运算定律的实质与教学价值-最新教育文档

1、运算定律的实质与教学价值说起运算定律,我们都很熟悉.根本运算定律有：加法交换律：a+b=b+a；加法结合律：a+b+c=a+b+c；乘法交换律：axb=bxa；乘法结合律：axbxc=axbxc；乘法对加法分配律：a+bXc=aXc+bXc.25+75+1ig运用了什么运算定律的问题.看一看大家在网上的讨论,我们不难发现,有相当一局部老师认为“25+119+75=25+75+119只运用了交换律,另一局部老师认为既运用了交换律也运用了结合律.笔者在现实中对执第二种观点的老师进行过访谈,很多老师并不能很好地说清楚为什么运用了两种运算定律,说不清执第一种观点的老师到底错在哪里.不止网友们如此熟悉,

2、人教版课标教材及教学参考书中也有类似的问题.以下是选自人教版课标教材四年级下册中的一个例题例3.以下一段是人教版课标教材四年级下册教学参考书中对上述例题的分析.应当指出的是,在例3的计算过程中：115+132+118+85=115+85+132+118把85移至U132的前面,严格说来,不仅用到了加法的交换律,还用到了加法的结合律.由于这里之所以能把132+118看做一个整体,之所以能在计算前就先把85与(132+118)交换,都是由于有加法结合律作保证.即:但考虑到小学生的认知特点和数学科学与数学学科的区别,只要学生说出第一步运用了加法的交换律,把85交换到132的前面,第二步运用了加法的结

3、合律,把115与85、132与118结合起来先相加,就行了.有些学生常常会省略一些过程,如115+132+118+85=(115+85)+(132+118)或者115+132+118+85=200+250,教师都应该给予肯定.教学参考书上这些话有合理的地方：对每一步运算使用了什么运算定律的解释是正确的.但我们认为,既然由于认知特点的原因,学生尚不能对所用运算定律进行准确的描述,也无法理解这种形式运算,我们要求学生判断115+132+118+85=115+85+132+118这个运算过程中使用了何种运算定律就很不恰当.事实上,教学参考书上说“只要学生说出第一步运用了加法的交换律,把85交换到13

4、2的前面,而教学参考书所描述的说法恰好是学生容易对交换律产生的误解.满足于这样的错误说法(不是不严格的说法,而是完全错误的说法)是不恰当的.这种处理更像对教材上一个糟糕的例题所作的一种并不高明的补救举措,或者是对教材一个失误的辩白.事实上,这类例题除了让学生理解运算定律外,鲜有其他教育价值.因此,当学生尚不能理解对所用运算定律进行准确的描述时,按教学参考书上的处理,只能强化学生的常见错误.与其这样,不如去掉这个例题.“运算与“运算律的实质是什么运算律的价值是什么这是本文拟讨论的问题.我们经常研究的运算在本文中,“运算均指某一个集合内的代数运算,往往涉及一个集合和一种对应关系.形象地说,所谓运算

5、,就是规定一种对应关系,使得这一集合内的任意两个有序的元素,都有这个集合内的一个元素与之对应.这里的“任意两个有序的元素是运算对象,与之对应的那个元素就是运算结果.以自然数集内的加法为例,所谓自然数集内的加法,就是对自然数内的任意两个数,指定自然数集内的一个元素与之对应,比方两个自然数1,5就对应自然数6.自然数集内的乘法也是类似的意义.从这个意义上看,减法事实上不能构成自然数集内的一种运算.由于并非任意一对自然数,都可以按照减法的法那么找到一个数与之对应.通俗地说,就是在自然数里,并非任意两个数都可以相减的.除法也是如此.事实上,正是这种“不构成运算使得我们有必要让数系从自然数扩充到整数从而

6、使减法构成一种运算,并继续扩充到有理数从而使“除法在除数不为0的约定下构成一种运算.力口、减、乘、除就是我们非常熟悉的数的集合内的运算.不管何种代数运算,其运算对象都是两个元素,运算结果是一个元素.比方加法,运算对象是两个数我们均称之为“加数,运算结果是一个数我们称之为“和.数a与数b相加的和为c,记为a+b=co需要明白的是,a+b+c这样的式子,在作出明确规定之前,是没有任何意义的.我们需要规定a+b+c的意义.比方我们规定a+b+c是表示先把a和b加起来,再用所得的和与c相力口,也就是规定a+b+c的意义就是(a+b)+c.当然,也可以规定a+b+c是表示先把b和c加起来,再用a去加所得

7、的和,也就是规定a+b+c的意义就是a+(b+c).恰恰由于加法具有结合律这样一个根本性质,保证了上述两种规定所得的和是一样的,即(a+b)+c=a+(b+c).于是,我们就规定a+b+c的意义是(a+b)+c,再由加法满足结合律得到(a+b)+c=a+(b+c).所谓运算定律,就是运算遵守的一般规律,一个运算是否满足某种定律,是由运算本身决定的.我们在文章开头所列出的那些运算定律,是构成代数学的根底.比方,关于加法的所有规律,都可以由加法的意义及加法的交换律与结合律开始,通过逻辑推理而获得,下面举一例.证实：a+b+c=a+c+bo证：a+b+c=(a+b)+c(三个数相加的定义)=a+(b

8、+c)(加法结合律)=a+(c+b)(加法交换律)=(a+c)+b(加法结合律)=a+c+b(三个数相加的定义)这个证实说明,a+b+c=a+c+b成立的原因不仅有交换律,还有结合律.假设加法不满足结合律,只满足交换律,我们是无法得到a+b+c=a+c+b的.为了说明这一点,我们再作一些讨论.从上述关于运算的讨论中可以看出,运算的对象并不限于数.事实上,随着数学的开展,运算的对象几乎是任意的.比方,我们来考虑熟悉的“石头、剪刀、布游戏,分别用a,b,c表示“石头、“剪刀和“布,于是有a胜b,b胜c,c胜a.我们规定一个对象和另一个对象运算的结果就是它们之间的胜者.比方a和b运算的结果是a当然b

9、和a运算的结果也是a,同时规定一个对象和它自己运算还得自己.根据这样的规那么,我们就规定了集合A=a,b,c内的一个运算,假设约定把这个运算记为,这个运算就可以用右表表示.显然这个运算满足交换律.同时,我们不难发现,运算并不满足结合律.比方abc=ac=c,而abc=ab=a,即有abc*a-bc,从而不满足结合律.我们第一次看到了一个只满足交换律却不满足结合律的例子.此时,abc=ac=c,而acb=cb=b,从而abcacb.于是,我们知道,abc=acb的获得,不仅要求运算“满足交换律,还要求运算“满足结合律.也许我们对一个关于不是数的东西的运算还不习惯.其实我们还可以举一个关于数的运算

10、的例子.比方我们规定一种运算“攘,它的意义是求算术平均数.即x?攘y=,于是1?攘2=a=1.5显然,运算“攘是满足交换律的,但不难检验,这个运算并不满足结合律.比方1?攘5?攘7=7=7=B=5,而1?攘5?攘7=1?攘=1?6=6=1=3.5,1?攘5?攘71?攘5?攘7o从而,运算“攘不满足结合律.对于这种只满足交换律而不满足结合律的运算,我们不难检验,1?攘5?攘71?攘7?攘5.这两个例子就充分说明,“25+119+75=25+75+119是需要加法的交换律保证的.英国数学家、哲学家罗素说,“数学这门学问当我们从它最熟悉的局部开始时,可以沿着两个相反的方向进行,一个是从自然数开始,渐

11、趋复杂的方向,这个方向符合我们的数学教学经验.至于另一个方向,指的是我们不问从我们开始肯定的东西能定义或推演出什么,却追问我们的出发点能从什么更普遍的概念与原理定义或推演出来.B.罗素,?数理哲学导论?第7页,商务印书馆,1999运算定律就是这样的“更普遍的概念与原理.运算定律有着非常重要的价值,远远不限于进行简单运算.从数学上看,一方面,运算定律是运算法那么的根底.以我们熟悉的加法法那么为例一一相同数位对齐,从个位加起一一其依据就是加法的交换律与结合律.比方25+34,我们用竖式计算如右所示,其实质是25+34=20+5+(30+4)=(20+30)+(5+4)=50+9=59.显然,这里的

12、依据是加法的交换律与结合律.同样,乘法计算法那么也是如此.比方,24X3用竖式计算的实质是另一方面,这些运算定律还是代数的根底,我们解方程的过程,就是反复运用运算法那么并运用等式性质的过程.比方解方程3(x+5)+4x=29,先利用乘法分配律变形为3x+15+4x=29,再利用加法交换律与结合律变形为3x+4x+15=29,再利用乘法分配律变形为7x+15=29,最后利用等式的性质获得方程的解.当然,没有一个人在进行四那么运算或解方程的时候会这样一步步思考,这是由于我们已经把这些运算定律的运用概括成了一套操作法那么.比方四那么运算的竖式计算法那么和解方程的移项、合并同类项法那么.我们在实际操作时,只需按这套法那么进行操作就是.但我们(尤其是作为数学老师)显然应该清楚,这套法那么之所以有效的原因,或者赖以成立的条件就是这些运算定律.从数学教育的角度看,运算定律的获得是一个从具体实例到一般原那么的概括过程.在这个过程中,学生要学会观察、归纳、概括.运算定律可以基于经验,但又是超越经验的,用项武义先生的话说,“就