椭圆常用结论及其推导过程

1、22椭圆中重要结论椭圆中的一些不等关系22(1)设椭圆(+4=1(a>b>0), Pl%,外)是椭圆上任意一点，弓才2为 a b椭圆的两个焦点，则：-a E % w a , -b < y0 < b22P是椭圆上的一点且例已知Fi,F2是椭圆C:勺+=1(abA0)的左右焦点, a bPFil_PF2=c2,则此椭圆离心率的范围是b < PO <a (其中上下顶点距离坐标原点最近，左右顶点距离坐标原点最远) PF1 - PF2| M2c.例 若椭圆上存在一点P,使得P到两个焦点的距离之比为2:1,则此椭圆离心率的取值范围是.1,1)3到左焦点最近的点是左顶点，

2、最远的是右顶点 .到右焦点最近的是右顶点，最 远的是左顶点.例 已知椭圆C: X2+y2 =1(a Ab>c>0)的左右焦点分别为Fi,F2,若以F2为圆 a b心，b_c为半径作圆F2,过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T ,且PT的.端最小值不小于，3(a-c),则椭圆的离心率取值范围为 2过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为2应 a椭圆焦点三角形的结论22(1)已知椭圆方程为、+4=1(a >b >0),两焦点分别为匕尸2,设焦点三角形 a b21PF1F2 中/F1PF2 =3则 S告PF2 =b2tan.2例已知Fi,F2是椭圆M +,ab2

3、= 1(ab >0)的两个焦点，P为椭圆上一点，且PFi 1 PF2 ,若UPF1F2面积为9,则短轴长为.322练习椭圆-y-94=1的焦点为Fl,F2,点P为其上的动点，当/F1PF2为钝角时,点P的横坐标的取值范围为, 3<5 3.5、 .（一不丁）22(2)已知椭圆方程为、+ l=1(ab >0),左右两焦点分别为F1，F2,设焦点三 a b角形PF1F2,若PF1LPF2I最大，则点P为椭圆短轴的端点，且最大值为a2.=1(a > b a 0)的两焦点分别为F1, F2，若椭圆上存在一点P,使得 PF1LPF2|=2b2,则椭圆的离心率e的取值范围,2,1)(

4、3)已知椭圆方程为22、+与=1(a A b A 0),左右两焦点分别为F1，F2,设焦点三 a b角形PF1F2,若NF1PF2最大,则点P为椭圆短轴的端点22例 已知椭圆x2+%=1(a >b>0)的两焦点分别为 匕尸2,若椭圆上存在一点P, a b使得/F1PF2=90 0则椭圆的离心率e的取值范围、.3x2(4)已知椭圆万程为2 a2+ y2 =1(ab>0),两焦点分别为Fi，F2,设焦点三角形 b2PF1F2 中 NF1PF2 =8,则 cos。至 1 -2e2.22例 已知椭圆x2+与=1(a >b>0)的两焦点分别为 匕尸2,若椭圆上存在一点P,

5、a b使得/F1PF2 =1200，则椭圆的离心率e的取值范围.32，1)三椭圆的中点弦问题 22(1)在椭圆:+4=1(a >b>0)中，若直线l与椭圆相交于M , N两点，点 a bP(X0, %)是弦MN的中点，弦MN所在的直线l的斜率为，则kMNNX a22(2)在椭圆y2 + t=1(aAb>0)中，若直线l与椭圆相交于M , N两点，点 a bP(Xo, yo)是弦MN的中点，弦MN所在的直线l的斜率为，则2kyo -RmnLI- 2 72X b2232例1椭圆x +y =1,以点M(-1,2)为中点的弦所在直线的斜率为16922例2已知椭圆E : 4+4=1(a

6、>bA0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交E a b于A,B两点.若AB的中点坐标为(1-1),则椭圆的方程为 .18922练习1已知椭圆L+2=1的一条弦的斜率为3,它与直线x =的交点恰为这 75 25211条弦的中点M ,则M的坐标为 .(-,) 2222练习2已知椭圆y +x =1,则它的斜率为3的弦中点的轨迹方程为 75 255.3X y = 0( 一：二 x :二2(综合题) 已知椭圆E过点A(2,3),对称轴为坐标轴，焦点F1,F2在x轴上,、.1离心率e =.222(1)求椭圆E的方程；±+L=i16 12(2)求NF1A52的角平分线所在的直线l的方程；

7、2x-y-1=0(3)在椭圆上是否存在关于直线l对称的相异的两点？若存在，请找出；若不 存在，说明理由.(不存在)四 椭圆与直线的位置关系及其弦长公式xy 练习1已知椭圆C: 土+ y2 =1 ,直线l过点E(-1,0)且与椭圆相交于A,B两点, 是否存在AOB面积的最大值，若存在，求出AOB的面积，若不存在，说明 理由.右椭圆 2 +，2 =1(a >b >0),直线 l ： y =kx+b(k #0)与椭圆父于 A(xi,y1), a bXi -次或AB =1 +| I yi - y2B(X2,y2)两点,则弦AB的长度为：AB = Ji +k2例 设椭圆的右焦点为F ,过F的直线l与椭圆C相交于A, B两点，直线l的倾 斜角为 60 : AF = 2FB.(1)求椭圆的离心率；.一 15(2)如果AB =一