金融数学第一章练习题详解

1、金融数学第一章练习题详解第1章利息度量1.1 现在投资$600,以单利计息，2年后可以获得$150的利息。如果以相同的复利利率投资$2000,试确定在3年后的累积值。600i?2150i12.5%2000(112.5%)32847.651.2 在第1月末支付314元的现值与第18月末支付271元的现值之和，等于在第T月末支付1004元的现值。年实际利率为5%。求T。T/121/1218/121004v314v271v其中vt(1i)t(15%)t1.05t1.05T/12(3141.051/122711.0518/12)/10040.562352两边取对数，Tln1.05In0.5623521

2、2Tln0.562352/ln1.0512141.58i计息。同1.3 在零时刻，投资者A在其账户存入X,按每半年复利一次的年名义利率时，投资者B在另一个账户存入2X,按利率个月中将得到相等的利息，求ioA的半年实际利率为A:X(1 -)16 22X(1 16 (1 2)15) Xii (1 -)16 (1 -)15 (1 -)15 ?- 2222(1 -)15 22两边取对数1 /15i (21) 2 0.094588i单利来计息。 假设两人在第八年的后六i 151(1 ) )B:2X i Xi221的投资以每两年复利一1.4 一项投资以8的利息力累积，27.72年后将翻番。金额为次的名义利

3、率8累积n年，累积值将成为7.04。求n。ln1ia(1i)tete27.722ln2/27.720.0250.5i(12)n/27.04n(ln7.04/ln1.05)2801.5如果年名义贴现率为6%,每四年贴现一次，试确定$100在两年末的累积值。100(146%)1/42114.711.6如果i(m)=0.1844144,d(m)=0.1802608,试确定m。dm1.7dmdmdmdmim?dm2mim?dmmim?dm0.18441440.1802608o80.18441440.1802608基金A以每月复利一次的名义利率12%累积。基金B以t=t/6的利息力累积。在零时刻，分别存

4、入1到两个基金中。请问何时两个基金的金额将相等。t12tt/6dt112%/12e0两边取对数，12tln1.01t2/12et2/12t144ln1.011.431.8基金A以t=a+bt的利息力累积。基金B以t=g+ht的利息力累积。基金A与基在零时刻和t(abt)dte0ba(0)t(ght)dte0n时刻相等。已知a>g>0,h>b>0。求n。(at1bt2)e2(gt1ht2)e2anb(0),a(n)1.2-bn!2(ga)»b(n)gn1hn21.9在零时刻将100存入一个基金。该基金在头两年以每个季度贴现一次的名义贴现率支付利息。从t=2开始，

5、利息按照t工的利息力支付。在t=5时，存款的累积值1t为260。求8。指前两年内的年名义贴现率,o5-dt100(1/4)e21t260-42(ln6ln3)100(1/4)e()260_-1/8_41260/(1002)0,12901.10 在基金 A中，资金1的累积函数为 为1+t2。请问在何时，两笔资金的利息力相等。t+1, t>0;在基金 B中，资金1的累积函数A2t1 t21 2tt 11 t2t2 2t 1 0 t 2 1 0.411.11 已知利息力为 t 2一。第三年末支付 300元的现值与在第六年末支付600元的1 t现值之和，等于第二年末支付200元的现值与在第五年末

6、支付X元的现值。求 X。3 dta(t) e01 t e(1 t) (1 t)211300 a (3) 600 a (6) 200_2X (300 (1 3) 2 600 (1a1(t) (1 t)21 -1a (2) X a (5)2226) 2-200 (1 2) 2)/(1 5) 2)315.821 0.05t0.10.05一一，t”"1,c、1.12已知利息力为t。请求a。100313dt4a1(3)e0100e1/400(30)e81/400e0.20250.81670.1' 1 0.1ta(t) (1 0.05t)0.05B1.13资金A以10%的单利累积，资金B

7、以5%的单贴现率累积。请问在何时，两笔资金的利息力相等。A:a(t)(110%t)10.1t1B:a1(t)(15%t)10.05t1 0.1t1 0.05t2-0,1t 1 0.1tt 51.14 某基金的累积函数为二次多项式，如果向该基金投资1年，在上半年的名义利率为5%每半年复利一次，全年的实际利率为7%,试确定0.5。设累积函数为a(t)at2btca(0) c 1a(0.5) 0.25a0.5b c 1 5%/2a(1)0.51.150.04,b0.08t0.03,c 1,a(t) 0.04t20.030.04t20.03t 10.06829t 0.5某投资者在时刻零向某基金存入0.

8、03t 1100,在时刻3又存入X 。此基金按利息力t 用 / 一-,一累积利息，其中t > 0。从时刻3100到时刻6得到的全部利息为X,求X。17%3t2A(3)tdt100e0100X109.42X6t2A(6)A(6)_dt(109.42X)e31001.8776(109.42X)A(3)0.8776(109.42X)XX784.611.16一位投资者在时刻零投资1000,按照以下利息力计息:0.02t,0t3t0.045,t3求前4年每季度复利一次的年名义利率。a(4)340.02tdt0.045dte030.09 0.045 e1.1445设年名义利率为x,1000(1x/4

9、)4410001.1445x4(1.14451/161)0.03393.39%1.17已知每半年复利一次的年名义利率为7.5%,求以下两项的和：(1)利息力；(2)每季度贴现一次的年名义贴现率。a(t)(17.5%/2)2t_2tln(17.5%/2)0.07363设名义贴现率为x,(1x/4)4t(17.5%/2)2tx4(1-(17.5%/2)2(1/4)0.07295tx0.14658注：个人认为，求这两个数的和并没有实际意义1.18假设利息力为kt,0 t 525kt2，5 t,期初存入单位1在第10年末将会累积到102.7183。试求k。ktdt10,kt2dte05 25251_e

10、24667k2.718325k_k(1000125)e2750.04141.19已知利息力为t,一笔金额为1的投资从t=0开始的前n年赚取的总利2t息是8。试求n。dtta(t)e02teln(2t)ln21-2a(n)11n18n1621.20 1996年1月1日，某投资者向一个基金存入1000,该基金在t时刻的利息力为0.1(t-1)2,求1998年1月1日的累积值。2c/,.2.0.1(t1)dtA1000e01000e0.066671068.941.21 投资者A今天在一项基金中存入10,5年后存入30,已知此项基金按单利11%计息；投资者B将进行同样数额的两笔存款，但是在n年后存入10,在2n年后存入30,已知此项基金按复利9.15%计息。在第10年末，两基金的累积值相等。求n。A:10(111%10)30(111%5)67.5B:10(19.15%)10n30(19.15%)102n10(19.15%)10n30(19.15%)102n67.5令t1.0915n，即nlnt/ln1.091510102101.09150t301.09150t267.50.8017t101.091510J(101.091510)24301.09记0(67.5)2301.091510101.0915102.40014nln0.8017/ln1.09152.5