海伦公式几种证明方法

1、已知三角形的三个边I a. b. c求它的面积.S，有公式S p(p a)(p b)(p c),其中P1 (a b c) e这就是大家所熟知的乍毎伦公式在中学几何课本上一般都有介紹。人们认为这 个公 式2 定是海伦所首先发现，其实并不然。在一些有关数学史著作中，对此早有不同提法。海伦是古希 腊的数学家，同时他还是一位优秀的测绘工程师及亚历山大学派的科学家，他对于物理学和机械学很有研°1 * *>*>-<*e Uk究发明了不少很有价值的机械和仪器。对于他的准确生活时代我们还不知道，大概在公元世纪期 间。为何会出现海伦公式？由于当时数学的应用性得到了很大的发展，其突出的

2、一点就是三角术的发 展:，三角术是由于人们想建立定量的天文学，以使用来预报天体的运行路线和位置以帮助报时，计算日历、航海和研究地理而产生的。而在解三角形的问题中,其中一个比较困难的问题是如何由三角形的三边a. b.c直接求出三角形的面积,据说这个问题最早是由古希腊的数学家阿基米德解 决的,1 22 2a2b(21 cos2 C).又由余弦定理2 2 2呼2a b c 2cos C (J 2ab从而有S2 1 a2b (2 1 a4(a2b2C2)2 4a2b2,161(4a2b? ( a? b2161 22 2(a b)2c2) (c216c2)勺(2ab a2162I (a b尸) (a b

3、 1：ob2 c2) ( 2ab a2 b2 c2) c)(a b c)(c a b)(c a b)于是他得到了海伦公式。而本文的重点归纳研究海伦公式几种证明方式，希望这些方法对其它有关解三角形问题有一定的启发作用。一种方法是用解三角形基本的知识解决。已知三角形的三边为a. 2 c ,设p 1 (a b g),2求证：三角形的面积S p(p a)(p b)(p c) i 2k2 , 2 ° 自6 sin.： C.4证明：由正弦定理S 1 absin C可得S2(a b cj?ja b c)?(c a b) ?(c a b)2*2'2?2(a b e) ? (a b c 2c)

4、 ?(c a b 2b) ?(c a b 2a) 2° 2；2 帑2p(pc)(pb)(p a)即三角形的面积S p(p a)(p b)(p c)证毕。另一种方法是用向量的知识解决。向量作为一种数学工具在高中数学中起着重要的作用，所以' % y * I a用向量的知识去解决三角知识，也是一种很不错的方法。在选修教材1亡的P37例2就是一种体现。 下面我们就借助教材来证明一下海伦公式。证明：在三角形ABC中,设 CB a, CAb,BA c, CB | a|a,CA |b | b,BAc b a,于是有、222c (ba)a b 2a ?b,i-|a|b|.又因为s| a |b| sin C , cosC|c| c, e为向量a, b,的夹角，所以VJa|?|b|? sin?C4SlaflbF (T cost) Waflbpn 缶巧詡2)1逸Ml a|2|b|2 (a?b)2于是就有 S1 |a|2|b|2 (a?b)2.将上述|a | a,|b | b，代入即上面的一种证明方法一样下面就不在重复证明了。1 22 2在这里还要强调上面得到的S|a |2|b|2 (a?b尸用向量表示，在向量深入学习后，就会发现高中教材无形中就体现大学里的向量知识一外积，即2 2 22 1 (a b)2 |a|2|b|? (a?b)2从而还