第4章机械振动完全版

1、1 前面已指出，角频率前面已指出，角频率 和周期和周期T由由谐振系统确定。谐振系统确定。那么，给定谐振系统后又如何确定那么，给定谐振系统后又如何确定 和和T？方法是利用谐振动的动力学方程：方法是利用谐振动的动力学方程：2T 若能找出若能找出a与与x( 或或与与 )之间的关系，角频率之间的关系，角频率 就就等于上式中等于上式中x(或或 )的系数的平方根。而周期的系数的平方根。而周期对转动对转动：xdtxda222 dtd2222 例题例题 一光滑斜面上的弹簧振子，已知一光滑斜面上的弹簧振子，已知m , k , 证明证明它作谐振动，并求出周期。它作谐振动，并求出周期。(2)将物体将物体m对平衡位置

2、位移对平衡位置位移x；(3)沿斜面方向应用牛二定律：沿斜面方向应用牛二定律： mgsin -k(x+xo )=ma -kx = maxmkaxa2比较：比较：是谐振动。是谐振动。,mk2Tkm2(T与倾角与倾角 无关无关)ox 解解 (1)找出平衡位置找出平衡位置:建立坐标；建立坐标；mgsin =kxo ，xokm mx3 例题例题 一正方体形木块在水面上作谐振动，吃水深一正方体形木块在水面上作谐振动，吃水深度为度为h(水面下的木块高度水面下的木块高度)，求振动周期求振动周期T=？ 解解 设木块的质量为设木块的质量为m、边长为、边长为b, 则平衡条件为则平衡条件为 mg= 水gb2h建立图示

3、坐标，建立图示坐标，由牛二定律有由牛二定律有令木块位移令木块位移x, 水gb2(h-x)-mg=ma即即 - 水gb2x =ma因因,12hmb水xhga,hgghT22比较：比较： a=- 2xoxhx4 例题例题求图示圆盘、弹簧系统的振动周期求图示圆盘、弹簧系统的振动周期 , 图中图中k、I、R、m为已知。为已知。 解解 平衡条件平衡条件: kxo=mg，ox令令m位移位移x, 则则mg-T1= maT1 R-T2R =I T2 =k(xo+x)a=R解得解得：xRImka22RImk2T比较：比较： a=- 2xmT1RIkT25 例题例题 角谐振动角谐振动 刚体在竖直面内作刚体在竖直面

4、内作微小微小振动振动 , 设刚设刚体的质量为体的质量为m、转动惯量为、转动惯量为I、质心到转轴的距离为、质心到转轴的距离为hc，求振动周期。求振动周期。 解解 由由M=I , 有有-mghcsin =I = Id2 /dt2当当 很小很小( 5)时时, sin , 于是于是Imghc,ImghccmghIT2)cos(tm hcoCmg比较比较： 222dtd6当当 5时，时，cmghIT2mglmlT22gl223122lmgmlTgl322细棒细棒oloT=?如：单摆如：单摆l7一一.同频率平行同频率平行谐振动的合成谐振动的合成分振动：分振动：x1 =A1cos( t+ 1 ) x2 =A

5、2cos( t+ 2 )合振动：合振动： x= x1+x2=A1cos( t+ 1 )+ A2cos( t+ 2 ) 利用三角公式或旋转矢量可求得合振动利用三角公式或旋转矢量可求得合振动: x= x1+x2= Acos( t+ ) (1)可见，合振动仍是同频率的谐振动。可见，合振动仍是同频率的谐振动。 (2)合振动的振幅和初相合振动的振幅和初相, 用旋转矢量求得用旋转矢量求得:8 由余弦定理，合振动的振幅为由余弦定理，合振动的振幅为22112211coscossinsintgAAAA合振动的初相：合振动的初相：)cos(212212221AAAAAM1A1 1 1MA2xoA A2 2 2M2

6、)(cos212212221AAAAAx= x1+x2= Acos( t+ ) x1 =A1cos( t+ 1 ) x2 =A2cos( t+ 2 )( ( 2-2- 1 1) )( ( 2-2- 1 1) ) 2 2A1cos 1A2cos 2A1sin 1A2sin 2)(12A9 (3)合振动的强弱合振动的强弱,取决于两分振动的相位差取决于两分振动的相位差： = 2 - 1=2k , k=0, 1, 2, , A=A1+A2 , 加强加强=(2k+1) , k=0, 1, 2, , A=|A1-A2 |, 减弱减弱. . . . . .=)cos(212212221AAAAA221122

7、11coscossinsintgAAAA x1 =A1cos( t+ 1 ) x2 =A2cos( t+ 2 )x= x1+x2= Acos( t+ )10 , 合振幅等于两振幅之差合振幅等于两振幅之差,合振动合振动的初相与振幅大的初相相同。的初相与振幅大的初相相同。 a21AA b21AA 0,A 振幅相同的两个反相的振动，合成的结果使振幅相同的两个反相的振动，合成的结果使质点处于静止状态。质点处于静止状态。=(2k+1) , k=0, 1, 2, , A=|A1-A2 |, 减弱减弱11 解解 合振动方程合振动方程：x =Acos( t+ ) 例题例题设设分振动：分振动： x1 =0.3c

8、os( t+ )cm, x2 =0.4cos( t+ )cm， 求合振动方程。求合振动方程。2方法一方法一:旋转矢量旋转矢量x0.40.3A 5 . 04 . 03 . 022A 434 . 03 . 0tg =36.86=0.64rad 合振动方程合振动方程：x =0.5cos( t+2.5 ) cm = - =2.512)cos(212212221AAAAA=0.522112211coscossinsintgAAAA43 =-0.64+ =2.5rad 合振动方程合振动方程：x =0.5cos( t+2.5 ) cm已知：已知：A1=0.3, A2=0.4, 1= /2, 2= x0.4

9、A-36.860.3方法二方法二: 公式法公式法 x1 =0.3cos( t+ )cm x2 =0.4cos( t+ )cm 213例题例题设设分振动：分振动： x1 =0.4cos(2 t+ /3 )cm, x2 =0.6cos(2 t-2 /3 )cm，求合振动方程。求合振动方程。)cos(212212221AAAAA 解解 已知：已知：A1=0.4, A2=0.6, 1= /3, 2=-2 /3=0.222112211coscossinsintgAAAA3xx1 /3x2-2 /3+ = /3=4 /3=-2 /3x1与与x2是反相的！是反相的！ 合振动方程合振动方程： x =0.2co

10、s(2 t-2 /3 ) cm14 例例 x1 和和 x2的的振动曲线如图所示，求合振动方程。振动曲线如图所示，求合振动方程。 解解 由图由图可知，可知，x1与与x2是反相的。因而是反相的。因而 合振幅合振幅: A= 0.12- 0.08=0.04; 合振动的角频率：合振动的角频率： =2 /T= 合振动方程合振动方程： x =0.04cos( t- /2 ) mx2x(m)t(s)x10.120.08o1合振动的初相合振动的初相: (振幅大的分振动的初相振幅大的分振动的初相) =- /2ox15 例题例题两个同方向、同频率的谐振动合成后，合振幅两个同方向、同频率的谐振动合成后，合振幅A=20

11、cm, 合振动与第一个振动的相差为合振动与第一个振动的相差为 /6, A1=17.3cm, 求：求：(1)A2=? (2)两两振动的相差振动的相差( 2 - 1)=?)cos(212212221AAAAA22112211coscossinsintgAAAA 解解 直接用下述公式是无法求解的：直接用下述公式是无法求解的：A1=17.3 1 1A=20 /6A2xo=10cm 此题宜用旋转矢量法求解。此题宜用旋转矢量法求解。6cos212122AAAAA由图由图,用余弦定理得：用余弦定理得：A2 2 216用正弦定理有：用正弦定理有：6sin)(sin212AA 因因A=20, A2=10, 由上

12、式由上式可可求出：求出：2)(12( ( 2-2- 1 1) )A1=17.3 1 1A=20 /6A2xoA2 2 217*二二.不同频率平行不同频率平行谐振动的合成谐振动的合成分振动：分振动：x1 =Acos( 1 t+ ) x2 =Acos( 2t+ )， 且且 1 与与 2相差很小。相差很小。 合振动：合振动： x= x1+x2= )2cos(2cos22112ttA 由于由于 1 与与 2相差很小相差很小,故故 2 - 1比比 1 + 2小得多小得多; 即即t2cos12比比 的周期长得多的周期长得多！t2cos12 所以，合振动可近似看作是一个所以，合振动可近似看作是一个振幅缓慢变

13、化振幅缓慢变化的谐的谐振动振动拍拍:),2cos(21tAxotAAo2cos21218显然，拍频显然，拍频 (振幅振幅Ao的变化频率的变化频率)为为 拍拍 = 2 - 1tAAo2cos212xt图19*三三.振动的频谱分析振动的频谱分析 实际的振动不一定是实际的振动不一定是谐振动，但不管它多么谐振动，但不管它多么复杂，总可以分解为许多复杂，总可以分解为许多谐振动的叠加。谐振动的叠加。 利用傅里叶变换，我们可以求出实际振动的利用傅里叶变换，我们可以求出实际振动的频频谱谱。这是信号分析、处理和数字化的基础。这是信号分析、处理和数字化的基础。垂直谐振动的合成垂直谐振动的合成 x =A1cos(

14、t+ 1 ) y =A2cos( t+ 2 )从上两式中消去从上两式中消去t, 就得到合振动的轨迹方程为就得到合振动的轨迹方程为)(sin)cos(21221221222212AyAxAyAx 在一般情况下在一般情况下,这是一个椭圆方程。这是一个椭圆方程。一一.同频率垂直谐振动的合成同频率垂直谐振动的合成20)(sin)cos(21221221222212AyAxAyAx (1)当当 2 - 1=0时，式退化为一直线：时，式退化为一直线： xyxAAy12)tcos(222122AAyxrxyxAAy12合振动仍为谐振动合振动仍为谐振动:22yxr)tcos(2221AA(2)当当 2 - 1

15、= 时，式也退化为一直线：时，式也退化为一直线：合振动仍为谐振动合振动仍为谐振动: x =A1cos( t + ) y =A2cos( t+ )21xy 2 - 1= /2xy 2 - 1=- /2 (3)当当 2 - 1= /2时，式为一时，式为一椭圆椭圆：1222212AyAx合振动不再是谐振动。合振动不再是谐振动。)(sin)cos(21221221222212AyAxAyAx(6-34)二二.不同频率垂直谐不同频率垂直谐振动的合成振动的合成 李萨如图形李萨如图形P224-225(自学自学)22(自学自学)简谐振动是一种等幅振动，它是不计阻力的作用。简谐振动是一种等幅振动，它是不计阻力的

16、作用。 实际上，振动系统总要受到各种阻力。系统要克服实际上，振动系统总要受到各种阻力。系统要克服阻力做功而消耗自身的能量。如果没有能量的补充，阻力做功而消耗自身的能量。如果没有能量的补充，振动的振幅衰减。振动的振幅衰减。 系统在回复力和系统在回复力和阻力作用下阻力作用下发生的发生的减幅振动减幅振动称为称为阻尼阻尼振动。振动。tddxf在物体的振动速度不大时，在物体的振动速度不大时， 是阻力有关的比例系数，其值决定于运动物体的是阻力有关的比例系数，其值决定于运动物体的形状、大小和周围的介质。可以由实验测定。形状、大小和周围的介质。可以由实验测定。23考察考察水平的弹簧振子水平的弹簧振子在阻力作用

17、下的阻尼振动。在阻力作用下的阻尼振动。tddxkxtdxdm22动力学方程：动力学方程：令令,2mkom2该微分方程的解为该微分方程的解为)cos(0otteAx0是对应无阻尼时系统振动的固有角频率是对应无阻尼时系统振动的固有角频率称为阻尼系数。称为阻尼系数。当阻力很小时，当阻力很小时，002222xtddxtdxdo(6-40)2402222xtddxtdxdo)cos(0otteAx220称为阻尼振动的角频率。称为阻尼振动的角频率。o0A和和 则由初始条件决定的。则由初始条件决定的。结论：结论：1 有阻力的振动为减幅振动，有阻力的振动为减幅振动，按指数随时间减小按指数随时间减小2 阻尼振动

18、的角频率小于阻尼振动的角频率小于无阻尼的角频率无阻尼的角频率 阻尼振动的周期大于无阻尼阻尼振动的周期大于无阻尼的固有周期的固有周期txot0eA2502222xtddxtdxdo 当阻力很大时，当阻力很大时， 时，偏离平衡的物体只能时，偏离平衡的物体只能逐渐回到平衡位置，回到平衡位置的时间很长，不能逐渐回到平衡位置，回到平衡位置的时间很长，不能振动起来。这种情形称之为振动起来。这种情形称之为过阻尼过阻尼。0 将振子放在蓖麻油中，将振子放在蓖麻油中，由于阻力很大，离开平衡由于阻力很大，离开平衡位置的振子缓慢回到平衡位置的振子缓慢回到平衡位置。位置。otx26当当 时，振子刚好回到平衡位置而停下来

19、。时，振子刚好回到平衡位置而停下来。这种运动称之为临界阻尼状态。这种运动称之为临界阻尼状态。otxotx过阻尼过阻尼临界阻尼临界阻尼欠阻尼欠阻尼27系统受力：弹性力系统受力：弹性力 -kx；阻尼力阻尼力tddx 周期性驱动力周期性驱动力 f =Focos ttFtddxkxtdxdmocos22动力学方程：动力学方程：tmFxtddxtdxdoocos2222令令,2mkom2一一.受迫振动受迫振动28该微分方程的解为该微分方程的解为tmFxtddxtdxdoocos2222)cos()cos(22tAtAexoot 可以看出可以看出,此等幅振动的频率此等幅振动的频率 就是驱动力的频率就是驱动

20、力的频率,其其振幅和初相为振幅和初相为 上式表明上式表明,受迫振动可以看成是两个振动合成的。第受迫振动可以看成是两个振动合成的。第一项表示的是减幅振动。经过一段时间后一项表示的是减幅振动。经过一段时间后,这一分振动这一分振动就减弱到可以忽略不计了。而第二项表示的是受迫振就减弱到可以忽略不计了。而第二项表示的是受迫振动达到稳定状态时的等幅振动。因此动达到稳定状态时的等幅振动。因此,稳态解为稳态解为 x =Acos( t+ ) 2922)(kmFAo(6-50)kmtg(6-51)稳态时稳态时,速度速度)2cos(tdtdxm22)(kmFom(6-52)(6-53)x =Acos( t+ )30二二.共振共振1.