电大形成性考核：微积分初步形成性考核册答案1-4.doc

1、微积分初步形成性考核作业（一）解答函数，极限和连续、填空题（每小题 2分，共20分）函数，1，、，f (x)=的定义域是(2,3)U(3,+a)ln(x-2)2.函数一、 1、f(X)=的7E乂域-,5) _5 - x3.函数1f (x) =+ v4-x2 的定义域是(-2, -1)U ( -1,2ln( x +2)4.函数2f (x -1) = x - 2x + 7 ,则 f (x) = x +6_5.函数f(x) = x +2ex 00 ,则 f (0) =2x >06.函数f (x-1) =x2 -2.2x ,则 f (x) = x -17.函数x -2x - 3y=的间断点是x

2、= -1x +11.8. lim xsin =_1xx9.若 lim sin 4x = 2 ,则 k = 2 x-0 sin kxsin 3x310.右 lim = 2,则 k =kx2_二、单项选择题（每小题2分，共24分） ex +ex1,设函数y =,则该函数是（B）.2A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数2.设函数y = x2sin x ,则该函数是（A）.A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既奇又偶函数D.既奇又偶函数7一2x +2 x3 .函数f（x）=x 的图形是关于（D）对称.2A. y=x B. x轴 C. y轴 D.坐标原点4 .下列函数中为奇函数是( C ).A .

3、xsinxB . In x C. ln(x+1+x2)D . x + x2-15 .函数 y =+ ln( x+ 5)的te义域为( D ).x + 4A . x >-5 B. xw -4C. x>-5 且 xW0D . x>-5 且 xW-4 1-、，一6 .函数f (x)=的定义域是(D).ln(x-1)A.(1,+s)B. (0,1)U (1,+oo)C. (0,2)U(2,+8)D. (1,2)U(2,+8)-2- -7 .设 f (x+1) =x -1 ,则 f (x) = ( C )2A . x(x +1)B . xC. x(x -2)D . (x + 2)(x

4、-1)8 .下列各函数对中，( D )中的两个函数相等.A . f (x) =( Vx)2 , g (x) = xB. f (x) = Vx2 , g (x) = x C. f(x)=lnx2,9 .当x0时，下列变量中为无穷小量的是（ C ）-sin xxB . C. ln( 1 + x)D. -2xx2,i, 一、 x +1, x W0- c B )时，函数f (x)=，在x = 0处连续.k, x = 0C. 2D,1时,函数f (x)=xe +2,k,x w0 ,一x0在x = 0处连续.x = 0A. 0 B. 1C. 2 D. 3x-312.函数f(x)=-的间断点是(A )x -

5、3x+2A . x =1, x =2C. x =1, x = 2, x = 3D.无间断点三、解答题（每小题 7分，共56分）l计算极限limx 2x2 -3x+2x2 -3x+2= lim (x-1)(x-2)=lim 上2 .计算极限limxf1解:limxf13.解:X-2 (x + 2)(x-2)2 x+2+5x - 6x2 -1+5x-6x2 - 1x2 -9x2 - 2x - 3lim 4x3x -2x-3= lim (x-1)(x+6) x- (x+1)(x-1)= lim (x + 3)(x-3) xf (x+1)(x-3)2x -6x + 84 .计算极限lim -2x4x

6、-5x + 4解：limxf42x - 6x +8-5x +4= lim (x-2)(x-4)X、4 (x-1)(x-4)5 .计算极限xim2-6x+8x2-5x +6=limxf 1=妈解：xim223=lim (x-2)(x-4) x2 -5x+6 A2 (x-2)(x-3)- 1 - x - 16.计算极限lim xf0x +6x +1x +1x - 2=lim解：lim 1 - x-1xOx= limx0x4 x-13=!叫1=2 x-3(1- x-1)( 1-x +1)x(. 1- x +1)= limx0x(. 1- x+1)limxf011=-1 - x +12、1 - x -

7、17 .计算极限limx 0sin 4x解：lim >1-x-1=iim(-1-x-1)( 1-x+1)x"0 sin4xx0 sin4x(.1-x+1)x111=lim=- lim=x-0sin4x(j1-x+1)4x-0sin4x(不仅+1)84x8 .计算极限limx f0sin 4xsin 4x . sin4x(. x +4 +2)解：lim = lim 一x -0 x + 4-2 x-0(、x + 4-2)(, x+4+2)=limxf0sin 4x( .x + 4 +2)=4lxm0誓(x+4+2)=16微积分初步形成性考核作业（二）解答（除选择题）导数、微分及应用

8、、填空题（每小题 2分，共20分）1曲线f (x) = x+ +1在(1,2)点的斜率是-2 .曲线f（x）=ex在（0,1）点的切线方程是 y=x+113 .曲线y = x10.函数f （x） = ax +1在区间（0,+8）内单倜增加，则 a应满足a 10二、单项选择题（每小题2分，共24分）在点（1,1）处的切线方程是 x+2y-3 = 04.(2、)= 2、ln22 x1.设 y = x2ex ,求 y105.若 y = x (x - 1)(x 2)(x 3),贝U y'(0) = :66,已知 f(x)=x21.函数y = （x +1）在区间（-2,2）是（D ）A.单调增加

9、B.单调减少C.先增后减D.先减后增2 .满足方程f '（x）=0的点一定是函数丫="*）的（C）A.极值点 B.最值点 C.驻点 D.间断点3,若 f (x) = e xcosx ,贝U f (0)=( C ).A. 2B. 1C. -1 +3x,则 f (3) =27+27ln3.”17 .已知 f(x) = lnx,则 f (x) = 2x8 .若 f (x) =xe x,贝U f "(0) = 22 .D. -29 .函数y = 3（x-1）的单倜增加区间是1,+°0）A.工 dx B. -A_2xxln10dx c.独 dxxD. 1dxx5.设

10、y = f(x)是可微函数，则df (cos 2x) = ( D ).A. 2f (cos2x)dxB. f (cos2x)sin 2xd2xC. 2 f (cos2x)sin 2xdxD. f (cos2x)sin 2xd2x6 .曲线y =e2x +1在x =2处切线的斜率是(C ).424A. e B.e C. 2e D. 27 .若 f (x) = xcosx ,则 f "(x) = ( C ).A . cosx + xsin xB. cosx-xsin xC. -2sin x-xcosxD. 2sin x + xcosx3,8.若 f(x)=sinx+a ,其中 a是常数，

11、则 f (x) =( C).2a. cosx+3a b. sinx +6a c. -sinxd. cosx9 .下列结论中( A )不正确.A . f (x)在x = Xo处连续，则一定在 x0处可微.B . f (x)在X = Xo处不连续，则一定在 x0处不可导.C.可导函数的极值点一定发生在其驻点上.D.若f(x)在a, b内恒有f'(x)<0,则在a, b内函数是单调下降的.10 .若函数f (x)在点xo处可导，则(B )是错误的.A ,函数f (x)在点xo处有定义B. lim f (x) = A，但A w f (x0)x xoC,函数f (x)在点X0处连续D .函

12、数f (x)在点Xo处可微11 .下列函数在指定区间，+均上单调增加的是( B ).A . sinxB.e xC. x 2D . 3 - x12 .下列结论正确的有( A ).A . Xo是f (x)的极值点，且f '(xo)存在，则必有f '(xo) = 0B . Xo是f (x)的极值点，则Xo必是f (x)的驻点C .若f (x0) = 0 ,则x0必是f (x)的极值点D.使f (x)不存在的点x0, 一定是f (x)的极值点三、解答题(每小题 7分，共56分) 111111解：y = 2xex +x2ex(-) = 2xex - ex =(2x -1)ex x32 .

13、设 y = sin 4x + cos x ,求 y .解： y z = 4 cos4x - 3 cos2 xsin x3 .设 y =e、历+1 +1,求 y'. x解：yJe-42、x +1x4 .设 y = x/x +ln cos x,求 y'.3sin x 3斛：y = Jx +=Jx-tanx2cos x25 .设y = y(x)是由方程x2 + y2 - xy = 4确定的隐函数，求 dy.解：两边微分：2xdx+2ydy - ( ydx+xdy) = 02ydyxdy=ydx2xdx, y-2xdy = dx2y- x6 .设y = y(x)是由方程x2 + y2+

14、2xy =1确定的隐函数，求 dy . 22斛：两边对 x + y +2xy=1 求导，得：2x+ 2yy +2( y+ xy ) = 0x + yy + y + xy，= 0 , (x + y)y = -(x + y), y = -1d y= y d x= -d x7 .设y = y(x)是由方程ex + xey + x2 = 4确定的隐函数，求 dy .解：两边微分，得：exdx +eydx +xeydy +2xdx = 0yx ye +ey +2xxe dy=-(e +e +2x)dx , dy = ydxxe8 .设 cos( x + y) + ey=1,求 dy.解：两边对cos(x

15、+y)+ey =1求导，得：(1 + y )s i n/+ y) + y ey = 0-sinX + y)-y'sinx(+y)+yey = 0ye -sin(x + y)y =sin4+y)y，= sinx+y) ey - s i n/+ y)sin(x+y) dy = y dx = -dxey sin(x + y)微积分初步形成性考核作业(三)解答(填空题除外)不定积分，极值应用问题一、填空题(每小题 2分，共20分)2 一 .1 .右f(x)的一个原函数为ln x，则f (x) =。2 .若f (x)的一个原函数为x - e 2x,则f '(x)=。3 .若 / (x)d

16、x = xex+c ,贝U f (x) =.4 .若 / (x)dx 二 sin 2x + c ,则 f (x).5 .若/ (x)dx = xln x + c ,则 f '(x) =.6 .若/ (x)dx =cos2x +c ,则 f '(x) =.7 . d Je x dx =.8 . Jsin x)dx =.9 .若 / (x)dx = F (x) +c ,贝U / (2x - 3)dx =.10 .若 Jf (x)dx = F (x) + c ,则 Jxf (1 - x2)dx =.二、单项选择题(每小题2分，共16分)1 .下列等式成立的是(A).dA. f (x)

17、dx = f (x)B. Jf (x)dx = f (x)dxC. d Jf (x)dx= f (x)d. jdf (x) = f (x)212 2x3 若 /(x)dx = x e +c,贝 U f (x) = (A)A. 2xe2x (1 + x)2 2xB. 2x e2xD. xe/ (x)dx =(A).C. 2xe2x4 若 f (x) = x + Jx(x > 0),A. x + . x + c3_23 2C. x + x +c25以下计算正确的是( A )a 子”d3xA . 3 dx =In 328. x + x +c31 22 ED. x + x + c2 3C.dxx

18、dx2B.r = d(1 + x )1 + x1、D. ln xdx = d(-) x6 jx ”(x)dx =( a)A. xf (x) - f (x)+cB. xf (x)+c1 2一，C. x f (x) +c D. (x +1) f (x) + c2解：jxf ”(x)dx 二 /df (x)= xf (x)/ (x)dx 二 xf (x) f (x) +c7d Ja 1 1斛：两边求导，得： f (x)e x = e x 2xdx= (A)._ 2x , 一d. a dx+ca. a 2xb.-2a 2xlnadxc. a 2xdx118 果等式 /(x)e*dx=e *+C,贝Uf

19、(x)=( B)1 111A. -B. - C. - D.-xxxx解:dx = 3 dx - xdx sin xdx2 2=3ln x -x2 -co sc c32.10(2x -1)10dx解:(2x -1)10dx =； (2x -1)10d(2x -1)101(2x -1)+c3.221 sinx2x(2x-1)11 cdx解:.1 sin 一3 dx x111sin d()=cos cx xx4.xsin2xdx解:xsin2xdx11xd cos2x 二一一(xcos2x - cos2xdx)221八 1 .八一一xc o 2x -s i r2x c5.xe'dx解:xe*

20、dx = - xde* = -(xe”-e"dx):-xe -e c四、极值应用题（每小题 12分，共24分）解:设矩形的周长为120厘米，以矩形的一边为轴旋转一周得一圆柱体。试求矩形的边 长为多少时，才能使圆柱体的体积最大。设矩形的一边长为 x厘米，则另一边长为 60-x厘米，以60-x厘米的边为轴旋转一周 得一圆柱体，则体积 V为：V =W2(60x),即：V =60x2 以3dV2人dV /日一 =120取3兀x ,令 一 =0,得:dxdx2.解:x=0 （不合题意，舍去），x=40,这时60 x = 20由于根据实际问题，有最大体积，故当矩形的一边长为 40厘米、另一边长为

21、60厘米时, 才能使圆柱体的体积最大。欲用围墙围成面积为 216平方米的一成矩形的土地，并在正中用一堵墙将其隔成两块，问这块土地的长和宽选取多大尺寸，才能使所用建筑材料最省？216设矩形的长为x米，则矩形的宽为 26米，从而所用建筑材料为：x216 口h648L =2x +3，即：L =2x +dL - 648 人 dL216 =2 ,令 =0得：x =18 （取正值），这时=12dx x dxx由于根据实际问题，确实有最小值，故当矩形的长为18米，宽为12米时，才能使所用建筑材料最省五、证明题（本题 5分）函数f（x） =xex在（叼0）是单调增加的.证明：因为 f (x) = 1 ex,当

22、 xw( 一叱。)时，f '(x) = 1 ex a 0所以函数f（x）=x-ex在（-吗0）是单调增加的.5.微积分初步形成性考核作业(四)解答定积分及应用、微分方程一、填空题(每小题 2分，共20分)1221. .1(sin xcos2x -x )dx =-ji5 5 52. J2r(x -4x+cosx)dx=2.3. 已知曲线y = f(x)在任意点x处切线的斜率为 Jx,且曲线过(4,5),则该曲线的方程2 3 是 y =2x3 4.若 L(5x3 -3x+2)dx=4 由定积分的几何意义知， a2 -x2dx =1二a2 04 d e 2 ln(x 1)dx =0 dx 1

23、38 .微分方程y'= y, y(0) =1的特解为y=ex9 .微分方程y'+3y=0的通解为y=ce*x10 .微分方程(y)3+4xy(4) =y7sinx的阶数为 4二、单项选择题(每小题 2分，共20分)1.在切线斜率为2x的积分曲线族中，通过点(1,4)的曲线为(A ).A . y = x2 + 3B .y = x2 + 422C. y =x +2D. y =x +1A. 1B. -1C. 0D. 12B.d x-x1 e e dx23.下列定积分中积分值为0的是（Ad x_x1 e -e dx25.6.C.4.设/ 3(x cosx)dx-Kf （x）是连续的奇函

24、数,02faf(x)dx用 sinxdx= ( D _卜列无穷积分收敛的是（二 x0 e dx则定积分-aB.).-aC./1 dxxD.2(x sin x)dx-jrf(x)dx = ( D )f (x)dxC.JIaC. 0 f(x)dxD. 2B.D.D. 0二 *e dx二 1 .x dx7 .下列无穷积分收敛的是（A . sinxdx08 ).二二二-2xB. e dx-0一 二1.二1.C. f -dxD. f -=dx1 x1 . x8 .下列微分方程中，(D)是线性微分方程.22 xyC. y +xy =eA. yx +lny = yB.yy +xy=eD. y "s

25、in x - y ex = y ln x9 .微分方程y' = 0的通解为（C ）.A.y=CxB.y=x+CC.y=CD.y=010 .下列微分方程中为可分离变量方程的是( B)A. dy=x + y;B. dy = xy + y；dxdxdyC. =xy 十sin x；D. =x(y +x)dxdx、计算题（每小题 7分，共56分）ln2 xx 2° e (1 e ) dx解:ln 2cex(1ex) dxln 2 x 2x 1 x 3=0 (1 ex)2d(1 ex)=3(1 ex)3ln2=9-3192.e1 5ln x dx解:xe151nxldxeJ1 5lnx)dlne1 (1 - 5lnx)d(1 5lnx)11,、(1 5lnx)5 21 (6-1)103.1 oxexdx解:°xexdx = ° xdex = xe10exdxx=e -e4.二 x” x