特殊行列式的计算guotao

1、特殊行列式的计算摘要：运用行列式的定理、性质及推论对一些复杂、特殊行列式进行化简，总结出了一些特殊行列式的计算方法及公式，改变了以往遇到行列式总是通过初等变化按其某行（或某列）展开进行逐次降阶化成阶梯型行列式或依据Laplace定理进行行列式计算的方法；使行列式的计算更为简洁、灵活，并使得特殊行列式的计算公式化关键词：行列式；行列式的计算；特殊可列阶行列式1预备知识面对一些复杂而又特殊行列式的计算我们往往会不知所措、无从下手，更不知道应该用什么方法去进行化简或计算，就像一只无头的苍蝇只能用各种方法去进行试探.为此我们多么希望一些特殊的可列阶行列式的计算能像一元二次方程一般有其计算公式和特殊的化

2、简方法，从而提高特殊、复杂的行列式的计算效率，简化其计算步骤，改变其算法的冗长性，使之公式化、方法化.现就有关知识做以预习.定理1.1（Laplace定理）设在行列式D中任意取定了k（1<k<n一1）个行，由这k行元素所组成的一切k级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式d.性质1.1行列式与其转置行列式相等.性质1.2交换行列式的某两行（或某两列）行列式改变符号性质1.3把行列式某一行（或某一列）的所有元素都乘以一个数k,等于以k乘以该行列式.性质1.4把行列式的某一行（或某一列）的所有元素乘以同一个数k后加到另一行或另一列的对应元素上行列式值不变.性质1.5如果行列式中有两

3、行（或两列）元素相同，行列式值为0.性质1.6行列式中某一行（或某一列）中所有元素的公因子可以提到行列式的外边.性质1.7行列式中如果有一行（或一列）的元素全为零，则行列式为0.性质1.8如果行列式中有两行（或两列）的元素对应成比例，则行列式等于0.引理1.1行列式的任一个子式M与它的代数余子式A的乘积中的每一项都是行列式D的展开式中的项，而且符号也一致.2特殊行列式的计算2.1 二条线型行列式的计算a1b1b1a2b2b2a?定义2.1.1形如D1D2）的行anbn_1anan列式称为二线型行列式.其可按第一列（或最后一列）展开进行计算得出2nn1n2n:胫n(nJ)(nN)nJDi,n-1

4、.、o.、o.、=:3i-(-1)cbi(D2=(-1)|ai(_1)cbi)和D2=2In-1n-10001020的值.niAi±i_1i_10102例2.1.1列式D=*.10n100可知它是0102解观察行列式D1=一0n二线型行列式，且由定义知其中ai（i=1,2，n）全为0.故代入公式可得出nn_1n-1n-1D1:I1ai(-1)c|biu(-1)n!i4i32n_2n3n(n1)(n_2)n(n)(n_2)D2=(-1)2【ai(-1)2cbi-(-1)2n!iTiT类似的二条线型行列式还有A=N,B=l/l,C=N和D=LZI(其中定义中给出的的二线型行列式为D1IN

5、,D2=,在简记中实线处均为非零元素其它地方元素为零），它们均可以按定义2.1中的方法进行计算展开进行降阶，再利用三角或次三角型行列式总结出相应的计算公式.2.2 三对角型和次三对角型行列式的计算定义2.2.2形如D1=1N和D2=匕的行列式称为三对角或次三对角型行列式（在简记中实线处均为非零元素其它地方元素为零），其行列式的值等于按第1行（或第1歹U）或按第n行（或第n歹U）展开，从而得到两项的递推关系式以导出其计算公式21000-12-100例2.2.2计算n级行列式Dn二0-1200mmmmm的值0002-1000一122_1000-12_100解观察行列式Dn=0_1200aaaa3可

6、知其为定义2.2.2中所定义的三0002-1000_12线型行列式，则可以按照定义给出的方法按其第一行展开知_1_1002-_，、，、1率Dn=2D。+(1)(1)0_12mem000000直接递推不易得到结果（阶较低阶时则可以），变形得000000=2DmD一*m2_1_122-1DnDni=DniDn2=iD2Di=-2=1-12于是有Dn=:Dn11=Dn/2D1-(n-1)n1cos0100012cosl100同理可知行列式D_Dn-A,-,.的计算公式为0002cos8100012cos0cos6100012cos6100Dn=000"2cos6100012cos02cos

7、(n-1)o(cosa-cos(n-1)acosa+sin(n-1)asina=cos(n-1)、工cos:-sin(n-1).<sin:=cos;a+PaP1a+P也可得出行列式Dn=019900000aP-0000a+P,0a0的公式为0-a+PaP01a+P于是可得出所以知0(+PoP0001a+POp0001(0+P00-mmm一000a+PoP00010t+PqP000=(Ct十P)Dn-10(+PoP0aiaa0001=：Ct+。）DnaPDn/DnDnD二：（Dn,-：D=ot=ct-2)2二二（D：DnCL十P-3)Ct2.3“两岸”行列式的计算方法"(D2-1

8、)定义2.3.1形如Dn-aaaaa1aaaax-a-aaa2a+(或Dn=*aaaaaaaa-x-aaa-an),且值等于的行列式称为“两岸”行列式,其计算可化成箭型行列式Dn=x+(ni)a(xa)n°(或Dn=(1+£)【ai注：对于各行各列元素之和相等的行列式.可将第2,3,，n-1列（行）都加到第1（行）（或第2,3,，n-1）列（行）加到第n列（行），则第1（或n）歹U（行）的元素相等,再进一步化为三角或次三角型行列式2.4奇数阶反对称行列式的计算0ai22n一的行列式称为是奇数阶反对称行列队0定义2.4.1形如Dn=-n-ain1a2n0式(其中n为奇数)，此

9、行列式值为0.Vandermonde行列式的计算定义2.5.1111a1a2a3形如Dn须=2a1!2a22a3sn_±n_!n_!a1a2a3an2an的行列式称为是Vandermonde行歹U式，其值为1111a1a?a3a42222例2.5.1计算行列式Dn=a1a2a3a4na-n_2n_2n_2n_2a1a2a3a4nnnna1a2a3a4Dnn=.：-aj)1M:!'inann_2n的值.Vandermonde行歹U解观察可知此行列式貌似定义中的行列式，因此可以想办法构造式然后利用定义中的公式进行计算.111-11X1X2X3.-Xny!na9令f(y)=n_2n

10、_2n_2n_2n_2X1X2X3XnynnnnnX1X2X3XnynnnnnX1X2X3Xnyn="(y-Xi)(Xi-Xj)i七1色：易知原行列式是多项式f(y)=的项系数的yn二项系数的反号，而由上式知yn，项系n数为-'：Xi|(Xi-xj)iz±1m:i：工n故所求行列式的值为Dn=Xi|1(xi-xj)i=±1m:i：*上三角形（或下三角形）行列式的计算a11a12a.n0a22-定义2.6.1形如Dn=«00w-a1nan00a2na21a220:（或Dn=）的««annan1an2annDna11a22a33a

11、nn行列式称为上三角形（或下三角形）行列式，其值为000a1na11a12a1,na1定义2.7.1形如Dn=00a2,na2n或Dn=a21a22ja2,n_20>>>.,.,an1an2annan1000n（n）的行列式称为次三角形行列式，其值为Dn=（-1）2a1na2,nA'an12.7次三角形行列式的计算分块三角形行列式的计算2.8定义2.8.1形如DrrAkkr.kBrrAkk的行列式称为分块三角形行列式,行列式值为an1k0D1“rC11C1BrCrbr1brr<CrCrkB（其中kkI0二条线叉型行列式的计算bn_L定义2.9.1形如D2n出2n

12、2na1Cib1d1的行列式为二条线叉dn型行列式.D2n>2n例2.9.1计算二线型行列式D2n%na1Cib1d1的值.cn解方法一：可将此行列式按照第一行展开，则an1bncn1dn102n1c然后将此两个行列式分别按最后一行和第一行展开，则D2n>2n二andn_1D2(n)-，nbnD2(n)二(andn-cnbn)(andn一品止a1C1b1d1=口i3(aidi一Cibi)方法二：禾ij用Laplace定理，先取定第一行和最后一行找出它们的所有二阶子式，则可知只有一个二阶子式bn00,其余全为零，再依次取定第二行和倒数第二行时，找他们的代数余子式只有零，则:D2n2n

13、=(and例2.9.2dn)(an-1dn1计算行列式d2.依次下去，有Jbn)"一ad1)=ni=1解可直接利用定义2.9.1中的公式代入知2.10箭型行列式的计算定义2.10.1a1b1d1(aidi-cib)的值.D2n2n=(a-b2)n形如N,Ml,M,凶的行列式称为箭型（或爪型）行列式,中实线处均为非零兀素其它地方兀素为零)11110021例2.10.1计算行列式Dn>n=amm的值.0n_101no01解可给该行列式第i(i=1,2，,n-,_1，一，一，.，-1)行分别乘以加到第n行则知原行列式in(nA)11Dn>n=(-1)n!(1-)2na0111例

14、2.10.2计算行列式D(n+)>(n+)=1a'001的值.10a209991o0an解同理与例2.10.1可知D(n杷和平)n二a1a2a3an(a0-1)可直接利用行列式性质将其一条边化为零,从而可根据三角形或次三角形的结果求(在简记iWai参考文献：【1】丘维声.高等代数M.北京：高等教育出版社，2002.【2】王萼芳，石生明.高等代数M.北京：高等教育出版社，2003.【3】钱吉林.高等代数题解精粹M.北京：中央民族大学出版社，2002.【4】徐仲，陆全.高等代数三导丛书M.陕西：西北工业大学出版社,2006.【5】张秦龄,王凤瑞，王廷桢.高等代数思考与训练M.四川：成

15、都科技大学出版社，1991.SpecialDeterminantofCalculationAbstract:Inthispaperappliesthetheorems,charactersandcorallariesofdeterminanttosomecomplicatedandspecialdeterminants,whicharesimplifiedintheprocess.Somemethodsandformulasofsolvingtheparticulardeterminantaresummarized.Inthisway,thetraditionalmeansofcalculatingdeterminants,alwaysbyexpandingprimarychangeaccordingtocertainrows(colums)toreduceexponenttostepdeterminantssuccessivelyorinaccordancewithLaplace-Theorem,arechanged.I