高中导数练习题

1、【考点透视】1 . 了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等)；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念.2 .熟记基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则.了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数.3 .理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值.【例题解析】考点1导数的概念对概念的要求：了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念.1 3快J 1 .f (x)是f (x) =

2、X3 +2x+1的导函数，则f (1)的值是.3解答过程:f (x) =x2 +2,二 f (1)=(1 2 22 =3.区J 2.设函数f(x) 上a,集合M=x|f(x)0,若M至P,则实数a的取值范围是()x -1A.(-x,1)B.(0,1)C.(1,+ x) D. 1,+ f解答过程由 x a 1 时,1 x a;当 a1 时,a x1.区J 3.若曲线y=x4的一条切线l与直线x+4y_8=0垂直，则l的方程为()A- 4x-y-3=0B- x+4y-5=0C . 4x-y+3=0D. x+4y+3=0解答过程与直线x+4y 8=0垂直的直线l为4xy+m=0,即y =x4在某一点

3、的导数为4,而y = 4x3,所以y=x4在(1 , 1)处导数为4,此点的切线为4x-y-3=0.故选A.例4.已知两抛物线 C1 ： y =x2+2x,C2 : y =x2+a , a取何彳t时G , C2有且只有一条公切线，求出此时公切线的方程.解答过程：函数y =x2 +2x的导数为y =2x+2 ,曲线C1在点P( x1,xj +2x1 )处的切线方程为y -(x12 +2x1) =2(x1 +2)(x -x1)，即 y =2(x1 +1)x -x12曲线C1在点Q (x2,-x22 +a)的切线方程是y _(02+a) =_2x2(x_x2)即2y=-2x2x+x2 +a若直线l是

4、过点P点和Q点的公切线，则式和式都是l的方程，故得x1 +1 =/2,42 =x22 +1，消去 乂2得方程，2xi2 +2xi +1 +a=0若 = 4 _4父2(1+a) =0 ,即a=_!时，解得x =，此时点P、Q重合.一 21 一 2:当时a _ 1, C/DC,有且只有一条公切线，由式得公切线方程为vx 1 .a 2y x 24考点3导数的应用1.求函数的解析式；2.求函数的值域；3.解决单调性问题；4.求函数的极值(最值)；5 .构造函数证明不等式.典型例题例5.函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f (x)在(a,b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a,可内

5、有极小值点()A. 1个B. 2个C . 3个D . 4个解答过程由图象可见，在区间(a,b)内的图象上有 2个极小值点.故选B.快J 6 .设函数f (x) =2x3 +3ax2 +3bx +8c在x = 1及x = 2时取得极值.(I)求a、b的值；2(n)右对于任意的x = 0,3,都有f (x) 0；当 xw(1,2)时，f (x) c0;当 xw(2,3)时，f r(x)0.所以，当 x=1 时，f (x)取得极大值 f(1)=5+8c,又 f (0) =8c, f(3) = 9+8c.则当x 0,3时，f(x)的最大值为f(3) = 9+8c.因为对于任意的x w幻,3 ,有f (

6、x) c2恒成立，所以 9 +8c c2,解得 c9,因此c的取值范围为(3, _1)|J(9,十g).区ij 7 .设函数f(x)=ax (a+1)ln( x+1),其中a -1 ,求f(x)的单调区间考查目的本题考查了函数的导数求法，函数的极值的判定，考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力解答过程由已知得函数f(x)的定义域为(_1，土C),且f(x)=丝9之_1),x，1(1)当1MaM0时，f(x) 0时，由f(x)=0,解彳导x af (x)、f (x)随x的变化情况如下表一0+极小值从上表可知当xW(T1)时，f,(x)(0,函数f(x)在(J)上单调递减., a,a7

7、当xW(L,七C)时，f (x)A0,函数f (x)在J,也C)上单调递增. a a，综上所述：当 TWaW0时，函数f(x)在(一1,十力)上单调递减.当aA0时，函数f (x)在(t,1)上单调递减，函数 f (x)在(1,如c)上单调递增 ，aa典型例题2:1,问该长方体的长、例8.用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？考查目的本小题主要考查函数、导数及其应用等基本知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力解答过程设长方体的宽为 x (m),则长为2x(m),高为 18 12x3h= =4.5 一3x(m

8、)0Kx j.故长方体的体积为从而 V (x) =18x -18x2(4.5 3x) =18x(1 - x).令V (x) =0,解得x=0 (舍去)或x=1 ,因此x=1.当 0Vx0；当 1x2 时，V (x)0时，f(0)为极大值C、b=0D、当a0 且 a w 1)的单调区间 .16 .在半彳至为R的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为 时它的面积最大.三、解答题17 .已知曲线C: y=x3 3x2+2x,直线l:y=kx,且l与C切于点(xo,yo)(x0W 0),求直线l的方程及切点坐标18 .求函数 f(x)=p 2x2(1-x) P(p 6 N+),在0, 1内的最大值.19

9、 .证明双曲线xy=a 2上任意一点的切线与两坐标轴组成的三角形面积等于常数20 .求函数的导数(1)y=(x2 2x+3) e2x;(2)y=3 _、13 m/s的速度再开脚泞同，求21 .有一个长度为5 m的梯子贴靠在笔直的墙上，假设其下端沿地板以当其下端离开墙脚1.4 m时，梯子上端下滑的速度.22 .求和 Sn=1 2+22x+32x2+ - +n2xn 1,(xw 0,n C N*).23 .设f(x)=ax3+x恰有三个单调区间，试确定 a的取值范围，并求其单调区间24 .设x=1与x=2是函数f(x)=alnx+bx2+x的两个极值点.(1)试确定常数a和b的值；(2)试判断x=

10、1,x=2是函数f(x)的极大值还是极小值，并说明理由25 .已知a、b为实数，且bae,其中e为自然对数的底，求证：abba.26 .设关于x的方程2x2 ax 2=0的两根为“、B (a v B),函数f(x)=4xa . x2 41(1)求f(a)- f(3)的值；(2)证明f(x)是a , 3 ：上的增函数；(3)当a为何值时，f(x)在区间“，3 上的最大值与最小值之差最小？【参考答案】一、1.解析：v =esinx cosxcos(sin x) cosxsin(sin x) ,y (0)= e0(1 0)=1.答案：B27 解析：设切点为(xo,yo),则切线的斜率为k= 2，另一

11、方面，y =(9)= 雄，故 xox - 5 (x -5)2y (x0)=k,即U_yo_xo49或x02+18 xo+45=0 得x0(1) = 3,y0=15,对应有y0(1)=3,yJ2)=-15+9=3,(xo 5)2 x0 x(x0，5)_15 5 5因此得两个切点 A(-3, 3)或B(15,0),从而得v (A)=-4 3 =1及y (B尸-4=，由于切5(-3 5)3(15 5)225线过原点，故得切线：lA：y= x或lB：y= _x_.25答案：A28 解析：由lim f (0) = 1，故存在含有 0的区间(a,b)使当xC (a,b),xw。时皿 0,当xC(0,b)时

12、，f (0) 1 或 xv2,f (x)= logae .(3x2+5x2) =(6x+5) 1ogae,33x2 5x2(3x -1)( x 2)若 a1,则当 x 1 时，logae0,6x+5 0,(3x 1)(x+2) 0,，f (x)0,函数 f(x)在(1，+8)上是增函数，xv 2时，f (x) 1时，f (x)0, .-.f(x)在(一8, 2)上是增函数.答案：(一8, 2)A16.解析：设圆内接等腰三角形的底边长为2x,高为h,那么h=AO+BO = R+.R22,解得/x2=h(2R h),于是内接三角形的面积为飞 久I7ylS=x - h= (2Rh -h2) h w(

13、2Rh3 _h4),1从而 S =1(2Rh3 _h4)(2Rh3 h4). 1. 21 3 、-22 ,3、 h (3R -2h)=_(2Rh -h ) 2(6Rh -4h ):2 (2R -h)h3令S =0,解得h= 3 R,由于不考虑不存在的情况，所在区间(0,2 R)匕列表女I卜:2h(0, 3R) 22R 2(0,2R)2S+0一S增函数最大值减函数由此表可知，当x=3R时，等腰三角形面积最大.2答案：3R2二、17.解：由 l 过原点，知 k= M.(x w 0),点(x,yo)在曲线 C 上，yo=xo3 3x02+2xo, xo曳=xo23xo+2,y，=3x26x+2,k=

14、3xo2 6xo+2xo又 k=犯，3xo2 6xo+2= xo2 3xo+2,2 xo2 3xo=o, /. xo=o 或 xo=_3 .xo2由x丰o,知xo = 2 , 2yo=( .3)3 3(3)2+2 .3=- 3. . k=_yo_ = -1.2228 xo4- l 方程 y= 1x 切点(3 , 3 ). 42818. f(x) =p2x(1 -x)p12 -(2 p)x,令 f (x)=0 得，x=0 , x=1 , x= 2,在0, 1上，f(0)=0 , f(1)=0 , f(X)max =4(d-)2 p .2 p19.设双曲线上任一点 P (xo, y)2ak =y

15、|x X0 = -2,X 02切线方程y_y0 =a)(x-Xo) ,Xo令 y=0 ,则 x=2x o令 x=0 ,则 v 2a2 y =x0,12-S=_|x|y|Ma2220 .解：(1)注意到y0,两端取对数，得lny=ln(x2 2x+3)+ln e2x=ln(x2 2x+3)+2 x,(2)两端取对数，得ln|y|= l(ln|x|- ln|1 x|), 3两边解x求导，得21 .解：设经时间t秒梯子上端下滑 s米，则s=5g5量,当下端移开1.4 m时，t0=1J=l,3151又 s =1 (25 9t2) . ( 9 2t)=911,2 J25-9t2所以 s (t0)=9X

16、71=0.875(m/s).1525 -9 ( (1 -x)23.解：f (x)=3ax2+1.若a0,f (x)0对xC ( 8,+ oo)恒成立，此时f(x)只有一个单调区间，矛盾.若 a=0,f (x)=1 0,. xC (8 ,+oo),f(x)也只有一个单调区间，矛盾 . 若av0f (x)=3a(x+)(x)，此时f(x)恰有三个单调区间. 3|a|.3|a| a v 0且单调减区间为(-00 ,一 1 )和(1 ,+), 3|a|.3|a|)21522.解：(1)当 x=1 时，Sn=1 2+22+32+n2= 1 n(n+1)(2 n+1),当 xw 1 时，1+2x+3x2+

17、nxn-16叱1士曳r,两边同乘以x,得(1 -x)2x+2x2+3x2 +nxn=x-(n+1)xn*+nxn* 两边对 x 求导，得(1 -x)2Sn=1 2+22x2+32x2+n2xn-1_ 1 +x (n +1)2xn +(2n2 -+2n M)xn* n2xn卡单调增区间为(一,1).3|a|3|a|24.解：f (x)=a+2bx+1, x(1)由极值点的必要条件可知：f (1)=f (2)=0，即a+2b+1=0，且f+4b+1=0,2解方程组可得 a= 2 ,b = 1, f(x)= 2 lnx 1 x2+x,3636(2)f (x)=?x-11x+1，当 xC (0,1)时，f (x)0,当 xC (2,+ 8)时，/ (x) 33V0,故在x=1处函数f(x)取得极小值5,在x=2处函数取得极大值 4-2 In2. 63325 .证法一：bae,，要证 abba,只要证 blna alnb,设 f(b)=blna alnb(be),贝Uf (b)=lna b ae,，lna 1,且 a v 1,，f (b)0.，函数 f(b)=blna alnb 在(e,+ )上是增函数， bbf(b) f(a)=alna alna=0,即 blna alnb0, blnaalnb, . abb