 SBCE 1 BC ×OE = 1 ´ 6´ 2 = 6 m2 + 1 x + 2 所以 C(4, 0)，E(0, 2)4222（3）如图 2，抛物线的对称轴是直线 x1，当 H 落段 EC 上时，BHEH 最小设对称轴与 x 轴的交点为 P，那么 HP = EO CPCO因此 HP = 2 HP = 3 所以点 H 的坐标为3(1, )3422（4）如图 3，过点 B 作 EC 的平行线交抛物线于 F，过点 F 作

18、 FFx 轴于 F由于BCEFBC，所以当 CE = BC ，即 BC2 = CE × BF 时，BCEFBCCBBF1 (x + 2)(x - m)- m) ，由 FF ' = EO ，得 m2 m设点 F 的坐标为(=x + 2mBF 'COxm2所以 F(m2, 0)m + 4(m + 4) m2 + 4COBF 'm=，得=所以 BF =由CEBFBFmm2 + 4(m + 4) m2 + 42= CE × BF ，得(m + 2) =由 BC2m + 4 ´2m整理，得 016此方程无解图 2图 3图 4如图 4，作CBF45&#

19、176;交抛物线于 F，过点 F 作 FFx 轴于 F，由于EBCCBF，所以 BE = BC ，即 BC2 = BE × BF 时，BCEBFCBCBF在 RtBFF中，由 FFBF，得 1 (x + 2)(x - m) = x + 2 mx2m所以 F (2m, 0) 所以 BF2m2， BF = 2(2m + 2) 由 BC2 = BE × BF ，得(m + 2)2 = 2 2 ´ 2(2m + 2) m = 2 ± 2 2 综合、，符合题意的 m 为2 + 2 2 考点伸展第（4）题也可以这样求 BF 的长：在求得点 F、F 的坐标后，根据两点

20、间的距离公式求 BF 的长例 42010 年义乌市中考第 24 题如图 1，已知梯形 OABC，抛物线分别过点 O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）（1）直接写出抛物线的对称轴、式及顶点 M 的坐标；（2）将图 1 中梯形 OABC 的上下底边所在的直线 OA、CB 以相同的速度同时平移，分别交抛物线 O1、A1、C1、B1，得到如图 2 的梯形 O1A1B1C1设梯形 O1A1B1C1 的面积为 S，A1、 B1 的坐标分别为 (x1，y1)、(x2，y2)用含 S 的代数式表示 x2x1，并求出当 S=36 时点 A1 的坐标；（3）在图 1 中，设点 D 的坐标为(1，3)，动点 P

21、 从点 B 出发，以每秒 1 个长度的速度沿着线段 BC 运动，动点 Q 从点 D 出发，以与点 P 相同的速度沿着线段 DM 运动P、Q 两点同时出发，当点 Q 到达点 M 时，P、Q 两点同时停止运动设 P、Q 两点的运动时间为 t，是否存在某一时刻 t，使得直线 PQ、直线 AB、x 轴围成的三角形与直线 PQ、直线 AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出 t 的值；若不存在，请说明理由图 1图 2动感体验请打开几何画板文件名“10 义乌 24”，拖动点 I 上下运动，观察图形和图象，可以体验到，x2x1 随 S 的增大而减小双击按钮“第（3）题”，拖动点 Q 在 DM 上

22、运动，可以体验到，如果GAFGQE，那么GAF 与GQE 相似思路点拨1第（2）题用含 S 的代数式表示 x2x1，我们反其道而行之，用 x1，x2 表示 S再注意平移过梯形的高保持不变，即 y2y13通过代数变形就可以了2第（3）题最大的在于画示意图，在没有计算结果的情况下，无法画出准确的位置关系，因此本题的策略是先假设，再说理计算，后验证3第（3）题的示意图，不变的关系是：直线 AB 与 x 轴的夹角不变，直线 AB 与抛物线的对称轴的夹角不变变化的直线 PQ 的斜率，因此假设直线 PQ 与 AB 的交点 G 在 x 轴者假设交点 G 在 x 轴的上方的下满分解答（1）抛物线的对称轴为直线

23、 x = 1 ，式为 y = 1 x2 - 1 x ，顶点为 M（1， - 1 ）84的面积 S = 2(x1 -1+ x2 -1) ´3 = 3(x8+ x ) - 6 ， 由此得到（ 2 ） 梯形 O1A1B1C1122= 18= 72 Sx + x = s + 2 由于 y2 + 1 x = 3 整理，得- y = 3 ，所以 y - y1221211134841 ù+ x ) -= 3 因此得到 x - x(4 úû2121ë8ìx2 + x1 = 14,ìx1 = 6,当 S=36 时，ííx此

24、时点 A1 的坐标为（6，3）x - x = 2.= 8.î 21î 2（3）设直线 AB 与 PQ 交G，直线 AB 与抛物线的对称轴交E，直线 PQ 与 x轴交F，那么要探求相似的GAF 与GQE，有一个公共角G在GEQ 中，GEQ 是直线 AB 与抛物线对称轴的夹角，为定值在GAF 中，GAF 是直线 AB 与 x 轴的夹角，也为定值，而且GEQGAF因此只存在GQEGAF 的可能，GQEGAF这时GAFGQEPQD3DQt3t20由于tan ÐGAF =， tan ÐPQD =4=，所以 =t =7QP5 - t45 - t图 3图 4考点伸展第

25、（3）题是否存在点 G 在 x 轴上方的情况？如图 4，假如存在，说理过程相同，求得的 t 的值也是相同的事实上，图 3 和图 4 都是假设存在的示意图，实际的图形更接近图 3例 52009 年临沂市中考第 26 题如图 1，抛物线经过点 A(4，0)、B（1，0)、C（0，2）三点（1）求此抛物线的式；（2）P 是抛物线上的一个动点，过 P 作 PMx 轴，垂足为 M，是否存在点 P，使得以A、P、M 为顶点的三角形与OAC 相似？若存在，请求出符合条件的 点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线 AC 上方的抛物线是有一点 D，使得DCA 的面积最大，求出点 D 的坐标,图 1动

26、感体验请打开几何画板文件名“09 临沂 26”，拖动点 P 在抛物线上运动，可以体验到，PAM的形状在变化，分别双击按钮“P 在 B 左侧”、“ P 在 x 轴上方”和“P 在 A 右侧”，可以显示PAM 与OAC 相似的三个情景双击按钮“第(3)题”， 拖动点 D 在 x 轴上方的抛物线上运动，观察DCA 的形状和面积随 D 变化的图象，可以体验到，E 是 AC 的中点时，DCA 的面积最大思路点拨1已知抛物线与 x 轴的两个交点，用待定系数法求式时，设交点式比较简便2结合，用式表示图象上点的坐标，用点的坐标表示线段的长3按照两条直角边对应例，分两种情况列方程4把DCA 可以分割为共底的两个

27、三角形，高的和等于 OA满分解答（ 1 ） 因为抛物线与 x 轴交于 A(4 ， 0)、B （ 1 ， 0) 两点， 设抛物线的y = a(x -1)(x - 4) ，代入点 C 的 坐标（0，2），a = - 1 所以抛物线的2式为式为1y = -(x -1)( 2- 2 22- 4) （2）设点 P 的坐标为(21如图 2，当点 P 在 x 轴上方时，1x4， PM = -(x -1)(x - 4) ， AM = 4 - x 2- 1 (x - 1)(x - 4)AM如果= AO = 2 ，那么CO2= 2 x = 5 不合题意4 - xPM- 1 (x - 1)(x - 4)AM如果=

28、AO = 1 ，那么= 1 22x = 2 4 - xPMCO2此时点 P 的坐标为（2，1）1如图 3，当点 P 在点 A 的右侧时，x4， PM =(x -1)(x - 4) ， AM = x - 4 21 (x -1)(x - 4)解方程 2= 2 ，得 x = 5 此时点 P 的坐标为(5,-2) x - 41 (x - 1)( x - 4)解方程 2= 1 ，得 x = 2 不合题意x - 421如图 4，当点 P 在点 B 的左侧时，x1， PM =(x -1)(x - 4) ， AM = 4 - x 21 (x - 1)(x - 4)解方程 2= 2 ，得 x = -3 此时点

29、P 的坐标为(-3,-14) 4 - x1 (x - 1)( x - 4)解方程 2= 1 ，得 x = 0 此时点 P 与点 O 重合，不合题意4 - x2综上所述，符合条件的 点 P 的坐标为（2，1）或(-3,-14) 或(5,-2) 图 2图 3图 41式为 y =x - 2 （3）如图 5，过点 D 作 x 轴的垂线交 AC 于 E直线 AC 的2设点 D 的横坐标为 m (1 < m < 4) ，那么点 D 的坐标为(m,- 1 m2 + 5 m - 2) ，点 E 的22坐标为(m, 1 m - 2) 所以 DE = (- 1 m2 + 5 m - 2) - (1 m

30、 - 2) = - 1 m2 + 2m 22222因此 S= 1 (- 1 m2 + 2m) ´ 4 = -m2 + 4m = -(m - 2)2 + 4 DDAC22当 m = 2 时，DCA 的面积最大，此时点 D 的坐标为（2，1）图 5图 6考点伸展第（3）题也可以这样解：如图 6，过 D 点构造矩形 OAMN，那么DCA 的面积等于直角梯形 CAMN 的面积减去CDN 和ADM 的面积设点 D 的横坐标为（m，n） (1 < m < 4) ，那么S =(2n + 2) ´ 4 -m(n + 2) -n(4 - m) = -m + 2n + 4 1112

31、22由于 n = - 1 m2 + 5 m - 2 ，所以 S = -m2 + 4m 22例 62008 年苏州市中考第 29 题图 1动感体验请打开几何画板文件名“08 苏州 29”，拖动表示 a 的点在 y 轴上运动，可以体验到，当抛物线经过点 E1 和 E3 时，直线NE1、NE3 和直线 AB 交于同一个点 G，此时POBPGN当抛物线经过点 E2 和 E4 时，直线 NE2、NE4 和直线 AB 交于同一个点 G，可以体验到，这个点G 在点 N 右侧较远处思路点拨1. 求等腰直角三角形 OAB 斜边上的高 OH，解直角三角形 POH 求 k、b 的值2. 以 DN 为边画正方形及对角

32、线，可以体验到，正方形的顶点和对角线的交点中，有符合题意的点 E，写出点 E 的坐标，代入抛物线的式就可以求出 a3 当 E 在 x 轴上方时， GNP 45 °， POB PGN ，把 PB × PG 转化为PO × PN = 14 4当 E 在 x 轴下方时，通过估算得到 PB × PG 大于 10 2 满分解答（1） OH = 1， k =3 ， b = 2333（2）由抛物线的式 y = a(x +1)(x - 5) ，得点 M 的坐标为(-1, 0) ，点 N 的坐标为(5, 0) 因此 MN 的中点 D 的坐标为（2，0），DN3因为AOB

33、是等腰直角三角形，如果DNE 与AOB 相似，那么DNE 也是等腰直角三角形如图 2，如果 DN 为直角边，那么点 E 的坐标为 E1（2，3）或 E2（2，3）将 E1（2，3）代入 y = a(x +1)(x - 5)，求得 a =- 1 3此时抛物线的式为 y1 (x +1)(x - 5) = - 1 x2 + 4 x + 5 33331将 E2（2，3）代入 y = a(x +1)(x - 5)，求得 a =315此时抛物线的式为 y =(x + 1)(3-3331111,-1 ) 如果 DN 为斜边，那么点 E 的坐标为 E3 (3 ,1) 或 E4 (32222将 E3 (3 1

34、,11) 代入 y = a(x +1)(x - 5)，求得 a =- 2 22此时抛物线的式为 y92 (x +1)(x - 5) = - 2 x2 + 8 x + 10 9999111 ) 代入 y = a(x +1)(x - 5) ，求得 a = 2 将 E (3,-4229210此时抛物线的式为 y =(x + 1)(9-999图 2图 311对E 为 E1（2，3）和 E3 (3 ,1 ) ，直线 NE 是相同的，ENP45°22又OBP45°，PP，所以POBPGN 因此 PB × PG = PO × PN = 2 ´ 7 = 14

35、< 10 2 对E 为 E2（2，3）和 E4 (3,-1 ) ，直线 NE 是相同的221411此时点 G 在直线 x = 5 的右侧， PG >3 341444又 PB >3 ，所以 PB × PG >3 ´3 = 14´> 10 2 3333考点伸展在本题情景下，怎样计算 PB 的长？22如图 3，作 AFAB 交 OP 于 F，那么OBCOAF，OFOC3 ，PF 2 -3 ，33332PAPF =(2 -3) =3 -1，所以 PB =3 +1 2231.2因动点产生的等腰三角形问题例 12013 年上海市虹口区中考模拟第

36、25 题如图 1，在 RtABC 中，A90°，AB6，AC8，点 D 为边 BC 的中点，DEBC交边 ACE，点 P 为射线 AB 上的一动点，点 Q 为边 AC 上的一动点，且PDQ90°（1） 求 ED、EC 的长；（2） 若 BP2，求 CQ 的长；（3） 记线段 PQ 与线段 DE 的交点为 F，若PDF 为等腰三角形，求 BP 的长图 1备用图动感体验请打开几何画板文件名“13 虹口 25”，拖动点 P 在射线 AB 上运动，可以体验到，PDM与QDN 保持相似观察PDF，可以看到，P、F 可以落在对边的垂直平分线上，不存在DFDP 的情况请打开超级画板文件名

37、“13 虹口 25”，拖动点 P 在射线 AB 上运动，可以体验到，PDM与QDN 保持相似观察PDF，可以看到，P、F 可以落在对边的垂直平分线上，不存在DFDP 的情况思路点拨1. 第（2）题 BP2 分两种情况2. 解第（2）题时，画准确的示意图有利于理解题意，观察线段之间的和差关系3. 第（3）题探求等腰三角形 PDF 时，根据相似三角形的传递性，转化为探求等腰三角形 CDQ满分解答（1）在 RtABC 中， AB6，AC8，所以 BC10在 RtCDE 中，CD5，所以 ED = CD × tan ÐC = 5´ 3 = 15 ， EC = 25 444

38、（2）如图 2，过点 D 作 DMAB，DNAC，垂足分别为 M、N，那么 DM、DN 是ABC 的两条中位线，DM4，DN3由PDQ90°，MDN90°，可得PDMQDN 因此PDMQDN= 4 所以QN = 3 PM ， PM= 4 QN 3所以 PM = DMQNDN34图 2图 3图 4如图 3，当 BP2，P 在 BM 上时，PM1此时QN = 3 PM = 3 所以CQ = CN + QN = 4 + 3 = 19 4444如图 4，当 BP2，P 在 MB 的延长线上时，PM5此时QN = 3 PM = 15 所以CQ = CN + QN = 4 + 15 =

39、 31 4444（3）如图 5，如图 2，在 RtPDQ 中， tan ÐQPD = QD =DN= 3 PDDM4在 RtABC 中， tan ÐC = BA = 3 所以QPDCCA4由PDQ90°，CDE90°，可得PDFCDQ 因此PDFCDQ当PDF 是等腰三角形时，CDQ 也是等腰三角形如图 5，当 CQCD5 时，QNCQCN541（如图 3 所示）此时 PM = 4 QN = 4 所以 BP = BM - PM = 3 - 4 = 5 3333如图 6，当 QCQD 时，由cos C = CH ，可得CQ = 5 ¸ 4 = 2

40、5 CQ所以 QNCNCQ 4 - 25 = 7 （如图 2 所示）25888此时 PM = 4 QN = 7 所以 BP = BM + PM = 3 + 7 = 25 3666不存在 DPDF 的情况这是因为DFPDQPDPQ（如图 5，图 6 所示）图 5图 6考点伸展如图 6，当CDQ 是等腰三角形时，根据等角的三角形，PBPD在BDP 中可以直接求解 BP = 25 6相等，可以得到BDP 也是等腰例 22012 年扬州市中考第 27 题如图 1，抛物线 yax2bxc 经过 A(1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线 l 是抛物线的对称轴（1） 求抛物线的函数关系式；（2

41、） 设点 P 是直线 l 上的一个动点，当PAC 的周长最小时，求点 P 的坐标；（3） 在直线 l 上是否存在点 M，使MAC 为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点 M 的坐标；若不存在，请说明理由图 1动感体验请打开几何画板文件名“12 扬州 27”，拖动点 P 在抛物线的对称轴上运动，可以体验到，当点 P 落段 BC 上时，PAPC 最小，PAC 的周长最小拖动点 M 在抛物线的对称轴上运动，观察MAC 的三个顶点与对边的垂直平分线的位置关系，可以看到，点 M 有1 次机会落在 AC 的垂直平分线上；点 A 有 2 次机会落在 MC 的垂直平分线上；点 C 有 2 次机会落在

42、MA 的垂直平分线上，但是有 1 次 M、A、C 三点共线思路点拨1第（2）题是典型的“牛喝水”问题，点 P段 BC 上时PAC 的周长最小2第（3）题分三种情况列方程讨论等腰三角形的存在性满分解答（1）因为抛物线与 x 轴交于 A(1,0)、B(3, 0)两点，设 ya(x1)(x3)，代入点 C(0 ,3)，得3a3a1所以抛物线的函数关系式是 y(x1)(x3)x22x3（2）如图 2，抛物线的对称轴是直线 x1当点 P 落段 BC 上时，PAPC 最小，PAC 的周长最小设抛物线的对称轴与 x 轴的交点为 H由 BH= PH ，BOCO，得 PHBH2BOCO所以点 P 的坐标为(1,

43、 2)图 2（3）点 M 的坐标为(1, 1)、(1, 6 )、(1, - 6 )或(1,0)考点伸展第（3）题的解题过程是这样的： 设点 M 的坐标为(1,m)在MAC 中，AC210，MC21(m3)2，MA24m2如图 3，当 MAMC 时，MA2MC2解方程 4m21(m3)2，得 m1 此时点 M 的坐标为(1, 1)如图 4，当 AMAC 时，AM2AC2解方程 4m210，得m =± 6 此时点 M 的坐标为(1, 6 )或(1, - 6 )如图 5，当 CMCA 时，CM2CA2解方程 1(m3)210，得 m0 或 6当 M(1, 6)时，M、A、C 三点共线，所以

44、此时符合条件的点 M 的坐标为(1,0)图 3图 4图 5例 32012 年临沂市中考第 26 题如图 1，点 A 在 x 轴上，OA4，将线段 OA 绕点 O 顺时针旋转 120°至 OB 的位置（1）求点 B 的坐标；（2）求经过 A、O、B 的抛物线的式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点 P，使得以点 P、O、B 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点 P 的坐标；若不存在，请说明理由图 1动感体验请打开几何画板文件名“12 临沂 26”，拖动点 P 在抛物线的对称轴上运动，可以体验到，O 和B 以及 OB 的垂直平分线与抛物线的对称轴有一个共同的交点，当点 P 运动到

45、O 与对称轴的另一个交点时，B、O、P 三点共线请打开超级画板文件名“12 临沂 26”，拖动点 P，发现存在点 P，使得以点 P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形思路点拨1. 用代数法探求等腰三角形分三步：先分类，按腰相等分三种情况；再根据两点间的距离公式列方程；然后解方程并检验2. 本题中等腰三角形的角度特殊，三种情况的点 P 重合在一起满分解答（1）如图 2，过点 B 作 BCy 轴，垂足为 C在 RtOBC 中，BOC30°，OB4，所以 BC2， OC = 2 3 所以点 B 的坐标为(-2, -2 3) （2）因为抛物线与 x 轴交于 O、A(4, 0)，设抛物线的式为

46、yax(x4)，a =- 3 代入点 B (-2, -2 3) ， -2 3 = -2a ´(-6) 63 x(x - 4) = -3 x2 + 2 3 x 所以抛物线的式为 y663（3）抛物线的对称轴是直线 x2，设点 P 的坐标为(2, y)当 OPOB4 时，OP216所以 4+y216当 P 在(2, 2 3) 时，B、O、P 三点共线（如图 2）y = ±23 当 BPBO4 时，BP216所以42 + ( y + 2 3)2 = 16 当 PBPO 时，PB2PO2所以42 + ( y + 2 3)2 = 22 + y2 综合、，点 P 的坐标为(2, -2

47、3) ，如图 2 所示y = y = -2 3 12y = -2 3 图 2图 3考点伸展如图 3，在本题中，设抛物线的顶点为 D，那么DOA 与OAB 是两个相似的等腰三角形36- 2)2 + 23 ，得抛物线的顶点为 D(2, 23 ) 由 y = -633因此tan ÐDOA = 2 3 所以DOA30°，ODA120°3例 42011 年盐城市中考第 28 题如图 1，已知一次函数 yx7 与正比例函数 y = 4 x 的图象交3点 B（1） 求点 A 和点 B 的坐标；（2） 过点 A 作 ACy 轴C，过点 B 作直线 l/y 轴动A，且与 x 轴交于

48、点 P 从点 O 出发，以每秒 1 个长的速度，沿 OCA的路线A 运动；同时直线 l 从点 B 出发，以相同速度向左平移，在平移过，直线 l 交 x 轴R，交线段 BA或线段 AOQ当点 P 到达点 A 时，点 P 和直线 l 都停止运动在运动过，设动点 P 运动的时间为 t 秒当 t 为为 8？，以 A、P、R 为顶点的三角形的面积是否存在以 A、P、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？ 若存在，求 t 的值；若不存在，请说明理由图 1动感体验请打开几何画板文件名“11 盐城 28”，拖动点 R 由 B 向 O 运动，从图象中可以看到，APR 的面积有一个时刻等于 8观察APQ，可以体验到，P

49、 在 OC 上时，只存在 AP AQ 的情况；P 在 CA 上时，有三个时刻，APQ 是等腰三角形思路点拨1把图 1若干个，在每一个图形中解决一个问题2求APR 的面积等于 8，按照点 P 的位置分两种情况讨论事实上，P 在 CA 上运动时，定值 4，最大面积为 6，因此不存在面积为 8 的可能3讨论等腰三角形 APQ，按照点 P 的位置分两种情况讨论，点 P 的每一种位置又要讨论三种情况满分解答ì y = -x + 7,ìx = 3,（1）解方程组ï所以点 A 的坐标是(3，4)得íí y =x,4î y = 4.ï

50、38;3令 y = -x + 7 = 0 ，得 x = 7 所以点 B 的坐标是(7，0)（2）如图 2，当 P 在 OC 上运动时，0t4由SAPR = S梯形CORA - SACP - SPOR = 8 ，得 111t - 8t +12 = 023+7 - t) ´ 4 - ´ 4´(4 - t) - ´ t(7 - t) = 8整理，得t2 或 t6（222（舍去）如图 3，当 P 在 CA 上运动时，APR 的最大面积为 6因此，当 t2 时，以 A、P、R 为顶点的三角形的面积为 8图 2图 3图 4我们先讨论 P 在 OC 上运动时的情形，0t4如图 1，在AOB 中，B45°，AOB45°，OB7，AB = 4 2 ，所以 OBAB因此OABAOBB如图 4，点 P 由 O 向 C 运动的过，OPBRRQ，所以 PQ/x 轴