函数反函数对数及对数函数

1、函数一、函数：1函数的概念(1)函数的定义：设是两个非空的数集，如果按照某种对应法那么，对于集合中的每一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从到的一个函数，通常记为(2)函数的定义域、值域在函数中，叫做自变量，的取值范围叫做的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合称为函数的值域。(2)函数的三要素：定义域、值域和对应法那么2映射的概念设是两个集合，如果按照某种对应法那么，对于集合中的任意元素，在集合中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从到的映射，通常记为重、难点突破重点：掌握映射的概念、函数的概念，会求函数的定义域、值域难点：求函数的值域和求抽象

2、函数的定义域重难点：1关于抽象函数的定义域求抽象函数的定义域，如果没有弄清所给函数之间的关系，求解容易出错误问题1：函数的定义域为，求的定义域问题2：的定义域是，求函数的定义1 求值域的几种常用方法1配方法：对于可化为“二次函数型的函数常用配方法，如求函数，可变为解决2根本函数法：一些由根本函数复合而成的函数可以利用根本函数的值域来求，如函数就是利用函数和的值域来求。3判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域。如求函数的值域由得，假设，那么得，所以是函数值域中的一个值；假设，那么由得，故所求值域是4别离常数法：常用来求“分式型函数的值域。如求函数的值域，因为，而，所以，故5利用根本不等式求值

3、域：如求函数的值域当时，；当时，假设，那么假设，那么，从而得所求值域是6利用函数的单调性求求值域：如求函数的值域因，故函数在上递减、在上递增、在上递减、在上递增，从而可得所求值域为7图象法：如果函数的图象比拟容易作出，那么可根据图象直观地得出函数的值域求某些分段函数的值域常用此法一、选择题1以下四种说法正确的一个是 A表示的是含有的代数式 B函数的值域也就是其定义中的数集BC函数是一种特殊的映射 D映射是一种特殊的函数2f满足f(ab)=f(a)+ f(b)，且f(2)=，那么等于 ABCD3以下各组函数中，表示同一函数的是 A BC D 4函数的定义域为 AB C D 5设，那么 A B0

4、C D6以下图中，画在同一坐标系中，函数与函数的图象只可能是 xyAxyBxyCxyD7设函数，那么的表达式为 AB C D8二次函数，假设，那么的值为 A正数 B负数 C0 D符号与a有关 9在克的盐水中，参加克的盐水，浓度变为，将y表示成x的函数关系式 A BCD10的定义域为，那么的定义域为 A B C D二、填空题：11，那么= .12假设记号“*表示的是，那么用两边含有“*和“+的运算对于任意三个实数“a，b，c成立一个恒等式 .13集合A 中含有2个元素，集合A到集合A可构成 个不同的映射.14从盛满20升纯酒精的容器里倒出1升，然后用水加满，再倒出1升混合溶液，再用水加满. 这样

5、继续下去，建立所倒次数和酒精残留量之间的函数关系式 .三、解答题：15、求函数的定义域；求函数的值域；求函数的值域.16、在同一坐标系中绘制函数，得图象.17函数，其中，求函数解析式.18设是抛物线，并且当点在抛物线图象上时，点在函数的图象上，求的解析式.19动点P从边长为1的正方形ABCD的顶点出发顺次经过B、C、D再回到A；设表示P点的行程，表示PA的长，求关于的函数解析式. 20函数，同时满足：；，求的值.二、函数的根本性质：1函数的单调性定义：设函数的定义域为，区间 如果对于区间内的任意两个值，当时，都有，那么就说在区间上是单调增函数，称为的单调增区间如果对于区间内的任意两个值，当时，

6、都有，那么就说在区间上是单调减函数，称为的单调减区间如果用导数的语言来，那就是：设函数，如果在某区间上，那么为区间上的增函数；如果在某区间上，那么为区间上的减函数；（2） 函数的最大小值设函数的定义域为如果存在定值，使得对于任意，有恒成立，那么称为的最大值；如果存在定值，使得对于任意，有恒成立，那么称为的最小值。重、难点突破重点：掌握求函数的单调性与最值的方法难点：函数单调性的理解，尤其用导数来研究函数的单调性与最值重难点：1.对函数单调性的理解（1） 函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须先求函数的定义域；2函数单调性定义中的，有三个特征：一是任意性；二是大小，即

7、；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可；3假设用导数工具研究函数的单调性，那么在某区间上仅是为区间上的增函数减函数的充分不必要条件。4关于函数的单调性的证明，如果用定义证明在某区间上的单调性，那么就要用严格的四个步骤，即取值；作差；判号；下结论。但是要注意，不能用区间上的两个特殊值来代替。而要证明在某区间上不是单调递增的，只要举出反例就可以了，即只要找到区间上两个特殊的，假设，有即可。如果用导数证明在某区间上递增或递减，那么就证明在某区间上或。5函数的单调性是对某个区间而言的，所以受到区间的限制，如函数分别在和内都是单调递减的，但是不能说它在整个定义域即内是单调递减的，只能说函数的单调递减区间

8、为和6一些单调性的判断规那么：假设与在定义域内都是增函数减函数，那么在其公共定义域内是增函数减函数。复合函数的单调性规那么是“异减同增2函数的最值的求法1假设函数是二次函数或可化为二次函数型的函数，常用配方法。2利用函数的单调性求最值：先判断函数在给定区间上的单调性，然后利用函数的单调性求最值。3根本不等式法：当函数是分式形式且分子分母不同次时常用此法但有注意等号是否取得。4导数法：当函数比拟复杂时，一般采用此法5数形结合法：画出函数图象，找出坐标的范围或分析条件的几何意义，在图上找其变化范围。3、函数的奇偶性1函数的奇偶性的定义：对于函数的定义域内任意一个，都有或，那么称为奇函数. 奇函数的

9、图象关于原点对称。对于函数的定义域内任意一个，都有或，那么称为偶函数. 偶函数的图象关于轴对称。通常采用图像或定义判断函数的奇偶性. 具有奇偶性的函数，其定义域原点关于对称也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称4、 函数的周期性命定义：对于函数，如果存在一个非零常数，使得定义域内的每一个值，都满足，那么函数就叫做周期函数，非零常数叫做这个函数的周期。重、难点突破重点：函数的奇偶性和周期性，函数的奇偶性、单调性、周期性的综合应用难点：函数的奇偶性的判断 函数的奇偶性与单调性、函数的奇偶性与周期性的综合应用重难点：1.函数的奇偶性的判断：可以利用奇偶函数的定义判断或者利用定

10、义的等价形式,也可以利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶性.注意假设,那么既是奇函数又是偶函数,假设,那么是偶函数；假设是奇函数且在处有定义，那么假设在函数的定义域内有，那么可以断定不是偶函数，同样，假设在函数的定义域内有，那么可以断定不是奇函数。2奇偶函数图象的对称性（1） 假设是偶函数，那么的图象关于直线对称；（2） 假设是偶函数，那么的图象关于点中心对称；3函数的周期性 周期性不仅仅是三角函数的专利，抽象函数的周期性是高考热点，主要难点是抽象函数周期的发现，主要有几种情况：1函数值之和等于零型，即函数对于定义域中任意满足，那么有，故函数的周期是2函数图象有，两条对称轴型函数图象有，两条对

11、称轴，即，从而得，故函数的周期是（3） 两个函数值之积等于，即函数值互为倒数或负倒数型假设，那么得，所以函数的周期是；同理假设，那么的周期是（4） 分式递推型，即函数满足由得，进而得，由前面的结论得的周期是练习题组：一、选择题：1下面说法正确的选项 A函数的单调区间可以是函数的定义域B函数的多个单调增区间的并集也是其单调增区间C具有奇偶性的函数的定义域定关于原点对称D关于原点对称的图象一定是奇函数的图象2在区间上为增函数的是 AB C D3函数是单调函数时，的取值范围 A B C D 4如果偶函数在具有最大值，那么该函数在有 A最大值 B最小值 C 没有最大值D 没有最小值5函数，是 A偶函数

12、B奇函数C不具有奇偶函数D与有关6函数在和都是增函数，假设，且那么 A B C D无法确定 7函数在区间是增函数，那么的递增区间是 AB CD8函数在实数集上是增函数，那么 A B CD 9定义在R上的偶函数，满足，且在区间上为递增，那么 A B C D10在实数集上是减函数，假设，那么以下正确的选项是 AB CD二、填空题：11函数在R上为奇函数，且，那么当， .12函数，单调递减区间为 ，最大值和最小值的情况为 .13定义在R上的函数可用的=和来表示，且为奇函数， 为偶函数，那么= .14构造一个满足下面三个条件的函数实例，函数在上递减；函数具有奇偶性；函数有最小值为； .三、解答题：15

13、，求函数得单调递减区间.16判断以下函数的奇偶性； ； 。17，求.18函数在区间上都有意义，且在此区间上为增函数，；为减函数，.判断在的单调性，并给出证明.19在经济学中，函数的边际函数为，定义为，某公司每月最多生产100台报警系统装置。生产台的收入函数为单位元，其本钱函数为单位元，利润的等于收入与本钱之差.求出利润函数及其边际利润函数；求出的利润函数及其边际利润函数是否具有相同的最大值；你认为此题中边际利润函数最大值的实际意义.20函数，且，试问，是否存在实数，使得在上为减函数，并且在上为增函数.三、对数、对数函数1对数的概念如果ab=Na0，a1，那么b叫做以a为底N的对数，记作loga

14、N=bab=NlogaN=ba0，a1，N0.2、对数的运算性质logaMN=logaM+logaN. loga=logaMlogaN.logaMn=nlogaM.M0，N0，a0，a13、对数换底公式：logbN=a0，a1，b0，b1，N0.4、对数函数的图像及性质函数y=logaxa0，a1叫做对数函数，其中x是自变量，图像如下对数函数的性质：定义域：0，+； 值域：R； 过点1，0，即当x=1时，y=0.当a1时，在0，+上是增函数；当0a1时，在0，+上是减函数。5、对数函数与指数函数的关系对数函数与指数函数互为反函数，它们的图像关于直线y=x对称.。重、难点突破重点：掌握对数的运算

15、性质及对数函数的图像与性质。难点：综合运用对数函数的图像与性质解决问题。重难点：1对数函数性质的拓展同底数的两个对数值与的大小比拟假设，那么假设，那么同真数的对数值大小关系如图对应关系为1，2，3，4那么作直线得即图象在轴上方的局部自左向右底数逐渐增大2常见对数方程或对数不等式的解法1形如转为，但要注意验根对于，那么当时，得；当时，得2形如或的方程或不等式，一般用换元法求解。3形如的方程化为求解，对于的形式可以考虑利用对数函数的单调性来解决热点考点题型探析考点1 对数式的运算例1 用表示 对数式的运算一般都是运用对数的运算性质及对数换底公式，在未来的高考中，对数式的运算可能要综合其他知识交汇命

16、题新题导练1的结果是 2假设，求的值 3如果，那么的最小值是 A4；B；C9；D18考点2对数函数的图像及性质题型1：由函数图象确定参数的值例2 函数ylog2ax1a0的图象的对称轴方程是x2，那么a等于( )A.;B.;C.2;D.2 题型2：求复合函数值域及单调区间例3 fx=log3(x1)2，求fx的值域及单调区间.解题思路通过研究函数fx的单调性对数函数与二次函数的复合函数的最值值域与单调性是常考知识点，解决的方法就是充分利用组成复合函数的各个根本函数的单调性以及复合函数的单调性法那么。新题导练4假设函数是定义域为R的增函数，那么函数的图象大致是 5设，函数的图象如图2，那么有 A

17、；BC；D练习题组：一 选择题：1对数式中，实数a的取值范围是 AB(2,5)CD 2如果lgx=lga+3lgb5lgc，那么 Ax=a+3bcB C Dx=a+b3c33设函数y=lg(x25x)的定义域为M，函数y=lg(x5)+lgx的定义域为N，那么 AMN=RBM=N CMN DMN4假设a0，b0，ab1，=ln2，那么logab与的关系是 Alogab Blogab=C logabDlogab5假设函数log2(kx2+4kx+3)的定义域为R，那么k的取值范围是 A BC D6以下函数图象正确的选项是 A B C D7函数，其中log2f(x)=2x，xR，那么g(x) A是

18、奇函数又是减函数 B是偶函数又是增函数C是奇函数又是增函数 D是偶函数又是减函数8北京市为成功举办2021年奥运会，决定从2003年到2007年五年间更新市内现有的全部出租车，假设每年更新的车辆数比前一年递增10%，那么2003年底更新现有总车辆数的(参考数据：114=146，115=161)( )A10% B164% C168% D20%9如果y=log2a1x在(0，+)内是减函数，那么a的取值范围是 Aa1Ba2Ca D10以下关系式中，成立的是 AB C D二、填空题：11函数的定义域是 ，值域是 .12方程log2(2x+1)log2(2x+1+2)=2的解为 .13将函数的图象向左

19、平移一个单位，得到图象C1，再将C1向上平移一个单位得到图象C2，作出C2关于直线y=x对称的图象C3，那么C3的解析式为 .14函数y= 的单调递增区间是 .三、解答题：15函数.(1)求函数f (x)的定义域；(2)求函数f (x)的值域.16设x，y，zR+，且3x=4y=6z.(1)求证：; (2)比拟3x，4y，6z的大小.17设函数.(1)确定函数f (x)的定义域；(2)判断函数f (x)的奇偶性；(3)证明函数f (x)在其定义域上是单调增函数；(4)求函数f(x)的反函数.18现有某种细胞100个，其中有占总数的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律开展下

20、去，经过多少小时，细胞总数可以超过个？参考数据：.19如图，A，B，C为函数的图象上的三点，它们的横坐标分别是t, t+2, t+4(t1).(1)设ABC的面积为S 求S=f (t) ；(2)判断函数S=f (t)的单调性；(3) 求S=f (t)的最大值.20已求函数的单调区间.四、反函数： 1.反函数定义：假设函数y=fxxA的值域为C，由这个函数中x、y的关系，用y把x表示出来，得到x=y.如果对于y在C中的任何一个值，通过x=y，x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x=y就表示y是自变量，x是自变量y的函数.这样的函数x=yyC叫做函数y=fxxA的反函数，记作x=f1y.在函数x=

21、f1y中，y表示自变量，x表示函数.习惯上，我们一般用x表示自变量，y表示函数，因此我们常常对调函数x=f1y中的字母x、y，把它改写成y=f1x. 2.互为反函数的两个函数y=fx与y=f1x在同一直角坐标系中的图象关于直线y=x对称. 3.求反函数的步骤： 1解关于x的方程y=fx，得到x=f1y. 2把第一步得到的式子中的x、y对换位置，得到y=f1x. 3求出并说明反函数的定义域即函数y=fx的值域.4互为反函数的性质与结论： 1、 典型例题例1.函数y=log2x+1+1x0的反函数为A.y=2x11x1B.y=2x1+1x1C.y=2x+11x0D.y=2x+1+1x0例2.函数f

22、x=x的反函数A.在，+上为增函数B.在，+上为减函数C.在，0上为增函数D.在，0上为减函数例3设函数fx是函数gx=的反函数，那么f4x2的单调递增区间为A.0，+ B.，0C.0，2D.2，01.假设y=fx是a，b上的单调函数，那么y=fx一定有反函数，且反函数的单调性与y=fx一致.2.假设y=fx，xa，bab是偶函数，那么y=fx有反函数吗？答案：无例4求函数fx=的反函数.例5 函数fx是函数y=1xR的反函数，函数gx的图象与函数y=的图象关于直线y=x1成轴对称图形，记Fx=fx+gx.1求Fx的解析式及定义域.2试问在函数Fx的图象上是否存在这样两个不同点A、B，使直线AB恰好与y轴垂直?假设存在，求出A、B两点坐标；假设不存在，说明理由.假设Fx当xa，b时是单调函数，那么Fx图象上任两点A、B连线的斜率都不为零. 例6求以下函数的反函数1 2 3 例7函数的图象经过点A1，4它的反函数的图 象经过点10，2，求f(x)和f1(x)的表达式。 例8设。 例9假设点2，3既在的图象上，又在它的反函数图象上，求a、b的值。a0 例10函数1判断它的奇偶性；2求反函数。 例11假设函数yx，xR的图象关于直线yx对称，求a的值. 例12 函数y=x1，+的图象与其反函数图象的交点坐标为_. 【备用题】1函数f(x)=log