第-2讲---初一相交线与平行线动点提高题压轴题

1、第-2讲-初一相交线与平行线动点提高题压轴题第2讲相交线与平行线动点提高题知识点：1、平行线的判定：同位角相等，两直线平行。内错角相等，两直线平行。同旁内角互补，两直线平行。2、推论：在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行。3、平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补。4、平移：平移前后的两个图形形状大小不变，位置改变。对应点的线段平行且相等。平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移平移变换，简称平移。对应点：平移后得到的新图形中每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这样的两个点叫做

2、对应点。动点型问题是最近几年中考的一个热点题型，所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静 ，灵活运用有关数学知识解决问题 .关键：动中求静.在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路，这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。典型例题例 1. （1）如图（1）, EF GF,垂足为 F, / AEF=150 , / DGF=60 .试判断 AB 和 CD的位置关系，并说明理由.（2）如图（2）, AB/ DE, / ABC=70 , / CDE=147 , / C=.（直接给出答案）（3）如图（

3、3）, CD/ BE,则/ 2+/3-/1=.（直接给出答案）（4）如图（4） , AB/ CD / ABE=Z DCF 求证：BE/ CF.解（1） : AB/ CD理由：如答图，过点 F作FH/ AB,贝U/ AEF+Z EFH=180. /AEF=150 ,/ EFH=30 , 又 ; EF GF/ HFG=90 -30 =60 .又. / DGF=60 , ./ HFG=/ DGF贝U AB/ CQ(2)延长ED交BC于点F.1. AB/ DE,，/BFE=/ABC=70 ,贝U/ CFE=180 -/BFD=11O , .C=/CDE-/CFE=147 -110 =37 ,故答案是：

4、37 ;(3)延长DC交AB于点F,作4ACF的外角/ 4.1. CD/ BE, ./ DFB=Z 3,又 / DFB吆 2+7 4=360 ,.Z2+Z 3+7 4=360 ,即/ 2+/ 3=360 - Z4.Z 2+Z3-Z 1=360 -Z4- Z 1=360 -180 =180 , 故答案是：180;(4)延长BE交直线CD于点G.1. AB/ CD / ABE玄 BGD又. / ABE=/ DCF / BGFN DCFBE/ CF.例2.平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系.(2)将点P移到AB CD内部如图2 (1)中的结论是否成立 乌若成立说明理由：若 不成立,则/ BPD

5、 /日/ D之间有何数量关系？不必说明理由；(3)在图2中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q如图3则/BPD / B、/ D / BQD间有何数量关系”并证明你的结论；(4)在图 4 中，若/ A+/ B+Z C+Z D+Z E+/F+/G=nX 90 / 贝U n=./ B=Z BOD而 / BODh BPD+Z D,/ B=Z BPD+Z D,即 / BPD4 B- / D;(2) (1)中的结论不成立，/ BPD4B+/D.作PQ/ AB,如图2,1. AB/ CD.AB/ PQ/ CD,1 = Z B, / 2=Z D, / BPD4 B+Z D;(3) / BP

6、Dh B+Z D+Z BQD 理由如下：连ZQP并延长到E,如图3,/ 1 = Z B+/ BQP / 2=/ D+/ DQP . / 1 + / 2=Z B+Z BQP+ D+Z DQP / BPD4 B+Z D+Z BQD(4)连结AG如图4,/ B+Z F=Z BGA吆 FAG/ A+Z B+Z C+Z D+Z E+Z F+ Z G=Z A+Z FAG+Z C+Z D+Z E+Z BAG吆 G= (5-2 ) X 180 = 6X90 ,n=6.故答案为6.例3.如图，直线 AC/ BD连结AB直线AC BD及线段AB把平面分成、四个 部分，规定：线上各点不属于任何部分。当动点P落在某个

7、部分时，连结 PA PB,构成/PAC ZAPB /PBDE个角。(提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0。)(1)当动点P落在第部分时，求证：/ APB= / PAO / PBD(2)当动点P落在第部分时，/ APB= Z PAO / PB皿否成立(直接回答成立或不成立)?(3)当动点P落在第部分时，全面探究/PAC / APB / PBD之间的关系，并写出动点 P的具体位置和相应的结论。选择其中一种结论加以证明。AD(第5题图)(1)解法一：如图 9-1延长BP交直线AC于点E. AC/ BD ,/ PEA= / PBD . ZAPB = / PAE + / PEA ZAPB =

8、/ PAC + / PBD.解法二：如图9-2过点P作FP/ AC , ZPAC= ZAPF . AC/ BD,FP/ BD ./FPB =/PBD./ APB=Z APF+Z FPB=Z PAC + / PBD.解法三：如图9-3, AC/ BD,ZCAB+ZABD= 180即 /PAC+/PAB +/PBA + /PBD = 180 .又 / APB + /PBA+/PAB= 180 , /APB=/PAC 七 PBD.(2)不成立.(3) (a)当动点P在射线BA的右侧时，结论是 / PBD= PAC+ APB .Eo 1E(b)当动点P在射线BA上，结论是 / PBD=Z PAC+ZA

9、PB .或/PAC=/PBD+/APB 或 ZAPB= 0/ PAC= / PBD(任写一个即可).(c)当动点P在射线BA的左侧时，结论是 / PAC= / APB+ / PBD选择（a）证明：如图9-4,连接PA,连接PB交AC于M. AC/ BD , /PMC=/PBD.又. ZPMC=ZPAM+ZAPM , /PBD=/PAC +/APB .选择（b）证明：如图9-5点 P在射线 BA上，ZAPB= 0 . AC/ BD,/ PBD= / PAC.Z PBD= Z PAC+ Z APB或/ PAC=Z PBI+Z APB或/APB = 0 , /PAO/PBD选择（c）证明：如图9-6

10、,连接PA,连接PB交AC于F. AC/ BD,ZPFA=/PBD . ZPAC=ZAPF +/PFA,考点训练一.选择题【分析】根据两直线平行同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，及直角三角板的特殊性 解答.解：.纸条的两边平行，. ( 1) / 1 = 7 2 (同位角)；(2) / 3=7 4 (内错角)；(4) / 4+/5=180 (同旁内角)均正确；又直角三角板与纸条下线相交的角为90。，( 3) / 2+7 4=90 ,正确.故选：D.2.如图，/ A0B的两边OA OB均为平面反光镜，/ A0B=4O .在射线 OB上有一点P,从P 点射出一束光线经 OAh的Q点反射后，反射光

11、线QR恰好与OB平行，则/ QPB勺度数是( )1 .将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，下列结论：（1） / 1 = /2; （2） / 3=A. 60 B, 80 C. 100 D. 120【分析】根据两直线平行，同位角相等、同旁内角互补以及平角的定义可计算即可.解： QR/ OB .1 / AQRh AOB=40 , / PQR廿 QPB=180 ; / AQRh PQO / AQR廿 PQO+ RQP=180 (平角定义), ./ PQR=180 - 2/AQR=100 , ./ QPB=180 - 100 =80 .故选：B.3.如图，直线 l 1 / l 2, /A=125

12、 , / B=85 ,则/ 1 + /2=()第-2讲-初一相交线与平行线动点提高题压轴题A. 30 B, 35 C. 36【分析】过点 A作li的平行线，过点 B作12的平行线，根据两直线平行，内错角相等可得 /3=/1, /4=/2,再根据两直线平行，同旁内角互补求出/CAB吆ABD=180 ,然后计算即可得解.解：如图，过点 A作li的平行线，过点 B作12的平行线， 3=7 1, / 4=7 2, - 1 1 / 1 2, .AC/ BD, /CAB+Z ABD=180 ,.Z 3+7 4=125 +85 - 180 =30 , .1 + Z 2=30 .故选：A.4 .如图，把矩形

13、ABCDg直线EF折叠，若/ 1=20 ,则/ 2=()5 / 13【分析】过G点作GH/ AD则/ 2=74,根据折叠的性质/ 3+Z4=ZB=90 ,又AD/ BC,则 HG/ BC,根据平行线性质得/ 1=7 3=20 ,所以/ 2/4=90 -20 =70 .解：过G点作GH/ AD如图，. / 2=7 4,.矩形ABCDg直线EF折叠,. / 3+Z4=Z B=90 ,AD/ BC,. HG/ BC,. / 1 = / 3=20 ,. Z 4=90 -20 =70 ,. / 2=70 .故选B.5 .如图，已知 DE由线段AB平移得到的，且 AB=DC=4cm , EC=3cm ,则

14、4DCE的周长是 ( )A . 9 cmC. 11cmD. 12cm6 .如图，将 AABC沿BC方向平移2cm得至iJDEF,若ABC的周长为16cm,则四边形ABFD的周长为()第-2讲-初一相交线与平行线动点提高题压轴题C. 20cmD. 22cm二.填空题1.如图，计划把河水引到水池 渠道最短，这样设计的依据是3O0君【分析】由平移的性质知，AO/ SM再由平行线的性质可得/ WMS =OWM即可得答案.A中，先作AB CD垂足为B,然后沿AB开渠，能使所开的 连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短A【分析】过直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段就是垂线段，且垂线段

15、最短.解：根据垂线段定理，连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短，沿AB开渠，能使所开的渠道最短.故答案为：连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短.2 .用等腰直角三角板画/ AOB=45 ,并将三角板沿 OB方向平移到如图所示的虚线处后绕点M逆时针方向旋转 22 ,则三角板的斜边与射线 OA的夹角a为 22度.7 / i3解：由平移的性质知， AO/ SM故/ WMS = OWM=22 ;故答案为：22.3 .如图，直线 AE/ BD,点C在BD上，若 AE=4, BD=8 ABD的面积为16,贝ACE的面ABD的面积可【分析】根据两平行线间的距离相等，可知两个三角形的高

16、相等，所以根据4 求出高，然后求 ACE勺面积即可.解：在 ABD中，当BD为底时，设高为h,在4AEC中，当AE为底时，设高为 h,. AE/ BD,，h=h,.ABD的面积为 16, BD=8,h=4.则 ACE的面积=lx 4X 4=8.2三.解答题1.如图，已知，I1/I2, G在li上，并且 CiA 12, A为垂足，Q,。是li上任意两点，点 B在12上.设4ABG的面积为Si, 4ABG的面积为 5, 4ABG的面积为小颖认为Si=S=&,请帮小颖说明理由.【分析】根据两平行线间的距离相等，即可解答.解：:直线1 i / 1 2, .ABG, AABCC, ABG的底边 AB上的

17、高相等， .ABG, AABCC, ABC这3个三角形同底，等高， .ABG, AABCC, ABG这些三角形的面积相等.即 Sl=S2=S3.2.如图，已知 AB/ GD BE平分/ ABG DE平分/ ADG / BAD=80 ,试求:(i) / EDG勺度数；(2)若/ BGD=n ,试求/ BED的度数.【分析】(i)由AB与GDH亍，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，再由DE为角平分线，即可确定出/ EDG的度数；(2)过E作EF/ AB,则EF/ AB/ GD利用两直线平行，内错角相等以及角平分线的定义求 得/ BEF的度数，根据平行线的性质求得/FED的度数，则/ BED即

18、可求解.解：(i) .AB/ GD, / ADGh BAD=80 ,又 DE平分/ ADG/ EDG=L/ ADG=40 ;2(2)过 E作 EF/ AB,贝U EF/ AB/ GD1. AB/ GD/ ABG=/ BGD=n ,又 BE平分/ ABG，/ABE=Ln。,2 EF/ AB, ./ BEF=Z ABE上n。, 2 EF/ GD/ FED=/ EDG=40 , ./ BED=n +40。.23. ABG在如图所示的平面直角中，将其平移后得A B G,若B的对应点B的坐标是(4, i).(1)在图中画出 A B C;(2)此次平移可看作将 ABC向 左 平移了 2 个单位长度,再向

19、下 平移了 个 单位长度得 A B C，;(3) A B C的面积为 10 .内研【分析】(1)根据“B的对应点B的坐标是(4, 1)”的规律求出对应点的坐标，顺次连接 即可.(2)通过作图可直接得到答案是：向左平移2个单位长度，向下平移 1个单位长度.(3)平移后的面积与原面积相同，可用补全法求面积.解：(1)如图.(2)向左平移2个单位长度，向下平移 1个单位长度.(平移的顺序可颠倒)(3)把 ABC补成矩形再把周边的三角形面积减去，即可求得A B C的面积=AABC的面积为=24-4- 4- 6=10.作平移图形时，找关键点的对应点也是关键的一步.平移作图的一般步骤为：确定平移的方向和距

20、离，先确定一组对应点； 确定图形中的关键点； 利用第一组对应点和平移的性 质确定图中所有关键点的对应点；按原图形顺序依次连接对应点，所得到的图形即为平移后的图形.4.实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜 所夹的锐角相等.(1)如图，一束光线 m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射.若被b反 射出的光线 n与光线 m平行，且/ 1=38 ,则/ 2= 76 , / 3= 90 .(2)在(1)中，若/ 1=55 ,则/ 3= 90 ;若/ 1=40 ,则/ 3= 90 .(3)由(1)、(2),请你猜想：当两平面镜 a、b的夹角/ 3= 90

21、。时，可以使任何射到 平面镜a上的光线 m经过平面镜 a、b的两次反射后，入射光线 m与反射光线n平行.你【分析】(1)根据入射角与反射角相等，可得/1 = 75, /7=/6,根据邻补角的定义可得/4=104 ,根据m/ n,所以/ 2=76 , / 5=38 ,根据三角形内角和为180 ,即可求出答案；(2)结合题(1)可得/ 3的度数都是90。；(3)证明m/ n,由/ 3=90 ,证得/ 2与/ 4互补即可.第-2讲-初一相交线与平行线动点提高题压轴题解：(1)二.入射角与反射角相等，即/1=75, /7=/6,又/ 1=38。， .,-7 5=38 , / 4=180 - Z 1 -

22、 Z 5=104 , m/ n, / 2=180 - / 4=76 , .6= (180 76 ) + 2=52 , / 3=180 -Z 6-Z 5=90 ;(2)由(1)可得当/ 1=55 和/ 1=40 时，/ 3的度数都是90 ;(3)/ 3=90 ,6+/ 5=90 ,又由题意知/ 1 = /5, /7=/6,.Z 2+7 4=180 - (/ 7+/6) +180 - (/ 1+/5),=360 - 2/ 5-2/6,=360 -2(/ 5+Z6), =180 .由同旁内角互补，两直线平行, 可知：mil n.故答案为：76 , 90 90 , 90 90 .1 2分别交于点 A

23、B C、D,点P在直线l 3或l 4上5.如图，已知直线l 1 / l 2, 13、l 4和l 1、且不与点ABC D重合.记/AEP=/ 1 , / PFB=/ 2, / EPF=/ 3.13 / 13(2)若点P在图(2)位置时，请直接写出/ 1、/2、Z 3之间的关系;(3)若点P在图(3)位置时，写出/ 1、/ 2、/ 3之间的关系并给予证明.【分析】此题三个小题的解题思路是一致的，过(1)若点P在图(1)位置时，求证：/ 3=/1 + /2;P作直线1i、l 2的平行线，利用平行线的性质得到和/ 1、/ 2相等的角，然后结合这些等角和/3的位置关系，来得出/ 1、/2、Z 3的数量关

24、系.证明：(1)过 P 作 PQ/ l 1 / l 2, 由两直线平行，内错角相等，可得:/ 1 = / QPE / 2=Z QPF . / 3=Z QPEy QPF / 3=Z 1+/2.(2)关系：/ 3=Z2-Z 1;过P作直线PQ/ l 1 / l 2, 贝U: / 1 = /QPE / 2=/ QPF . / 3=/ QPF- / QPE ./ 3=/2/ 1.(3)关系：/ 3=360 - Z 1 - Z 2.过 P 作 PQ/ l 1 / l 2；同(1)可证得：/ 3=/CEP+Z DFP; /CEPd=180 , /DFP2=180 , / CEP+Z DFP+Z 1+Z 2

25、=360 ,即/ 3=360 - Z 1 - Z 2.C-E-QB/ C=Z OAB=100 , E、6.如图，直线CB/ OACOF(1)求/ EOB勺度数；(3F在CB上，且满足/ FOBhAOB OE平分/(2)若平行移动AB,那么/ OBC /OFC的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律或求出变化范围；若不变，求出这个比值.AOC然后求出/ EOB=-/AOC计算即2(3)在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使/ OECh OBA若存在，求出其度数; 若不存在，说明理由.可得解；(2)根据两直线平行，内错角相等可得/ AOB=/ OBC再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两

26、个内角的和可得/ OFC=2/ OBC从而得解；(3)根据三角形的内角和定理求出/COEWAOB从而得到 OB OE OF是/ AOC的四等分线，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解.解：(1) CB/ OA, ./AOC=180 - / C=180 - 100 =80 ,. OE平分/ COF/ COE= EOF / FOB4AOB. / EOBh EOF吆AOC=X 80 =40 ;2(2) CB/ OA / AOBh OBC . / FOB=/ AOB ./ FOB=/ OBC / OFCh FOB吆 OBC=2 OBC / OBC / OFC=1 2,是定值；(3)在 CO田口 A

27、O珅， / OECh OBA / C=Z OAB ./ COEh AOB.OR OE OF是/ AOC勺四等分线,/ COE=/4X 80 =20 ,，/OEC=180 - / C- / COE=180 - 100 -20 =60 , 故存在某种情况，使/ OECh OBA此日OECW OBA=60 .7.平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系.(1)如图 1,若 AB/ CD 点 P在 AR CD内部，/ B=50 , / D=30 ,求/ BPD(2)如图2,将点P移到AR CD外部，则/ BPD B B. D D之间有何数量关系？请证明你 的结论.(2)如图3,写出/ BPD、/ B、

28、/ D、/ BQD之间的数量关系？(不需证明).(3)如图 4,求出/ A+/ B+/ C+/ D+/ E+/ F 的度数.解：(1)过点P作PE/ AB,AB/ EP/ CD ./ B=Z 1=50 , / D=Z 2=30 / BPD=80 ;J (3)题图(2) / B=Z BPD+Z D.理由如下：设BP与CD相交于点O, AB/ CD / BODh B,在PODf, / BODh BPD+Z D,/ B=Z BPD+Z D.(3)如图，连接QP并延长，结论：/ BPD=/ BQD它 B+Z D.(4)如图，由三角形的外角性质，/A+Z E=Z 1, / B+/ F=Z 2, /1 + /2+/C+/D=360 ,/ A+Z B+Z C+Z D+Z E+Z F=360 .8.如图1,直线 MN与直线 AR CD分别交于点 E、F, / 1与/ 2互补.(1)试判断直线 AB与直线CD的位置关系，并说明理由;(2)如图2, / BEF与/ EFD的角平分线