希望杯试题1-10

1、解法解法解法高中数学希望杯典型例题100道1-10 0 a b, x , a b b, y b , ba,那么x, y的大小关系是第十一届咼二第一试第11题x , a b 、b Va b Jbb,一 a b b b b a, xxab bb 、b ayb、b aab . b0, - - 0,x y解法4 原问题等价于比拟(a b b a)22(a by.a,x 1, x y. yx y.b a)b . b a与2._b的大小4b，、a b 、b.由x2屮得a b图1a解法6f(t)b aa b b a,2 b, x y.at <t单令 f (t) a t t，调递减，而b b a, f

2、(b) f (ba)，解法7考虑等轴双曲线x2 y2ax学习文档仅供参考0).iyBA.b a bx图2C7a如图2，其渐近线为y x.在双曲线上取两点A 、用,Q a、B _a，厲.由图形，显然有kAB 1，即 bb_a i，从而x y.Ja b <b解法8 如图3.在Rt ABC中，/ C为直角，BC=.a ,ac=. b , bd=. b，贝U ab= .、a b , DC=. b a .在厶 ABD中, AB-AD<BD 即 Ja b AD Vb , 从而 a b AD-DC< b DC,即一 a b . b . b . b a，故 x y.评析 比拟大小是中学代数中

3、的常见内容.其最根本的方法是作差比拟法、作商比拟法、利用函数的单调性.解法1通过分子有理 化处理无理式常用此法将问题转化成比拟两个分母的大小.解法 2直接作商与1比拟大小，顺理成章，也很简洁.要注意的是：a,b 0aa时，一1 a b； a,b 0时，一1 a b.此题直接作差难以确定差与0的大小，解法3bb对x, y x, y恰为其两个函数值，且该函数还应是单调的最起码在包含x, y对应的自变量值的某区间上是单调的.解法5与解法7分别构造函数与解几模型，将x,y的大小关系问题转化成斜率问题加以解决，充分沟通了代数与几何之间的内在联系，可谓创新解法.解法8充分挖掘代数式的几何背景，构造平面图形

4、，直观地使问题得到解决，这也是解决大小关系问题和证明不等式 的常用方法.有人对此题作出如下解答:取 a 1,b2,那么 x 32从逻辑上讲，取a 1,b1、32,yx y.可再取两组特殊值验证，都有x y .故答案为x y.2，得xy.即使再取无论多少组值也只能是有限组值验证,都得x y，也只能说明x y或x y作为答案是错误的，而不能说明x y 一定是正确的，因为这不能排除x y的可能性.因此答案虽然正确，但解法是没有根据的.当然，如果将题目改为选择题：0 a b,x . a b . b,y . b b a,那么x, y的大小关系是A、x y B 、x y C 、x y D 、x y此时用上

5、述解法，且不用再取特殊值验证就可选D,并且方法简单，答案一定正确.总而言之，特殊值法在解许多项选择择题时显得特别简捷，那是因为选择支中的正确答案是唯一 的，从而通过特殊值排除干扰支，进而选出正确答案但特殊值法只能排除错误结论，而不能直.当然，利用接肯定正确答案，因此，用此法解填空题少数特例除外与解答题是没有根据的 特殊值指明解题方向还是十分可取的A、21 c ,n N，且 a bC 恒成立，那么n的最大值为 cD、5第十一届高二第一试第 7题解法1原式.而 a c a cmina b b c b c a b2+Ea4 ,且当b ca b，即a c 2b时b c取等号.a cb c min解法

6、2 a b c, a b0,bc 0, a c0,不等式化为n.由a b b ca b b c4 ,故 a b b c .min由得n 4，选C .11a c .又a b b c解法 3 由 a b c,知 a b 0, b c 0, a c4，由题意，n 4 .应选C .min解法4 a b c, a b 0,b c 0, a c 0.不等式可变形为.记k2那么 k a b b c4 .由题意，n 4 .应选解法5 a b c-0.于是 cabb评析由,可得n恒成立.根据常识“假设a f x恒成立,min ；右恒成立，那么amax ， a的最小值就是所求n的最大值，故问题转化为求的最小值，上

7、述各种解法都是围绕这一中b c4.比拟得na c心的，不过采用了不同的变形技巧，使用了不同的根本不等式而已.解法1运用了a 2,a,b R ；解法 2 运用了 “ab；解法 3运用了“ a b - -4；a b2a b解法4运用了 “a b 2 ab a,b R ；解法5运用了 “丄 - 4 a,b R .虽解法 a b a b异彩纷呈，但却殊途同归.此题使我们联想到最新高中数学第二册上P30第8题：abc ,求证111 0:a bbc ca证：令a bx, bcy x0,y0 ,贝 U a c x y .1111112 x2y xy . t x 0,y0 ,abbcc axy xyxyx y

8、1110a b b c c a此证法通过换元将分母中的多项式改写成单项式，使得推证更简单了.运用这一思路，又可得本赛题如下解法:恒成立，就设 a b x, b c y x 0, y 0，贝U a c xn恒成立.也就是nx y恒成立.xn 4 .应选C .由题意得再看一个运用这一思想解题的例子.例设a,b, c R，求证:b2证明设bc x, c ay,a第二届1x2“友谊杯国际数学竞赛题y z x,y,zb2b2ayxbx 2b2,xyb2a b c,即2b2b2本赛题还可直接由下面的命题得解.命题假设a1a2an0 ,a1a2a2a3an 1 ana1 an证明a1a2an 0 ,3a2

9、, a2a3 ,可得:右x, wn x2R (i 1,2,n),那么-i 1 yi号.1.故有a：1 1a2a3an 1ana1也可以这样证明:n2xi 1n,当且仅当x2* b时取等yii 1y1y2yn221 1L J 11n1a：a：a3 an 1ana1anan 1 an都大于0 .反复运用式,an 0 ,a1a2, a2a3 ,an 1 an0 .故由柯西不等式，得1a21a?a31an 1a：a2a3an22n 1即(1-aa 211)a1anan 1an2n 1.a1 an 0 ,a2 a3111n 1 2aa：a：a3an 1ana1an1 1ma a?a?a31,na2000

10、a20014 106a1 a2001那么m与n的大小关系是由此可得本赛题的如下解法:1 a b c, a b 0,b c 0,a c 0,1b c1 1 24 .由a ca b b ca b题意，n 4 应选C .由此命题还可直接解决第七届高二培训题第8题：设qa2a3i i+Oa2000a2001，并且、m n D 、 m n解 a1a?a3a2000a2001，20002ma1a20014 106a1a2001设实数m, n,x, y满足m2n2x2y2 b，那么 mxny的最大值为1A、2a2 b22D、 ab(第十一届高二培训题第5题)解法1a cos,n a sinb cos ,yb

11、sin贝U mx nyab cos cos.absin sinab cos()ab,即 (mxny) max= . ab .应选解法2 m2 n2n2 b,又 x2b,b (mx ny) ab一 mx abny a(二m)2_x22A22b(m2 n2)a(x2y2)ba b ab.2mx nyb ab,当且仅当b、一；a?m x且Jbn y,即my nx时取等号,(mx ny)max解法3(mx ny)2 m2x2 2mxny n2ym2y2n2x2m2 n2x2y2ab,mxny ab,当 my nxmx 门丫 max、ab.解法4设p m,n ,qx,yq cos即 mx ny 2ab,

12、当且仅当p, q共线，即mynx时取等号，故mx 门丫 maxab.解法5假设设mxny那么直线mx ny k与圆x2b有公共点，于是7b，即 kmxny ab,mx ny maXab.解法6设 Z,m n i, z2x yi,贝U ZjZ2mnix yimxny nxmy i,Zi Z2Z1解法mx解法其中BD2 2mx ny nx my构造函数f X2mX x nX2nyACBx , ADmx nyy2. ab,当且仅当m2 n2 X220. 故mymx4 mxmxny mxnx时取等号,ny X x22ny4 m2ny,4ab 0,即 mxny 、ab.mxnmaxab.ADBy ,ab

13、mx nymxny max2a,x90 , ACy b还可构造图形如图aim,Bc 少,圆的直径，由托勒密疋BDBC ADAB CD AB2，得 J£|m x J£|n |y b,从而得mx nyab ,当且仅当 my nx且mx 0时取等号.mx ny抓住条件式的结构特征，运用三角代换法, 决此类型问题的通法之一.评析解法1合情合理,自然流畅，也是解解法2运用根本不等式aba2上将mx ny放大为关于m2n2 与 x2的式子，再利用条件求出最大值值得注意的是,稍不注意，就会得出下面的错误解法:2 2 2 2 m x n y mx ny2 22 2 2 2m n x y a

14、 b2mxnymax选A.错误的原因就在于用根本不等式求最值时未考虑等号能否取到上述不等式取等号的条件 是a x且b y，而假设，式同时取得，那么m2 n2 x2 y2，即a b,这与题设矛盾!a b即当a b时，mx ny取不到.解法2是防止这种错误的有效方法.24与解法6分别运用了由于向量与复数的模的平方是平方和形式，与形式一致，故解法 构造向量与构造复数的方法，新颖而简洁.解法5设mx ny k后，将其看作动直线，利用该直线与定圆 x2y2 b有公共点,那么圆心到直线的距离小于等于半径，得k mx ny . ab，充分表达了等价转化的解题功能.解法7运用的是构造函数法为什么构造函数f X

15、22、，2小m n X 2 mx ny0),由于f X 0 ,故有y2呢？主要基于两点： f (X)为非负式(值大于等于而 沟通了与未知的关系，故使问题得到解决.解法8抓住两条件式的特征，构造了两个有公共边的直角三角形，利用托勒密定理及圆 的弦小于等于半径使问题获解，充分揭示了这一代数问题的几何背景.拓展此题可作如下推广 假设耳22a22anp,R2 b?2bn2 q,那么aa?b2arAmax、pq (当且仅当1,2，n时取得最大值)证明a,22a22anq.a2 a a aaAanp qD2bn2q- pD2p qqp- 2 q- p.pq,当且仅当J!aibi i 1,2, ,n时取等号

16、,CDa2b2anbnmax.pq.本推广实际就是由著名的Cauchy 柯西不等式a1ba2b2anbn 22 . 2an bib22bn2且仅当aibia2b2岂时取等号bn直接得到的一个结论.推广有十分广泛的应用,现举一例:例 a,b,c, x, y, z2b 3c 4,-x最大值.解 a 2b 3c 43z234,1x21x,即 ax2bbycz.T"84 一 2时取等号.对于m 1的一切实数m,使不等式2x2m(x 1)都成立的实数x的取值范围是(第十三届高二培训题第 63题)解法2x1 题设等价于x22x 12x2x即11 02x 1或x2102x 1或x2x22x所以0，

17、即x1,2).解法2不等式即x21 m 2x 10，令 f (m)x22x，那么当x210，即 x1时，f(m)是m的一次函数，因为，即m 1时不等式恒成立，所以f (m)在1,1上的图象恒在 m轴的下方，故有f( f(1)1)2x 102x 10'2小即x 2x x2 2x又当x1时,0，解得.3 1 x 2 (x 1).f (m)1，适合题意，当x 1时，f (m)3不合题意故x的取值范围是3 1 x 2.评析解决此题的关键是如何根据条件构建关于x的不等式或不等式组解法1运用别离参数法，为了到达别离参数的目的， 又对x2 1分大于o、小于0、等于o三类情形分别构建关于 x 的不等式

18、组，从而通过解不等式组解决了问题 解法2那么转换思维角度，把不等式看成关于 m的不等式，从而将原问题转化为函数f(m) x21 m 2x 1在 1,1上的图象恒在 m轴下方的问题这种方法称为变更主元法用此方法，使得此题的解决显得既简捷，又直观易懂1一2恒成立，那么a的最大值是(a x)第十一届高二培训题第45题)解法2,又有(a ?a xx2x 2 2，+ (a x)2 2 2 2X 2,得宁舒6 /a2 (a x)2(ax)22 a2 xx)2(a1 8 82 牙.由 22，得0 ax) aamax2.1(a x)2(丄x)2 (丄a x x)2,a x-(a解法1x2.a22,0 a2 4

19、x(a x)2(-)2a(a x)2解法，即x a时取等号a x2amax2 .3原不等式等价于1 1x2 (a x)22两个正数的平方平均值不小于它们的调和平均值可知只需2 ,于是 amax 2 .解法412xx2A x22恒成立,xa只要满足1(a x)2x(a x) 1, x2ax10.由于对称轴x时，要式恒成立，那么a2 4解法5设acos2sin 2( 01(a x)22恒成立,可知x (a x)1 22 x (a x)1,0就能使式，得0,丄a x0.即a 2即可,2成立，(0,a)，由二次函数的性质,amax2.(a x)21，当 x (0,a)1(a x)2 a2 cos412

20、4 a sin44sin cos:44sin cos1 di n22214Osin 2162 sin2 2sin4 2(si n2 22)(sin2 2-1)即 2- sin2 24 sinsin2 2 sin4 21 (当 sin2 21(a x)2由,2,2,解法1-,Yx1(Xa x0,丫0),那么X2Y22表示在XOY坐标系第一象限内以原点为圆心,2 x7又amax2 .4-2 a曲线1X -,YxX Y 2 XY, XY得 aXY X Y,4-y,它表示双曲线 XY a位于第一象限内的一支及其上方局部.依题意，双4XY X 0与圆弧 X2 Y2aaXY2( X0, Y0相切或相离，从

21、而amax解法7运用结论"如果x , %R (i1,2,n)2那么鱼y12X2y22Xnyn(X1 X2y1y2也,当且仅当ynX1y10.由柯西不等式，4.故2(2ax2，得 0 a解法8X2Xn常数时取等号y2yn(a1x)运用结论“假设a1(12 12)(a x)2)-)2 ，x2)amaxa2(4)2,得a2.-an,那么1(a x)2当且仅当2时取等a?an 1an(n 1)2 当an，a111 11且仅当印，" 冋成等差数列时取等号 2卩2亍1 12(31)2216118当且仅当x a x，x 0 aXa02 a2 /x (a、2 2 ，一x)aa 8X22 a

22、22，得0a 2amax2.评析112恒成立，112 .故问题的实质就是求2 X(ax)22 x(a X)2 min1 1x2 (a x)2的取小值关于a 0 xa的条件下，如何求 2x2(a12 “两个互为倒数的正x2数的和大于等于2 ,解法2运用配方再放缩，解法3运用均值不等式及“两个正数的平方平均值.解法4巧妙地将原问题不小于它们的调和平均值，解法5运用三角代换，解决了这一关键问题转化为一个含参a 元二次不等式恒成立，求参数的范围问题，从而运用二次函数的性质解 决问题.解法6将原问题转化为解析几何问题处理 .解法7、8那么是运用一些现成的结论读者可自 己证明，各种解法异彩纷呈，都值得细细

23、品味.拓展此题可作如下推广：推广1假设0X1X2Xn 1 a，贝y 2X111n2 2 ，)a当且(X2X1)2(aXn 1仅当人必2, ,Xn1,a成等差数列时取等号.证明 由,0X1X2Xn 1a，那么X2X10,X3X20 ,a Xn1 0根据柯西不等式及解法7运用的不等式)，有 n 1112X1(X2X1)2(aXn 1)21 1彳 2 2 21n4s,故a1113 nX1X2X1aXn 1a2X1(X2X1)2(aXn 1)22 . a当且仅当x1,x2,Xn1,a成等差数列时取等-口号 .推广2假设oXX2Xn 1 a,biR(i1,2,n ),kN,那么bTkX1b2* 1(X2

24、X1) kbnk 1(b b2(a Xn 1)kb )k 1 亠，当且仅当aiab-时取等号bii 1证明不妨设a1 x1 ,a2X2Xi,Xn 1 ,bi)k 1,由得ai(i 1,2,n)且naii 1a,令 ci1c =-anai11.由均值不等式,1bik-CiMciMcik个Mci(k 1)k 1M kbikkMci (k 1)(b1b2bn)kbi ,bk1ckkM(kn1)(i -b)n 2Cikbi)k 1，即 a1k 1bikaink 1b)i 1n kbki 1 aink 1bjijnaii 1当且仅当aiaibiabi时取等号bii 1k 1b1k"X1b2k1

25、kX2bnk(b1b2bn)k1(a Xn1)kflOg sin X,cos2b f , sincos ， c£sin 2，那么a、b、c的大小关系是()sincosA、ac bB、bc aC、cbaD、a b c(第八届高二第一试第10题)解法1设 sinp，cosq. pq . pq2，而f X是减函数，f p qf . pq，即a bi. pqp qpqp q . pq2222 Pq pq . f 2 Pq f .j pq，即 c b .故 a b c.选 D. p qp q解法2由题意，令那么sin1cossincos136，2，2244/3sin22 si ncos3.31

26、、sin cossin01 ,f X 是2 sincossincos22i34 33、. 3sincos-f . sinsin 2减函数，又fcosf4222sin cos即a b c.应选D.评析f x单调递增减，那么当XiX2时，fXif X2 fXifX2，当XiX2时,f Xif X2 .因此解决问题的关键有两个：一是确定函数的单调性，二是确定自变量的大小关系.解法i就是这样解决冋题的因为正确答案应对一切0，2 °，2，排除了 A B、C、而选D的.60 , cos0.,sincosa b logsnlog sin - sincos2当然，此题也可用作差比拟法来解:sinlo

27、g sinsin cos 2sin coslog sin i 0 ，a b.又 b c log sin sin coslog sinsin 2sin cos,Isincoslog sin2sin cossin coslogsin sin cos log sin 10，即2Ms in cos0，2， sin 0i， f X是单调减函数,b c, a b c.选 D.logx 1题7a1，不等式2399的解是.4第二届咼二第二试第13题log a" 12X解原不等式即222133 .指数函数3是减函数，a V2原不等式化为 log 1 |x 12 ,即 log i x 1log 1221

28、、22，即x 12，解得.又 对数函数log 1 x是减函数，X 13.对数函数log 1的定义域是x 1的实数，原不等式的解是 1 x 1或1 x 3.评析此题涉及到指数不等式、对数不等式、绝对值不等式的解法解指数不等式与对数不等式的根本方法是同底法，即先将不等式两边的指数式或对数式化成底数相同的指数式或对数式,然后根据底数所属区间是0,1或1,，确定以该底数为底的指数函数或对数函数的单调性,去掉底数或对数符号，转化成别的不等式主要依据如下:假设0a 1,那么 af假设a1,那么 af x假设0a 1,那么 logafg xlog a假设a1,那么 logaf xg xlog a有时需要将常

29、数化为指数式或对数式，其化法如下：a clogc a 0, c 0,且c 1 ；化为指数式a logc ca c 0,且c 1.化为对数式例如，23“3将常数2化为3为底的指数式,2 log 33将常数2化为3为底的对数式解指数不等式不需检验，但解对数不等式必须保证解使得对数式有意义，这点常被忽略假设一个指数不等式的指数局部是对数式，常常采用取对数法求解L g '例不等式' xx的解集是第一届高二培训题第40题2解 两边取常用对数，得lg . x lg x，即1lg2 x lg x 0, lg2 x 4lg x 0, lg x 0 或 lg x 4,0 x 1 或 x 104

30、故所求解集是40,1 104,应当指出，两边取对数后，不等号的方向变不变，关键看取的是什么底数如果底数大于1,那么不等号方向不变，如果底数大于0且小于1,那么不等号方向改变关于绝对值不等式，主要是根据绝对值的几何意义求解以下结论应当理解并熟记 a为常数的解集是的解集是a,a ；的解集是R;的解集是a,F列题目供练习:常数0,，那么不等式4tanx2 3x 10, x 8cot 的解集是第八届高二第一试第216题)假设函数f xxxlog22 log 2 4的定义域是不等式2 log 1 x 7 log 1 x 3220的解集，贝U f x的最小值；最大值=.第十届高二第一试第23题)不等式10

31、02x2 x2x1002x2 x X2的解集是第九届高二培训题第23题)不等式<3x 21的解是(A)(B) x(C)(D) x答案2,2不等式1 x2的解集是，实数t的取值范围用区间形式是第一届高二第一试第18题)解法1 x2t两边平方并整理得2x22txt21 0,此方程无实根，故4t28t2 14t20,t22 .又 t 0, t 2.故填2,解法3由1X20 ,得1X1.故设Xcos ,0,那么不等式就是sincost,即tsincos .解法2 作出函数y . 1x2的图象(即图中的半圆)及函数y x t的图象(即图中斜率为 1的直线系). 由题意，直线应在半圆的上方，由图象可

32、知直线y x t在y轴上的截距t 2.故填 2,.sin cos 2s in,又44sin cos 1,、2.由题意得t 2.故填2,.评析、2、3分别运用方程思想、数形结合思想、化归转换思想，从不同的角度解决了问题，体现了这道题的丰富内涵.解法2揭示了此题的几何背景.解法3的依据是：不等式.1 X2X t的解集是 等价于不等式t . 1 X2 X .1 X2 X t的解集是 等价于不等式t 1 X2X有解,这种观点是错误的.事实上,t-时,不等式t J X2X就有解(比方3 1 :2 2 1X就是其一个解),而t 时,不等式 1 X X t即1 X X的解集却不是522(比方0就是它的一个解

33、).拓展通过上面的分析，并作进一步的研究，我们便有下面的结论t为参数,f (x)的值域是a,b .(1)假设t f (x)恒成立，那么t a.假设t f (x)恒成立，那么t b. 假设tf (x)的解集是，那么t b. 假设tf (x)的解集是，那么t a .(5)假设t f (x)有解，那么t b.(6)假设t f (x)有解，那么t a .假设将f(x)的值域改为 a,b、 a,b、 a,b等，也会有相应的结论，限于篇幅，不再列出.根据这一结论，请答复以下问题： 1 x2、3x t的解集是，那么实数t的取值范围是-1 x2、3x t的解集是，那么实数t的取值范围是.1 x23x t有解，

34、那么实数t的取值范围是厂、3xt有解，那么实数t的取值范围是.12 x,3xt恒成立,那么实数t的取值范围是.12 x、3xt恒成立，那么实数t的取值范围是-.答案1.2,2.,、33. 3,4.,25.,、36. 2,题9不等式x 2 x24x 30的解集是3 J5 5 V52 ' 23-5解法1当x2 4x 30，即x5 J5 3 V52 ' 2(第十三届咼二第二试第 8题)1或x 3时，原不等式就是 x 2 x2 4x 30,即x25x 50,解得55当x2 4x 3 0,即1<x<3时，原不等式就是x 2 x2 4x 30,即 x2 3x 10,解x 3.综上，所求解集为3,323 V5 52 ， 2.应选A.解法2如图，作函数y x 2和y x2 4x 3 y1 y2，即y-i在y2上方时x的区间,选择支.可知选A.解法4当x 1.5时，x 2 |x2 4x 30时，故1. 5不是原不等式的解，从而排除含1. 5 的 B、C、D，应选 A.评析解含绝对值的不等式，一般是先去掉绝对值符号，然后再求解.解法1正