提能拔高限时训练35双曲线

1、提能拔高限时训练35双曲线一、选择题1. 设 F1、 F2 分别是双曲线x2y21的左、右焦点 , 若双曲线上存在点A, 使F1AF2=90, 且a2b2|AF|=3|AF|, 则双曲线的离心率为（）12A.5B.10C.1552D.22解析 : 设 |AF2|=t(t0),则 |AF 1|=3t. |AF 1|-|AF 2|=2t=2a.又 t 2+(3t) 2=4c2, c10 .a2答案:B2. 设双曲线x 2y21(a0,b0) 的离心率为3 , 且它的一条准线与抛物线2的准线重a 2b2y =4x合 , 则此双曲线的方程为（）A. x2y 21B.x2y2112244896C.x22

2、 y2D.x2y 2133136解析 : ec3 , c3a .a而a21, a 21 .cc a= 3 ,c=3.222b=c -a =9-3=6.故双曲线的方程为x 2y231.6答案:D3. 设 a1, 则双曲线 x2y21的离心率 e 的取值范围是（）a2(a 1) 2A.(2 ,2)B.(2, 5)C.(2,5)用心爱心专心D.(2,5 )解析 :ea2( a1) 211)21,a(aa1, 00,b0)的左准线为l, 左焦点和右焦点分别为F和 F;抛物线C的准线为 l,焦点为 F2,C 1 和 C2 的一个交点为 M,则 | F1 F2| MF1| 等于（）| MF1| MF2|用

3、心爱心专心A.-1B.1C.11D.22解析 : 设 M到 l 的距离为 d, 由题意得 |MF2|=d,|MF1|=ed,|MF 1|-|MF 2|=2a,2a2a2ed-d=2a, dc.e 1a | F1 F2 | | MF1 | 2c ed2cc1.| MF1 | | MF2 | eddc 2a2aa c a答案:A7.(2009湖北部分重点中学高三第二次联考) 双曲线的实轴长、虚轴长与焦距的和为8, 则半焦距的取值范围是（）A. 42 -4,4)B.4 2 -4,2 C.(4 2 -4,2)D. 4 2 -4,2)解析 : 设双曲线的方程为x2y21(a0,b0),a 2b2其中 a

4、2+b2=c2, 2a+2b+2c=8,a+b+c=4. (a+b) 22(a 2+b2),(4 -c) 22c2c2+8c- 160c4 2 -4 或 c -42 -4( 负根舍去 ).又a2+b2=c 2, a+bc.而 a+b+c=4,c2, 即 4 2 - 4c0,b0) 的半焦距为 c, 离心率为5 . 若直线 y=kx 与双曲线的一个交a 2b24点的横坐标恰为c, 则 k 等于（）4B.3C.99A.520D.525解析 : 由题意 , 知点 (c,kc)在双曲线上 , c2(kc )21.a 2b2又 c5 , k 2 c29, k 29(c2a2 )9(116)99.a4b2

5、1616c216251625| k |9即 k9,.2020用心爱心专心答案:C9. 设 F1、 F2 为曲线 C1: x2y21 的焦点 ,P 是曲线 C2: x2y 21与 C1 的一个交点 , 则623PF1 ? PF2| PF |?| PF |的值为（）12A. 1B.1C.2D.14333解析 : C1为椭圆 ,ca2b22 ,F1(-2,0),F2(2,0).x 2y21,62解方程组得四组解 , 即 C1与 C2 有四个交点 ( 关于 x 轴、 y 轴对称 ), 不妨取第一象x 2y21,3限的交点P(3,1).22PF1 ? PF2( 2,3311)( 2) (0)(0)122

6、22.| PF1 |?|PF2 |( 23 ) 2(01)2? (23 ) 2(01)2 32222答案:B10. 双曲线 x2y 21 的两个焦点为F1 、 F2, 点 P 在双曲线上 , F 1PF2的面积为3 , 则4PF1 ? PF2 等于（）A.2B.3C.-2D.3解 析 :S F1PF21| PF1| PF2 | sin F1PF2, 再 由 双 曲 线 中 焦 三 角 形 面 积 公 式2S FPF2b2 cotF1 PF2 , 知F1PF2=60,12 | PF1 | PF2|234 .sinF1 PF2用心爱心专心 PF1 F2 的内切圆的圆心必在直线 PF1 F2 的内切

7、圆的圆心必在直线 PF1 F2 的内切圆的圆心必在直线 PF1 ? PF2| PF1 | PF2| ? cos12.F1PF2 42答案:A二、填空题11. 与椭圆 x 2y 21有相同焦点 , 且以 y4 x 为渐近线的双曲线方程为_.49243解析 : 双曲线焦点在x 轴上 , 且半焦距 c4924 5 . 又 b4 , a2b2c2 , a=3,b=4.a3所求双曲线方程为x 2y21.916答案 : x2y 2191612. 设双曲线 x2y 21(a0,b0)的右焦点为 F, 右准线 l 与两条渐近线交于P、Q两点 , 如果a2b2PQF是直角三角形 , 则双曲线的离心率 e=_.解

8、 析 : 由 题 设 ,|yp|=ca2, 即 abb2, 得 a=b, 又 双 曲 线 的 两 条 渐 近 线 的 夹 角 为ccc90, e= 2 .答案 :213. 过双曲线 x2y21(a0,b0)的一个焦点作垂直于渐近线的直线, 与双曲线的两支都相a 2b2交 , 则双曲线的离心率的取值范围是_.解析 : 不妨取渐近线22222aba 0,b0 且 ab) 的两个焦点 ,P 为双曲线右支上异于顶a 2b2点的任意一点,O 为坐标原点 . 下面四个命题:x=a 上 ; x=b 上 ;OP上;用心爱心专心 PF1 F2 的内切圆必通过点 (a,0).其中真命题的代号是_.( 写出所有真命

9、题的代号 )解析 : 设 PF1F2 的内切圆与 PF1F2 的三边PF1,PF 2,F 1F2相切的切点分别为S、 T、 M,则有|PF|-|PF2|=|PS|+|SF|-|PT|-|TF|=|SF|-|TF |=|FM|-|MF|. 又由双曲线的定义知1121212|PF 1|-|PF2|=2a,|F 1M|-|F 2M|=2a. 设点 M 坐标为 (x m,0),则有 (x m+c)-(c-xm)=2a, 求得 xm=a, 即 PF1F2 的内切圆的圆心在直线 x=a 上 , 且与 x 轴相切 , PFF 的内切圆过点 (a,0). 综上所述 , 正确命题的代号12为.答案:三、解答题1

10、5. 已知中心在坐标原点的双曲线C的右焦点为 (2,0), 右顶点为 ( 3 ,0).(1) 求双曲线 C 的方程 ;(2) 若直线 l:y=kx+2 与双曲线 C 恒有两个不同的交点A和 B, 且 OA ?OB 2( 其中 O为坐标原点 ), 求 k 的取值范围 .解: (1)设双曲线方程为x2y21(a0,b0).a2b2由已知得 a=3 ,c=2, b=1.故所求双曲线方程为x2y21.3(2) 将 y=kx+2 代入x2y21, 可得223(1-3k )x -6 2 kx-9=0,由直线 l 与双曲线交于不同的两点, 得13k 20,36(1k 2 )0,故 k2 1 且 k22, 得

11、 x1x2+y1y22.而 x1x2+y1y2=x1x2+(kx 1+2 )(kx2+2 )=(k 2+1)x 1x2+ 2 k(x 1+x2)+2=(k 2+1) 92k ? 62k23k 27 ,13k 213k 23k 21用心爱心专心于是 3k 272,解得 1k23 . 3k 213由得 1k 21,3故 k 的取值范围为 (-1,3) (3 ,1).33216. 设双曲线C: xy21(a0) 与直线 l:x+y=1相交于不同的两点A、B.2a(1) 求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围 ;(2) 设直线 l 与 y 轴的交点为 P, 且 PA = 5 PB , 求 a 的值 .

12、12解 : (1) 由 C 与 l 相交于两个不同的点x 2y21,. 消去 y 并, 知方程组 a 2有两个不同的实数解xy1整理得 (1-a 2)x 2+2a2x-2a 2=0. 1a20,4a48a2 (1a 2 )0,解得 0a2 且 a1. 双曲线的离心率e0a6且 e 2 ,2即离心率 e 的取值范围为 (6, 2)(2(2) 设 A(x 1,y 1),B(x2,y 2),P(0,1),PA =5PB ,12(x ,y-1)=5,y-1).(x211122由此得 x1= 5 x2.12由于 x1、 x2 都是方程的根, 且 1-a 20,172a 2,52x+x =x2x1x2x2

13、121 a212121 a 211 .aa22 ,+ ).2a222a2289 .1 a2 , 消去 x , 得1 a260用心爱心专心 a0, a17. 此时满足0.13教学参考例题志鸿优化系列丛书【例 1】过双曲线 C: x2y 21的右顶点 A 作两条斜率分别为k1、 k2 的直线 AM、 AN交双曲m2线 C 于 M、 N 两点 , 其中 k 、 k 满足关系式2且 k +k 0,kk .k k=-m11212122(1) 求直线 MN的斜率 ;2时 , 若 MAN=60, 求直线MA、 NA的方程 .(2) 当 m=2+ 3解: (1)双曲线 C: x2y 21的右顶点 A 坐标为

14、(1,0),m2设直线 MA方程为 y=k1(x-1),代入 m2x2-y 2-m2=0 中 ,22222222222则 mx -k 1 (x-1)-m =0,整理得 (m -k 1)x +2k1 x-(k 1+m)=0,由根与系数的关系可知k12m2,xmx=a2m2k1而 xa=1, 又 k1k2=-m2, xMk12m2k12k1 k2k1k2 .k12m2k12k1k2k1k2于是 ym=k1(x m-1)= k1( k1k21)2k1 k2 .k1k2k1k2同理可知 yN2k1k2 , 于是有 yM=yN,k1k2MNx轴 , 从而直线 MN的斜率 kMN=0.(2) MAN=60

15、, 说明AM到 AN的角为 60或 AN到 AM的角为 60,则 k2k1或 k1k23 .1 k1k23k1k21又 k1k2=-(2+3 ),k1k2,从而k2 k133,k1k2( 23),则求得k11,或 k123,k2( 23)k21,因此直线 MA,NA的方程为 y=x-1,y=-(2+3 )(x-1) 或 y=(2+ 3 )(x-1),y=-(x-1).用心爱心专心【例 2】双曲线 x2y21(a1,b0)的焦距为 2c, 直线 l 过点 (a,0)和 (0,b), 且点 (1,0) 到直a2b2线 l 的距离与点 (-1,0)到直线 l 的距离之和 s 4 c, 求双曲线的离心

16、率 e 的取值范围 .的方程为 xy5解 : 直线 l1 , 即 bx+ay-ab=0. 由点到直线的距离公式, 且 a1, 得到点 (1,0)到ab直 线l的 距 离d1b(a1),同理得到点(-1,0)到 直 线 l的 距 离a2b2d2b(a1),s=d 1+d2=2abb22ab .a2b2a2c由 s 4 c, 得 2ab4 c , 即 5ac2a22c2.5c5于是得 5e21 2e2 , 即 4e4-25e 2+250.解不等式 ,得 5e25.4由于 e10, 所以 e 的取值范围是5e5 .2【例 3】已知焦点在 x 轴上的双曲线 C的两条渐近线过坐标原点 , 且两条渐近线与

17、以点A(0,2 )为圆心 ,1 为半径的圆相切, 又知 C 的一个焦点与A 关于直线y=x 对称 .(1) 求双曲线 C 的方程 ;(2) 若 Q 是双曲线 C 上的任一点 ,F 1、 F2 为双曲线 C 的左、右两个焦点 , 从 F1 引F1QF2 的平分线的垂线 , 垂足为 N,试求点 N的轨迹方程 .解 : (1) 设双曲线C的渐近线方程为y=kx,即 kx-y=0,该直线与圆x2+(y-2 ) 2=1 相切 ,双曲线 C的两条渐近线方程为y=x.故设双曲线 C 的方程为 x2y 21,a2a 2又双曲线 C 的一个焦点为 (2 ,0), 2a2=2,a 2=1.双曲线C的方程为x2-y 2=1.(2) 若