2019年高考全国卷Ⅱ文科数学

1、2019年普通高等学校招生全国统一考试文科数学本试题卷共5页。考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考 生信息条形码粘贴区。2 .选择题必须使用 2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3 .请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4 .作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5 .保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸 刀。、选择题：本题共12小题，每小题5分，共6

2、0分。在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的。1 . 设集合 A=x|x1 , B =x|x <2,则 Ad B =D. 0D. -1 -2iD. 50A.(1T)B.(f2)C.(1,2)2 .设 z =i(2 +i)，则 z =A.1 +2iB,-1 +2iC,1 -2i3 . 已知向量 a =(2,3) , b =(3,2),则 | ab |二A.尬B.2C.5&4 .生物实验室有5只免子，其中只有3只测量过某项指标.若从这5只免子中随机取出B. 35只，则恰有2只测量过该指标的概率为C. 255 .在一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测.甲：我的成

3、绩比乙高,乙：丙的成绩比我和甲的都高, 丙：我的成绩比乙高.成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确.那么三人按成绩由高到低的次 序为A.甲、乙、丙B.乙、甲、丙C.丙、乙、甲D.甲、丙、乙6 . 已知函数f(x)为奇函数，且当 x>0时，f(x) =ex 1 ,则当x<0时，f(x) =A . e, TB.e*+1C.-e, -1D.-e'+17 .设a , 3为两个平面.则a / 3的充要条件是A. a内有无数条直线与3平行B. a内有两条相交直线与3平行C. a, 3平行于同一条直线D. a, 3垂于同一平面8 .若x1 =耳，x2 =M是函数f （x） =s

4、in ccx（6 >0）两个相邻的极值点，则 ® = 44A. 2B. 3C. 1D.-22229 .若抛物线y2 =2px(p >0)的焦点是椭圆 +上=1的一个焦点，则p=3p pA. 2B. 3C. 4D. 810 .曲线y=2sinx+cosx在点（n,"）处的切线方程分为A . x -y -n-1 =0B. 2x-y -2n-1=0C. 2x+y2n+1=0D. x + y-n + 1=011 .已知 aW(0,负，2sin2 口 =cos2o(+1 ,则 since =A. 1B.春2211.设F为双曲线。一4=1( a >0,a bC.b &

5、gt;0）的右焦点，33O为坐标原点，以D.运5OF为直径的圆与222 .圆x +y =a教育P, Q两点.若|PQ|=|OF|,则C的离心率为d. 75二、填空题：本题共 4小题，每小题5分，共20分。2x +3y -6 > 0,13 .若变量x, y满足约束条件x+y-3W0,则z=3x-y的最大值是 （y -2< 0,10个车次的正14 .我国高铁发展迅逃，技术先进.经统计，在经停某站的高铁列车中，有点率为0.97,有20个车次的正点率为 0.98,有10个车次的正点率为0.99.则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为 .15 .9BC的内角 A, B, C的对边分

6、别为 a, b, c.已知bsin A+acosB =0 ,贝U B =.16. 中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代装之,印信的形状多为长方体，正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1 .则该半正多面体共有个面，其棱长为 .（本题第一空2分，第二空3分.）图1图2三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤。 第1721题为必考题, 每个试题考生都必须作答。第22

7、、23题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题：共 60分。17. (12 分)如图，长方体ABCDAiBiCiDi的底面ABCD是正方形，点E在 棱 AAi 上，BEJECi.(1)证明：BE，平面 EBiCi；(2)若AE=AE, AB =3,求四棱锥 E BBiCiC的正弦值.18. (i2 分)已知an是各项均为正数的等比数列，ai = 2 , a3 =2a2 +i6 .(i)求an的通项公式；(2)设bn=log2an,求数列bn的前n项和.19. (i2 分)某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了 i00个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率

8、y的频数分布表.y的分组0.20, 0)0, 0.20)0.20,0.40)0.40,0.60)0.60,0.80)企业数22453147(i)分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例;(2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).(精确到0.01)附：774 之8.602.20. (12 分)22x y 已知点Fi, F2是椭圆C: -2+0=1 (abA0)的两个焦点，P为C上的点，。为坐 a b标原点.(1)若APOFz为等边三角形，求 C的离心率；(2)如果存在点 巳使得PFi .LPF2 ,且F1PF2的

9、面积等于16,求b的值和a的取值21. (12 分)已知函数 f (x) =(x-1)ln x-x 一1 .证明：1 1) f(x)存在唯一的极值点；2 2) f(x)=0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第 一题计分。22 .选彳4 4:坐标系与参数方程(10分)极坐标系中，O为极点，点M(R,国)(自>0)在曲线C： P = 4sin。上，直线l过点A(4,0)且与OM垂直，垂足为 P.(1)当国 时，求自及l的极坐标方程；3(2)当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程.23 .选

10、彳45:不等式选讲(10分)已知 f (x) 1 x _a | x | x-2 | (x -a).(1)当a=1时，求不等式f(x)<0的解集；(2)若xE(g,1)时，f(x)<0,求a的取值范围.文科数学试题参考答案一、选择题1. C2. D3. A4. B5. A7. B8. A9. D二、填空题3 二13. 914. 0.9815. 一410. C 11. B16. 26, V2-16. D12. A三、解答题17. (12 分)(1)由已知得B1C1,平面ABB1A1, BE匚平面ABB1A1,故 B1C1 _BE.又BE_LEG ,所以BE，平面EBG.(2)由(1)知

11、/ BEB1=90°.由题设知 Rt9BERt祥1B1E,所以 /AEB=/AEB =45、故 AE=AB=3 , AA1 =2AE =6 .作 EF _LBB ,垂足为 F,则 EFL平面 BBGC ,且 EF =AB=3.1所以，四棱锥 E BBGC的体积V =父3父6父3=18.318. (12分)(1)设an的公比为q,由题设得2q2 =4q+16,即 q2 -2q -8=0 .解得q =-2 (舍去)或q=4.因此小的通项公式为an =2M4n=22n(2)由(1)得 bn =(2n -1)log22=2n -1,因此数列bn的前r®和为1+3+111+2n-1

12、=n .19. (12分)(1)根据产值增长率频数分布表得，所调查的100个企业中产值增长率不低于 40%的企14 7业频率为=0.21.1002广值负增长的企业频率为 =0.02.100用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21% ,产值负增长的企业比例为 2%._1(2) y =(-0.10父2 +0.10父24+0.30父53 + 0.50父14+0.70父7) =0.30 , 10021 ：- 2s =之 ni (y -y ) 1 100100 1(-0.40)2 2 (-0.20)2 24 02 53 0.202 14 0.402 7=0.0296

13、,s =。0.0296=0.02父？74 之0.17 ,所以，这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为20. (12 分)(1)连结PF1 ,由aPOFz为等边三角形可知在 尸干尸2中,30%, 17%./F1PF2 =90 = ,PF2 =c,PFi =& ,于2a = PFj+|PF2 =(T3+1)c,故 C 的离心率是e=- = 3 -1. a(2)由题意可知，满足条件的点1 51y12c=16,c|y|=16,222x +y =c , 22x y一 十 J 12,2 )a byx -cP(x, y)存在当且仅当22二十4=1,即a2b2由及a2 =b2 +c2得y2b

14、42-7,又由知y = c鸟，故b = 4. c2.10a 99.00.0999由得 x =(c -b ),所以 c >b ,从而 a =b +c > 2b =32 ,故 a> 4V2 . c当b =4 , a > 4应 时，存在满足条件的点 P.所以b=4, a的取值范围为4后收).21. (12 分)(1) f(x)的定义域为(0, +吧). x -11f (x) = Inx -1 =lnxxx1 因为y=lnx单倜递增，y=单调递减，所以 f'(x)单调递增，又 (1) = 1<0,x1 In 4 -1f'(2)=ln2 =>0,故存在

15、唯一小三(1,2),使得 f(%)=0.2 2又当x<x0时，f'(x)<0, f(x)单调递减；当x>x0时，f'(x)A0, f(x)单调递增.因此，f (x)存在唯一白极值点.(2)由(1)知 f (x° )<f(1)=-2，又 f (e2 )=e2 -3>0,所以 f(x)=0 在(x°，/)内存在唯一根x =：.由 口 >x0 >1 得 1 <1 <x0. a一 1111 f (： ) 一 1 一一又 f (一) =( 1)ln 一 1 =0 ,故一是 f (x) =0 在(0,x。)的唯一根.

16、a a a a aa综上，f(x) =0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数22.(10分)(1)因为M(R )在C上,当吼，一时,3由已知得 |OP|=|OA|cos =2.3P0 =4sin =2 3.3设 Q(P,e)为l上除 P的任意一点.在 RtOPQ中 Pcos© E) TOP|=2,3经检验，点P(2,-)在曲线Pcos(0-)=2±.所以，l的极坐标方程为 Pcos(3 -)=2. 333(2)设 P(R8),在 RtOAP 中，|OP |qOA|cos6=4cos& 即 P=4cos6.因为P在线段OM上，且AP _lom ,故日的取值范围是-,-.一4 2所以