等比数列第一课时优质课

1、2.4 等比数列等比数列温故知新温故知新如果一碗面由如果一碗面由256256根面条组根面条组成成, ,请问需要拉面师傅拉几请问需要拉面师傅拉几次才能得到次才能得到? ?我国古代一些学者提出：我国古代一些学者提出：“一尺之棰，日取其半，万世不一尺之棰，日取其半，万世不竭。竭。”即一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完，这即一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完，这样每天剩下的部分都是前一天的一半。如果把样每天剩下的部分都是前一天的一半。如果把“一尺之棰一尺之棰”看成单位看成单位“1”，那么得到的数列是，那么得到的数列是, ,. . . .2 21 1, ,. . . . . . ., ,1

2、16 61 1, ,8 81 1, ,4 41 1, ,2 21 11 1, ,1 1n n某种汽车购买时的价格是某种汽车购买时的价格是10万元，每年的折旧率是万元，每年的折旧率是15%，这，这辆车各年开始时的价值（单位：万元）分别是：辆车各年开始时的价值（单位：万元）分别是：10，100.85,100.852 ,100.853,拉面时前拉面时前9次拉伸成的面条根数构成一个数列次拉伸成的面条根数构成一个数列: 上面数列有什么上面数列有什么?从从第二项第二项起起,每一项与前一项的每一项与前一项的比比都等于都等于同一个常数同一个常数。1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256

3、10，100.85,100.852 ,100.853,1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256) 2(1nqaann或)(*1Nnqaann其数学表达式其数学表达式等比数列定义等比数列定义 一般地，如果一个数列从第一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它项起，每一项与它的前一项的的前一项的 等于等于 ，那么这个数列就叫，那么这个数列就叫做做等比数列等比数列。这个常数叫做等比数列的这个常数叫做等比数列的公比公比，通常用字母，通常用字母q表示。表示。比比同一个常数20na(判断一个数列是否为等比判断一个数列是否为等比数列的依据数列的依据)0q 1.已知等比数列已知等比数列

4、 an ：(1) an 能不能是零？能不能是零？(2)公比公比q能不能是能不能是1？2.用下列方法表示的数列中能确定用下列方法表示的数列中能确定 是等比数列的是是等比数列的是 . 1，-1，1，(-1)n+1 ； 1，2，4，6； a，a，a，a； 已知已知a1=2，an=3an+1 ； 2a，2a，2a，2a.3.什么样的数列既是等差数列又是等比数列？什么样的数列既是等差数列又是等比数列？不能不能能能非零的非零的 常数列常数列 思考思考1：23,2 ,4,8,.mmmm思考思考2：若若a,G,b三个数成等比数列，那么这三个数成等比数列，那么这 三个数三个数有何恒等关系？有何恒等关系？结论：结

5、论：G2=abG叫做叫做a,b的等比中项的等比中项(1)6(2)13等比中项有两个等比中项有两个名称名称等等 差差 数数 列列等等 比比 数数 列列通项通项公式公式dnaan) 1(1daa12 d2aa13 d3aa14 由此归纳等差数列的通由此归纳等差数列的通项公式可得：项公式可得： 法法1 1：不完全：不完全归纳归纳法法d)1n(aa1n 1n1nqaa na 4a法法1 1：不完全：不完全归纳归纳法法qaaqaa1212 3a由此归纳等差数列的通由此归纳等差数列的通项公式可得：项公式可得： a a1 1q q2 2a a1 1q q3 3a a1 1q qn-1n-1名称名称等等 差差

6、 数数 列列等等 比比 数数 列列通项通项公式公式dnaan) 1(1daa,2n12 daa23 daa34 把这把这n-1个式子个式子相加相加，得：，得： 法法2 2：累加法：累加法d)1n(aa1n daa1nn 当当n=1时，时，a1=a1 上式成立上式成立 *1nNn,d)1n(aa qaa,2n12 法法2 2： 法法名称名称等等 差差 数数 列列等等 比比 数数 列列通项通项公式公式dnaan) 1(11n1nqaa daa,2n12 daa23 daa34 把这把这n-1个式子个式子相加相加，得：，得： 法法2 2：累加法：累加法d)1n(aa1n daa1nn 当当n=1时，

7、上式成立时，上式成立 *1nNn,d)1n(aa qaa,2n12 法法2 2： 累乘累乘 法法qaa23 qaa1nn 把这把这n-1n-1个式子个式子相乘相乘，得：，得：1n1nqaa 当当n=1时，上式成立时，上式成立 *1n1nNn,qaa 等比数列的通项公式：等比数列的通项公式： （nN,q0）11nnaa q例例1：在等比数列：在等比数列an中：中：1159115(1)2,3,162,;1(2)3,211,932,8,naqanaqaaqaaa 已知求已知，求 ；已知求 ；已知求q(3)(4)1,11naa qaq annn对于通项公式来说，有四个量，可以知三求一n=5a5=316

8、a1=63q=2例例2：在等比数列：在等比数列an中：中：362,16,naaa已知求1n1nqaa 解：解：2n1nn12135162221a2q21a2qaa16qaa 此题解法是利用数学的函数与方程思想，函数此题解法是利用数学的函数与方程思想，函数与方程思想是数学几个重要思想方法之一，也是高与方程思想是数学几个重要思想方法之一，也是高考必考的思想方法，应熟悉并掌握。考必考的思想方法，应熟悉并掌握。名称名称等等 差差 数数 列列等等 比比 数数 列列通项通项公式公式引申引申 *mnNm,nd)mn(aa *,n mnmaa qn mNd)1m(aa1m d)1n(aa1n d)mn(aam

9、n d)mn(aamn 可得可得已知等差数列已知等差数列a an n中，公中，公差为差为d d，则则a an n与与a am m（n,mn,m N N* *）有何关系？有何关系？已知等比数列已知等比数列a an n中，公中，公比为比为q q，则则a an n与与a am m（n,mn,m N N* *）有何关系？有何关系？an=a1qn-1am=a1qm-1mnmnqaa *mnmnNm,nqaa 可得可得*6 36333323:,16222 22n mnmnnnnaa qn mNaa qqqaaq另解例例2：在等比数列：在等比数列an中：中：362,16,naaa已知求数数 列列等等 差差

10、数数 列列等等 比比 数数 列列定定 义义公差（比）公差（比）通项公式通项公式 引申引申 0qqaa,2n1nn 1n1nqaa mnmnqaa daa,2n1nn d)1n(aa1n d)mn(aamn Rd 公差公差0q 公比公比类比类比小结小结例如：数列例如：数列an的首项是的首项是a1=1,公比公比q=2,则通则通项项公式是：公式是：上式还上式还可以写成可以写成nna221可见，这个等比数列可见，这个等比数列的图象都在函数的图象都在函数 的图象上，如右图所示。的图象上，如右图所示。xy221 0 1 2 3 4 nan87654321 的点函数的图象上一些孤立的图象是其对应的等比数列结

11、论na：思考思考4：等比数列的通项公式与函数有怎样的关系？等比数列的通项公式与函数有怎样的关系？-12nna33 ,nnnnaaa例 ：已知的通项公式求证：是等比数列.31.:,nnnnana已知数列的前 项和为S求证：数列是式等比数列变定义法，只要看定义法，只要看1(nnaq qna是一个与 无关的非零常数）1111312naS 分析：当时，；111111231 (31)333 332 3nnnnnnnnnnnaSS 当时，1112 32 3.nnnnnaa当时，也满足1212 33(2).2 3nnnnana为常数当堂达标：1.1.下面有四个结论：下面有四个结论：（1 1）由第一项起乘相同

12、常数得后一项，这样所得到的数列一定为等比）由第一项起乘相同常数得后一项，这样所得到的数列一定为等比数列；数列；（2 2）常数列）常数列b,bb,b, ,b b一定为等比数列；一定为等比数列；（3 3）等比数列）等比数列 中，若公比中，若公比q=1q=1，则此数列各项相等；，则此数列各项相等；（4 4）等比数列中，各项与公比都不能为零。）等比数列中，各项与公比都不能为零。其中正确结论的个数是（）其中正确结论的个数是（）. 0 . 0 . 1 . 1 . 2 . 2 .3.32. 2. 等比数列等比数列 中中, , ,公比公比q=3q=3，则通项公式（，则通项公式（ ）. . . . . . . .3. 3. 在等比数列在等比数列 中，中， ，则，则 . .4. 4. 的等比中项为：的等比中项为： na232+ 3与14a 14 3n3n13 4n4nnana256,48aa8a C C384384D D1数数 列列等等 差差 数数 列列等等 比比 数数 列列定定 义义公差（比）公差（比）通项公式通项公式 引申引申