高中数学知识梳理@6数列

1、第六章 数列、极限与数学归纳法1知识结构：数列概念通项求和数学归纳法等差数列等比数列数列极限无穷等比数列各项和数列求和的几种形式2基本要求：（1）理解数列概念、数列递推公式及数列通项公式的含义（2）掌握等差数列与等比数列的概念、通项公式、前项和公式；掌握数列求和的其它几种常用形式；能熟练求解数列的通项公式与前项和（3）掌握三种常用的数列极限以及极限的运算性质；掌握无穷递缩等比数列各项和公式及其应用（4）掌握数学归纳法的步骤，会用数学归纳法证明与正整数有关的等式及整除问题；掌握“归纳猜想论证”的思想方法3重点问题：（1）求数列的通项公式与数列的前项和；（2）求数列极限；（3）利用数学归纳法证明命

2、题4思想方法与能力：（1）“基本量法”解题方法；（2）计算归纳、猜想证明与从特殊到一般的归纳、抽象的数学方法；（3）“类比”思想方法；（3）利用数列知识解决实际问题6.1数列的概念（二课时）知识梳理1数列概念及通项公式（1）按照一定次序排列的一列数叫做数列从函数的角度理解，数列是定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数（2）数列的第项与项数之间存在的对应关系式，叫做数列的通项公式它是定义在正整数集或其子集上的一个函数，从图像上看，数列的图像是一些孤立的点2根据所给数列的前几项归纳出一个数列的通项公式3结合数列的函数特征解决数列问题典型例题【例1】在数列中，已知，（1）写出及； （2）问50是不

3、是数列中的项？若是，则为第几项？ 解：（1） （2）令，得，故，即50是该数列的第4项说明 数列的通项可以理解为关于正整数的函数【例2】写出下列各数列的一个通项公式（1）（2）3，5，9，17，33，（3）解：（1） （2） （3） 说明 注意记忆几种常见数列的通项，如：奇数、偶数、幂、因数分解、正负数相间等【例3】根据下面的图像及相应的点数，写出点数的一个通项公式 （1） （2）解：（1）（2）【例4】根据下列数列的递推公式，写出它的前4项，并归纳其通项公式：（1），（2），解：（1）， （2）， 【例5】已知数列的通项公式为，试问：数列有没有最大项和最小项？如果有，求出这个最大项和最小项；

4、如果没有，请说明理由。解：【备用题1】若数列满足，且为递增数列，求实数的取值范围解：【备用题2】已知数列的通项公式是，（1）求证：数列是递增数列；（2）若对一切大于1的正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围？解：（1）数列是递增数列（2）对一切大于1的正整数，不等式恒成立或巩固练习1已知数列的通项公式为，则47是数列的第 项2已知数列的前四项分别1，0，1，0，给出下列各式：（1）；（2）；（3）；（4），则可作为数列的通项公式的是 3写出下列各数列的一个通项公式（1）1，8，27，64， （2）， （3） （4） （5）3，3， 4在数列中，则数列的通项 5写出数列，的一个可能的通项公式 6

5、已知数列中，若数列既是等差数列数列又是等比数列，则该数列前20项和为 7数列中，且，则 8已知，则数列的最大项是 9已知数列的通项公式为，则是不是中的项？10数列的通项公式为（1）数列中有多少项是负数？（2）是否存在正整数，使得对于任意的正整数，都有？11已知数列的通项公式为，试问：数列有没有最大项？如果有，求出这个最大项，如果没有，请说明理由。 6.2等差数列与等比数列（二课时）知识梳理1概念（1）等差数列：一个数列从第2项起，每一项与前一项的差是同一个常数（即公差）等比数列：一个数列从第2项起，每一项与前一项的比是同一个常数（即公比）（2）等差中项：数列成等差数列，则，项称为的等差中项等比

6、中项：数列成等比数列，则，项称为的等比中项2通项公式（1）等差数列通项公式：；（2）等比数列通项公式：；3求和公式（1）等差数列求和公式：；（2）等比数列求和公式：当时，；当时，4常用的数列递推公式（1） 等差数列（2） 等比数列（3） 构造新数列为等比数列（4） 累加法（5） 累乘法注意：解决“递推数列”的一般方法，是计算其前若干项，然后归纳猜想其通项，并证明。5常用解题方法（1）利用定义证明一个数列为等差（或等比）数列，即证明（或）为常数（2）解决等差（或等比）数列的计算问题的方法化归为基本量，即数列的首项、公差（或公比），再利用方程思想解决问题（3）等差数列前项和的最值利用数列的单调性，

7、计算前多少项为非负项（或非正项）利用二次函数的最值典型例题【例1】（1）等差数列中，则 （2）已知为等比数列，则 （3）在100200间的整数中，所有7的倍数的整数之和为 （4）等比数列共有项，其所有项的和是其偶数项和的4倍，且其前3项的积为64，则 解：（1）由，两式相减得，则（2）经分析，由，相除得，故又，除以，得所以（3），则，故（4）经分析，由题意，得又，得，故说明 数列中的计算问题，主要利用“基本量法”，也就是说把所有量转化为基本量，即首项、公差（或公比），从而建立首项、公差（或公比）的方程组而解方程组时，常常把两个方程相减或相除【例2】根据下列数列的递推公式，求其通项公式：（1），

8、（2），（3），（4）（5）解：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；说明 注意常见的递推关系形式及其相应的解题方法【例3】公差不为0的等差数列中，的部分项按原来的顺序由小到大组成等比数列，且。（1）求该等比数列的公比；（2）求及解：（1）由，得，则（舍）或而，所以4（2）等比数列中，；等差数列中故【例4】已知数列的前项和公式为（1）求证：是等差数列，并求出它的首项与公差；（2）若，求证：是等比数列，并求数列的通项公式解：（1）当时，；当时，故因，所以是等差数列，且 （2）由知是等比数列，且而所以说明：证明一个数列是等差数列或等比数列，需利用定义证明【例5】设是等差数列的前项的和,若求的最小

9、值.解法一：解法二： 的最小值为-630【备用题1】设是公差为，首项为的等差数列，且，又设前项的和为，满足（1）求公差的取值范围；（2）求使得的最小自然数值；（3）设中元素的最大值为M，求M的取值范围解：（1）由，即得（2）由，得，而，故（3）因第6项开始为负项，所以【备用题2】（，）个正数排成一个行列的矩阵，即其中表示第行第列的数，其中每行的数都成等差数列，每列的数都成公比的等比数列已知（1）求第4行对应数列和第4列对应数列的通项公式；（2）写出的计算公式；（3）试求该矩阵对角元素的和，即求的值解：（1）数列的公差，首项，故数列的第2项，第4项，则，故（2）第列为等比数列，且第4项为，故（3

10、）因，由错位相减法得巩固练习1命题：（1）若数列是一个以1为公比的等比数列，则这个数列一定是等差数列；（2）若数列是一个以0为公差的等比数列，则这个数列一定是等比数列；（3）若数列既是等差数列又是等比数列，则这个数列一定是常数列；（4）若数列是常数列，则这个数列既是等差数列，又是等比数列在上述命题中，正确命题的序号是 2在等差数列中，若，则 3三个正数成等比数列，且，则的值分别为 4已知四个实数成等差数列；五个实数成等比数列，则等于 5设，则“”是“成等比数列”的 条件6有四个数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和为16，第二个数与第三个数的和为12，求这四个数

11、分别为 7在公差为1的等差数列前98项和为147，则 8在等比数列中，公比，则 9等差数列共项，其中奇数项和为319，偶数项和为290，则 10数列是等差数列，且，则前项和取最大时， 11从1到100的整数中，既不能被5整除又不能被3整除的整数之和为 12等差数列中，为公差，满足，则前项和取最小值时，的值为（ ）(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 613在等比数列中，已知，求与14等差数列的前项和为，且（1）求使前项和为为负值的最小自然数；（2）求的最大值及相应的项数的值15已知是公差为的等差数列，为实常数，证明：数列是等比数列16.等差数列中，公差，等比数列中，（1）试找出一个的值，

12、使的所有项都是中的项；（2）试找出一个的值，使的项不都是中的项；（3）判断时，是否的所有项都是中的项，并证明你的结论；（4）探索当且仅当取怎样的正整数时，的所有项都是中的项，并说明理由6.3数列求和（二课时）知识梳理1与的关系： 2数列求和的几种形式：（1）化归为若干等差或等比数列的和差形式（2）裂项相消法（3）错位相减法与逆序相加法（4）归纳、猜想、论证典型例题【例1】已知数列前项和为，求通项（1） （2）解： （1） （2）说明 利用时，需注意，即要讨论的情况【例2】（1）已知数列中，求数列的通项公式；（2）设数列的首项为1，前项和与通项满足，求通项的表达式解：（1）设数列的前项和为，则求

13、得，所以（2）当时，代入，得即，又，故，则所以说明 解题时常常需要观察已知条件的特征，从中挖掘其本质，使解题明朗化【例3】已知数列的通项，求其前项和：（1）（2）（3）（4）解：（1）（2）（3）（4）说明 不同的数列，有其不同的求和方法，这里需要熟记数列求和的几种形式【例4】设，利用课本中推导等差数列前项和公式的方法，求值：解：由得，原式【例5】已知且，数列是首项与公比均为的等比数列，数列满足（1）若，求数列的前项和（2）若对于，总有，求的取值范围解：（1）；（2）或【备用题1】已知各项均为正数的数列的前项的和满足（） 求的通项公式；（） 设数列满足解：（1） （2）当n为偶数时，当n为奇数

14、时，【备用题2】已知函数，若数列成等差数列（1）求等差数列公差的值；（2）求数列的通项及其前项之和；（3）令，且，试比较与的大小解：（1）；（2）；（3）巩固练习1若数列的前项的和，则 2数列中，且，则其前项和 3数列中，通项，则它的前项和等于 4数列1，前项和为，则项数为 5设，则 6在数列中，设为数列的前项和，则 7计算下列各式的值：（1）（2）（3）（4）8已知等差数列满足： ，数列的前项之和为（1）求及；（2）令，求数列的前项之和9数列的前项和为，且，求其通项公式10二次函数（1）记顶点的纵坐标为，证明数列是等差数列；（2）记顶点到轴的距离为，求数列前20项的和6.4数学归纳法（一课时

15、）知识梳理1概念（1）证明当取第一个值时，命题成立；（2）假设当时命题成立，证明当时，命题成立则由（1）（2）可知命题对从开始的所有正整数都成立2应用（1）证明恒等式（2）证明整除问题（3）归纳、猜想、论证典型例题【例1】（1）用数学归纳法证明：，在验证成立时，计算左边所得结果是（ ）（A）1 （B） （C） （D）（2）用数学归纳法证明时，假设时成立，证明时也成立，可在左边乘以一个代数式 解：（1）C （2）【例2】用数学归纳法证明：证明：（1）当时，左边，右边，等式成立（2）假设当时，等式成立，即则当时，左边右边即等式也成立由（1）（2）可知，原等式成立【例3】用数学归纳法证明：能被9整除

16、证明：略 【例4】已知数列中，（1）计算（2）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明。解：（1）（2）证：当时，成立假设当时，则当时，也成立综上所述，【备用题1】已知是数列的前项和，且，求数列的通项公式。解：当时，成立假设当时，则当时，也成立综上所述，【备用题2】已知数列中，且点在直线上（1）求数列的通项公式；（2）设表示的前项和，试问：是否存在关于的整式，使得对于一切小于2的自然数恒成立。若存在，写出的解析式，并加以证明；若不存在，说明理由。解：（1）由题意得即故数列是以1为公差的等差数列，所以（2），则令，则，得令，则，得令，则，得猜想巩固练习1已知，则 2若，则 3某个与自然数有关的命题

17、，当时该命题成立，那么可以推得时命题也成立，现为了推得当时该命题不成立，则需已知（ ）(A) 时命题不成立 (B) 时命题成立 (C) 时命题不成立 (D) 时命题成立4用数学归纳法证明时，在假设等式成立后，要证明时等式也成立，这时要证的等式是 5用数学归纳法证明：6用数学归纳法证明：7用数学归纳法证明：能被4整除8已知数列的首项，且数列的前项的和（1）求的值，并猜测的通项公式；（2）用数学归纳法证明的通项公式9已知数列满足条件：，令（1）写出数列的前4项；（2）猜想数列的通项，并予以证明；（3）是否存在非零常数，使得数列成等差数列？若存在，求出满足的关系式；若不存在，说明理由6.5数列极限（

18、一课时）知识梳理1数列极限的概念一般地，在无限增大的变化过程中，如果无穷数列中的无穷趋近于一个常数，那么叫做数列的极限或叫做收敛于，记作。2基本极限（1）（为常数）（2）（3）3运算性质 若，则（1）（2）（3）典型例题【例1】求下列数列的极限：（1） （2） （3） （4）解：（1） （2）3 （3）0 （4）说明 利用基本极限转化为的极限；运用极限运算性质时，注意有限性【例2】求下列数列的极限：（1） （2） （3） （4）解：（1） （2） （3）原式= （4）原式=【例3】（1）若，求的值（2）若的极限存在，求实数的取值范围解：（1） （2）【例4】求下列数列的极限：（1）（2）（3）

19、 （4）设，求解： （2） （3） （4）1【备用题】已知数列的前n项和可用组合数表示为（） 求数列的通项公式；（） 若为关于n的多项式，且满足，求的表达式。解：（1） （2）设巩固练习1 2 3计算： 4 5若，则 ， 6已知，则的取值范围是 7计算： 8若数列（），则 9已知是实数，若，则的值为 10（1）已知，求实数的取值范围（2）若存在，求实数的取值范围11在等比数列中，若，求12已知等比数列的首项为，公比为，若，求的取值范围13求极限6.6无穷等比数列的各项和（一课时）知识梳理1 无穷等比数列的各项和公式 无穷等比数列的公比满足，则其各项和典型例题【例1】（1）某无穷等比数列各项和为

20、4，各项平方和为6，求各项立方和（2）等比数列的首项为，前项和，满足，求的取值范围（3）等比数列的首项为，满足，求公比的取值范围解：（1）（2）由，即，代入且，得 （3）由，且，得当时，；当时，说明 注意无穷等比数列的各项和公式的前提条件为：公比满足且【例2】（1）把循环小数化为分数（2）求和 解：（1）因，所以 （2）因，所以说明 循环小数理解为无穷等比数列的各项和【例3】一个无穷等比数列的第一项是正整数，公比是一个正整数的倒数，数列各项的和为3，求这个数列前两项的和解：因，并令，则故，则，所以前两项的和为【例4】如图所示，直线与互相依次外切的半圆都相切，这些半圆的圆心分别是，半径分别为（1

21、）求半径值；（2）求数列的通项公式；（3）求前个半圆的弧长的总和，并求解：（1），（2）（3）【例5】已知数列中的任何相邻两项、是方程的两根，且，（1）求证：；（2）求数列的所有项的和解：由韦达定理得且（1）由知，两式相除，得（2）因，而，故又由可知，数列的奇数项与偶数项分别构成等比数列，且公比都为所以 【备用题】若正数数列的前项和满足，且，求：（1）数列的通项公式；（2）的表达式；（3）解：（1）由题设，则（），两式相减得，则（舍，因是正数数列）或又当时，而，故，此时故数列是以4为公差，1为首项的等差数列所以 （2）由等差数列求和公式，得 （3）巩固练习1无穷等比数列1，的各项和等于 2已知

22、，则 3无穷等比数列的各项和为，若数列满足，则数列的各项和为（ ）(A) (B) (C) (D) 4小数化为分数是 5无穷等比数列的各项和为12，而前3项的和为10.5，则其公比为 6一个球自12米高的地方自由落下，触地后回弹高度是下落高度的四分之一，到球停止在地面上为止，球运动的路程总和为 米7 若无穷等比数列的所有奇数项的和小于它的所有偶数项的和，且，则首项和公比的一组可能值是 8设是一个无穷递缩等比数列，且每一项都等于它以后各项和的倍，求的取值范围9一动点由原点出发，首先向右移动1个单位到点，然后沿着原方向逆时针旋转90°的方向，移动个单位到点，若按此继续下去，移动上次移动距离

23、的一半，求动点移动的极限位置10以边长为1的正六边形的一边为边向外作正方形，以正方形的一边为底向外作等腰直角三角形，在以等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正六边形，如此继续无限反复同一过程，求所有这些正六边形、正方形、等腰直角三角形面积之和6.7数列的综合应用（二课时）知识梳理1涉及数列递推关系、数列通项、数列求和、数列极限等的综合问题2数列与函数、不等式、三角、圆锥曲线等知识点的综合应用典型例题【例1】设数列的前n项和为，点均在函数的图像上。（1）求数列的通项公式；（2）设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m解：（1）依题意得，即当n2时，当n=1时，所以（2）由（1）得，

24、故=因此，使得成立的m必须满足，即m10，故满足要求的最小整数m为10【例2】已知函数的图像过点和，（1）求函数的解析式；（2）记，是否存在正数，使得对一切均成立？若成立，求出的最大值；若不存在，说明理由。【例3】（1）设为等差数列，且（，为常数），试用和表示；（2）设为各项均为正数的等比数列，且（，为常数），试用和表示；（3）对比（1）、（2）的解题过程和结论，你发现了它们有什么相似之处，有什么规律可循？利用这些规律，解下面问题： 对等差数列，若（，为常数），则不用进行推算，直接给出等比数列中与之类似的正确结论解：（1）由得所以（2）由得所以（3）从中可以得到等差数列和等比数列可以进行加、乘

25、类比，即把等差数列中量之间的“加”改成等比数列中相应量的“乘”以后，其结论还可能成立对等比数列，若（，为常数），则【例4】已知，是线段的中点，是线段的中点，是线段的中点（1）求向量坐标的通项公式；（2）求解：设，则，；，（1）由已知得：（2），得，类似地可求得所以【例5】设等比数列的前项和为，已知（1）求数列的通项公式；（2）在和之间插入个1，构成如下的新数列：求这个数列的前2012项的和解：（1）；（2）【例6】已知数列，若存在正整数，对一切都有，则称数列为周期数列，是它的一个周期.例如：数列可看作周期为1的数列；数列可看作周期为2的数列；数列可看作周期为3的数列；（1）对于数列（2），它的

26、一个通项公式可以是，试再写出该数列的一个通项公式；（2）求数列（3）的的前项和；（3）在数列（3）中，若，且它有一个形如的通项公式，其中均为实数，求该数列的一个通项公式解：（1）；（2）；（3）【备用题】已知函数是偶函数，是奇函数，正数数列满足（1）若数列的前n项和为，求（2）若，求数列中的项的最大值和最小值。解：（1）由已知得 （2）巩固练习1等差数列的公差为，且，则 2等比数列前三项之和为6，前六项之和为，则首项 3等差数列中，则 4等比数列中，则 5等差数列中，已知，则使得它的前项之和取得最大值时的自然数是 6定义（），那么的值为 7数列的通项公式为（1）数列中有多少项是负数？（2）是否

27、存在正整数，使得对于任意的正整数，都有？8已知数列的前项和为，求：（1）数列的通项公式；（2）数列的前项和9已知数列，它的前项和记为，如果是一个以首项为，公比为的等比数列，且，求10设无穷等差数列的前项和为（1）若首项公差，求满足的正整数（2）求所有的无穷等差数列，使得对于一切正整数都有成立。11已知数列和满足：，（），且是以为公比的等比数列（1）证明：；（2）若，证明数列是等比数列；（3）求和：6.8数列的应用题知识梳理1利用数列知识解决实际问题，集中区别两个问题：（1）是等差数列还是等比数列问题，主要区别是增长量与增长率；（2）是求通项问题还是求和问题2解题时，注意计算器的运用典型例题【例

28、1】某民营企业年初用108万元购买一条先进的生产流水线，每年收入63万元。第一年各种费用支出12万元，以后每年支出都增加6万元。（1）第几年开始盈利？（2）若干年后，有两种处理方案。方案一：总盈利最大时，以3万元出售该套流水线；方案二：年平均赢利最大时，以30万元出售该套流水线。哪种方案合算？解：（1）即，令，得所以第3年开始盈利（2）方案一：，当时，故当时，总盈利138方案二：，当时，故当时，总盈利138选择方案二【例2】某市到2007年底垃圾堆积达一亿吨，侵占大量土地，还造成环境污染，估计今后若干年还将平均每年产生0.08亿吨的新垃圾市府投入巨资研究对垃圾的科学处理，估计08年能处理垃圾0

29、.05亿吨，以后每年将提高10%的处理垃圾能力（1）2009年底比2008年底的垃圾堆积增加多少？（2）到哪一年底垃圾堆积量最多？（3）到哪一年开始垃圾将少于0.5亿吨？解：（1）（亿吨）（2）令，且，解得故到第5年即2012年底垃圾堆积量最多（3）令，利用计算器，得故到第16年即2024年开始垃圾将少于0.5亿吨【例3】一所老房子建筑面积为120平方米，房价为8000元/平方米。买房者先付总房价的，其余向银行贷款，贷款后第一个月末开始还款，每月等额还款一次，分20年还清。假设银行贷款利率不变化，每月利率为%，买房者每月应还款多少元（精确到元）解：总房价960000元，贷款640000元，设每

30、月应还款元则，得4585.56故买房者每月应还款4585.56元【例4】某企业2004年的纯利润为500元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降。若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第年（今年为第一年）的利润为万元（为正整数）（1）设从今年起的前年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为万元，进行技术改造后的累计纯利润为万元（须扣除技术改造资金），求的表达式；（2）依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？解：（1）（2）

31、令，得即至少经过7年巩固练习1已知一凸边形的各内角度数成等差数列，最小角为120°，公差为5°，则边数为 2一个热气球在第一分钟时间里上升了5米高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%，这个热气球最多能上升 米3夏季某高山上的温度从山脚起，每升高100米降低，已知山顶处的温度是，山脚温度是，则这山的山顶相对于山脚处的高度为 米4甲、乙两人于同一天分别携款1万元到银行储蓄，甲存五年期定期储蓄时，年利率为2.88%；乙存一年期定期储蓄，年利率为2.25%，并在每年到期时将本息续后一年期定期储蓄，按规定每次计息时，储户需交纳利息的20%作为利息税，若存满五年后两人同时从银行取出存款，问两人所得本息之和哪个多？相差多少？5本市某区大力开展民心工程，近几年来对全区平方米的老房子进行平改坡，且每年平改坡面积的百分比相同，若改造到面积一半时，所用世界需10年已知到今年为止，平改坡剩余面积为原来的（1）问到今年为止，该工程已进行了多少年？（2）若通过技术创新，至少保留平方米的老房子开辟新的改造途径，今后最多还需要平改坡多少年？