随机前沿分析

1、.随机边界分析随机边界分析Stochastic Frontier AnalysisStochastic Frontier Analysis.目录目录 第一章第一章 导言导言 1.1 随机前沿方法简介随机前沿方法简介 1.2 发展史简要回顾发展史简要回顾 第二章第二章 分析基础分析基础 2.1 生产技术生产技术 2.2 技术有效性技术有效性 2.3 经济有效性经济有效性. 第三章第三章 技术有效性估计技术有效性估计 3.1 横截面生产边界模型横截面生产边界模型 3.1.1 确定性生产边界确定性生产边界 3.1.1.1 目标规划法目标规划法 3.1.1.2 修正最小二乘法（修正最小二乘法（COLS

2、） 3.1.1.3 修正最小二乘法（修正最小二乘法（MOLS） 3.1.2 随机生产边界随机生产边界 3.1.2.1 正态正态半正态模型半正态模型 3.1.2.2 正态正态指数模型指数模型 3.1.2.3 正态正态半正态模型的距估计半正态模型的距估计 .3.2 面板数据生产边界模型面板数据生产边界模型 3.2.1 非时变的技术有效性非时变的技术有效性 3.2.2 时变的技术有效性时变的技术有效性 第四章第四章 对生产率和效率变化的度量对生产率和效率变化的度量 第五章第五章 与其他方法的比较与其他方法的比较.一、导言一、导言 在经济学中，技术效率的概念应用广泛。在经济学中，技术效率的概念应用广泛

3、。Koopmans首先提出了技术效率的概念，他将技术有效首先提出了技术效率的概念，他将技术有效定义为：定义为：在一定的技术条件下，如果不减少其它产出就在一定的技术条件下，如果不减少其它产出就不可能增加任何产出，或者不增加其它投入就不可能减不可能增加任何产出，或者不增加其它投入就不可能减少任何投入，则称该投入产出为技术有效的。少任何投入，则称该投入产出为技术有效的。Farrell首首次提出了技术效率的前沿测定方法，并得到了理论界的次提出了技术效率的前沿测定方法，并得到了理论界的广泛认同，成为了效率测度的基础广泛认同，成为了效率测度的基础 。1.1 随机前言方法简介随机前言方法简介. 生产率和效率

4、的度量涉及到生产率和效率的度量涉及到生产函数生产函数。DEA方方法的特点是将有效的生产单位连接起来，用分段法的特点是将有效的生产单位连接起来，用分段超平面的组合也就是生产前沿面来紧紧包络全部超平面的组合也就是生产前沿面来紧紧包络全部观测点，观测点，是一种确定性前沿方法是一种确定性前沿方法，没有考虑随机没有考虑随机因素对生产率和效率的影响因素对生产率和效率的影响。随机前沿生产函数。随机前沿生产函数则解决了这个问题。则解决了这个问题。. 前沿生产函数前沿生产函数(Frontier Prodution Function)反映反映了在具体的了在具体的技术条件技术条件和给定和给定生产要素生产要素的组合下

5、的组合下, 企业各企业各投入组合与最大产出量之间的函数关系。投入组合与最大产出量之间的函数关系。通过比较各企通过比较各企业实际产出与理想最优产出之间的差距可以反映出企业业实际产出与理想最优产出之间的差距可以反映出企业的综合效率。的综合效率。 传统的生产函数只反映样本各投入因素与平均产出之传统的生产函数只反映样本各投入因素与平均产出之间的关系间的关系, 称之为平均生产函数。但是称之为平均生产函数。但是1957 年年, Farrell 在在研究生产有效性问题时开创性地提出了研究生产有效性问题时开创性地提出了前沿生产函数前沿生产函数(Frontier Prodution Function)的概念。对

6、既定的投入因的概念。对既定的投入因素进行最佳组合素进行最佳组合, 计算所能达到的最优产出计算所能达到的最优产出, 类似于经类似于经济学中所说的济学中所说的“帕累托最优帕累托最优”, 我们称之为前沿面。前我们称之为前沿面。前沿面是一个理想的状态沿面是一个理想的状态, 现实中企业很难达到这一状态。现实中企业很难达到这一状态。. 前沿生产函数的研究方法有前沿生产函数的研究方法有: 参数方法和非参方法参数方法和非参方法。两。两者都可以用来测量效率水平。参数方法沿袭了传统生产函者都可以用来测量效率水平。参数方法沿袭了传统生产函数的估计思想数的估计思想, 主要运用主要运用最小二乘法最小二乘法或或极大似然估

7、计法极大似然估计法（解释）（解释）进行计算。参数方法进行计算。参数方法首先确定或自行构造一个首先确定或自行构造一个具体的函数形式具体的函数形式, 然后基于该函数形式对函数中各参数然后基于该函数形式对函数中各参数进行计算进行计算; 而非参数方法首先根据投入和产出而非参数方法首先根据投入和产出, 构造出构造出一个包含所有生产方式的最小生产可能性集合一个包含所有生产方式的最小生产可能性集合, 其中非其中非参数方法的有效性是指以一定的投入生产出最大产出参数方法的有效性是指以一定的投入生产出最大产出, 或以最小的投入生产出一定的产出。这里所说的非参数或以最小的投入生产出一定的产出。这里所说的非参数方法是

8、结合方法是结合DEA(Data 数据包络分析数据包络分析) 来进计算的。来进计算的。. 但但非参数方法非参数方法存在的存在的最大局限最大局限是是: 该方法主要该方法主要运用线性规划方法进行计算运用线性规划方法进行计算, 而不像参数方法有统而不像参数方法有统计检验数作为样本拟合度和统计性质的参考计检验数作为样本拟合度和统计性质的参考; 另外另外, 非参数方法对观测数有一定的限制非参数方法对观测数有一定的限制, 有时不得不舍有时不得不舍弃一些样本值弃一些样本值, 这样就影响了观测结果的稳定性。这样就影响了观测结果的稳定性。因此因此, 我们在这里选择参数方法进行前沿生产函数我们在这里选择参数方法进行

9、前沿生产函数的计算。的计算。 在参数型前沿生产函数的研究中在参数型前沿生产函数的研究中, 围绕误差项的围绕误差项的确立确立, 又分为又分为随机性随机性和和确定性确定性两种方法。首先两种方法。首先, 确确定性前沿生产函数不考虑随机因素的影响定性前沿生产函数不考虑随机因素的影响, 直接直接. 直接采用线性规划方法计算前沿面直接采用线性规划方法计算前沿面, 确定性前确定性前沿生产函数把影响最优产出和平均产出的全部误差沿生产函数把影响最优产出和平均产出的全部误差统归入单侧的一个误差项统归入单侧的一个误差项中中, 并将其称为生产非并将其称为生产非效率效率; 随机前沿生产函数随机前沿生产函数( Stoch

10、astic Frontier ProductionFunction)在确定性生产函数的基础上提在确定性生产函数的基础上提出了具有复合扰动项的随机边界模型。其出了具有复合扰动项的随机边界模型。其主要思想主要思想为为随机扰动项随机扰动项应由应由v 和和u 组成组成, 其中其中v 是随机误差是随机误差项项, 是企业不能控制的影响因素是企业不能控制的影响因素, 具有随机性具有随机性, 用以用以计算系统非效率计算系统非效率; u是技术损失误差项是技术损失误差项, 是企业可以是企业可以控制的影响因素控制的影响因素, 可用来计算技术非效率。可用来计算技术非效率。很明显很明显, 参数型随机前沿生产函数体现了样

11、本的统计特性参数型随机前沿生产函数体现了样本的统计特性, 也反映了样本计算的真实性。也反映了样本计算的真实性。.1.2 发展史简要回顾发展史简要回顾 20世纪世纪20年代，美国经济学家年代，美国经济学家道格拉斯道格拉斯（PDouglas）与数学家）与数学家柯布柯布（CCobb）合作）合作提出了提出了生产函数理论生产函数理论，开始了生产率在经济增长，开始了生产率在经济增长中作用的定量研究。称其为中作用的定量研究。称其为技术进步率技术进步率，这些未，这些未被解释部分归为技术进步的结果，称其为技术进被解释部分归为技术进步的结果，称其为技术进步率，这些未被解释的部分后来被称为步率，这些未被解释的部分后

12、来被称为“增长余增长余值值”（或（或“索洛值索洛值”），也即为全要素生产率），也即为全要素生产率（TFP）的增长率。）的增长率。 1977年，年，Aigner，Lovell，Schmidt和和Meeusen，Van den Broeck分别独立提出了分别独立提出了随随 机前沿生产函数机前沿生产函数，之后逐渐发展起来的随机前沿，之后逐渐发展起来的随机前沿 生产函数法则允许技术无效率的存在，并将全要生产函数法则允许技术无效率的存在，并将全要. 素生产率的变化分解为生产可能性边界的移动和素生产率的变化分解为生产可能性边界的移动和 技术效率的变化，这种方法比传统的生产函数法技术效率的变化，这种方法比传

13、统的生产函数法 更接近于生产和经济增长的实际情况。能够将影更接近于生产和经济增长的实际情况。能够将影 响响TFP的因素从的因素从TFP的变化率中分离出来，从而的变化率中分离出来，从而 更加深入地研究经济增长的根源。更加深入地研究经济增长的根源。 利用随机前沿生产函数法，利用随机前沿生产函数法，Schmidt（1980， 1986）、）、Kumbhakar（1988，1990）、）、Bauer（1990）、）、Kalirajan（1993）.Batese和和Coelli 1988，1992，1995）等对技术效率对）等对技术效率对TFP和和 产出的影响做了大量的产出的影响做了大量的实证研究实证研

14、究。.第二章第二章 分析基础分析基础生产有效性：生产者为了达到一定的生产目标，在生产有效性：生产者为了达到一定的生产目标，在分配他们可支配的投入和生产的产出时所实现的分配他们可支配的投入和生产的产出时所实现的成功度。成功度。初级层面：给定投入，产出最大初级层面：给定投入，产出最大 OR 给定产出给定产出,投入投入最小，最小，生产有效性生产有效性与与技术有效性技术有效性一致（解释一致（解释1）更深层面：给定产出，成本最小更深层面：给定产出，成本最小 OR 给定投入，收给定投入，收入最大入最大 OR 投入产出配置使利润最大，投入产出配置使利润最大，生产有效生产有效性性与与经济有效性经济有效性一致（

15、解释一致（解释2）.本章框架：本章框架：生产技术生产技术)(ff.7)(.6)y(ff.5)(.4.3.2.1xPExIsoqPLEyIsoqxPyLGR产出有效性子集产出等量曲线投入有效性子集投入等量曲线）（生产技术的产出组合）（生产技术的投入组合生产技术曲线.技术有效性技术有效性经济有效性经济有效性TEoTEi产出导向型技术有效性投入导向型技术有效性. 2. 1利润有效性收入有效性成本有效性.3.2.1.2.1 生产技术生产技术 生产技术曲线生产技术曲线GR=(y,x):x能生产能生产y描述了一组可行描述了一组可行的投入的投入-产出向量产出向量 生产技术的投入组合生产技术的投入组合L(y)

16、=x:(y,x) GR描述了对描述了对对于每个产出向量对于每个产出向量y的投入向量组合的投入向量组合 生产技术的产出组合生产技术的产出组合P(x)=y:(y,x) GR描述了对描述了对于每个投入向量的可行产出向量组合于每个投入向量的可行产出向量组合 投入等量曲线投入等量曲线IsoqL(y)=x:x L(y),ax L(y),a1描述描述了每一投入向量了每一投入向量x所生产的所有产出向量集合，而当其所生产的所有产出向量集合，而当其径向扩张时，就不能由投入向量径向扩张时，就不能由投入向量x来生产来生产 产出有效性子集产出有效性子集EffP(x)=y:y P(x),y yy P(x) 描述了每一投入

17、向量描述了每一投入向量x所生产的所有产出向量集合，而所生产的所有产出向量集合，而当其在任一维度上扩张时，就不能由投入向量当其在任一维度上扩张时，就不能由投入向量x来生产来生产.对比几组概念：对比几组概念：)(ff)(s)(yLEyoqLIyL投入有效性子集投入等量曲线投入集合关于产出的类似关于产出的类似.2.2 技术有效性技术有效性定义：当且尽当（定义：当且尽当（y,x） GR,在（在（y,-x） (y,x) 时，产出时，产出-投入向量（投入向量（y,x） GR为技术有效为技术有效 投入导向型技术有效性投入导向型技术有效性是由函数是由函数TEi(y,x)=min : x L(y)来测量的来测量

18、的 产出导向型技术有效性产出导向型技术有效性是由函数是由函数TEo(x,y)=max : y P(x)-1来测量的来测量的.2.3 经济有效性经济有效性 成本有效性：成本有效性：CE(y,x,w)=C(y,w)/wTx 收入有效性：收入有效性：RE(x,y,p)=pTy/r(x,p) 利润有效性：利润有效性： EA(y,x,p,w)=(pTy-wTx)/ (p,w).第三章第三章 技术有效性估计技术有效性估计本章框架：本章框架：面板数据生产边界模型横截面生产边界模型随机生产边界确定性生产边界时变的技术有效性非时变的技术有效性MOLSCOLS修正最小二乘法修正最小二乘法目标规划法半正态模型的距估

19、计正态指数模型正态半正态模型正态.3.1.1确定性生产边界确定性生产边界 测算全要素生产率的传统方法是测算全要素生产率的传统方法是索洛余索洛余值法值法(SRA) ,其关键是其关键是假定假定所有生产者都能实所有生产者都能实现现最优的生产效率最优的生产效率,从而将产出增长中要素投从而将产出增长中要素投入贡献以外的部分全部归结为技术进步入贡献以外的部分全部归结为技术进步( technologicalprogress) 的结果的结果,这部分索洛这部分索洛剩余后来被称为剩余后来被称为全要素生产率全要素生产率(李京文等李京文等1998) 。然而。然而,SRA 法的理论假设不完全符合法的理论假设不完全符合现

20、实现实,因为现实经济中大部分生产者不能达到因为现实经济中大部分生产者不能达到.投入投入产出关系的技术边界产出关系的技术边界(Farrell ,1957) 。基于这一思。基于这一思想想,Aigner 和和Chu (1968) 提出了提出了前沿生产函数模型前沿生产函数模型,将生将生产者效率分解为技术前产者效率分解为技术前(technological frontier) 和技术和技术效效(technical efficiency) 两个部分两个部分,前者刻画所有生产前者刻画所有生产者投入者投入产出函数的边界产出函数的边界(frontier of the production function) ;后

21、者描述个别生产者实际技术与技术前沿的后者描述个别生产者实际技术与技术前沿的差距。差距。 确定性前沿生产函数模型如下：确定性前沿生产函数模型如下： Y() e x p ()fXu. 其中其中u大于等于大于等于0，因而，因而exp(-u)介于介于0和之间，和之间，反映了生产函数的非效率程度，也就是实际产出与反映了生产函数的非效率程度，也就是实际产出与最大产出的距离。在确定了生产函数的具体形式后，最大产出的距离。在确定了生产函数的具体形式后，可以计算或估计其参数，如下所述。可以计算或估计其参数，如下所述。 假如假如N个公司，每个公司使用个公司，每个公司使用K种投入组成的种投入组成的投入向量投入向量

22、来生产出单一产出来生产出单一产出 ，生产函数，生产函数采用采用C-D形式：形式： （1）ixiy,()iiLn yxu1, 2,iN. (1)式中式中 是产出的自然对数；是产出的自然对数； 是是K+1维行向量，其中一个元素是维行向量，其中一个元素是1，其余，其余K个个元素元素K种投入数量的自然对数种投入数量的自然对数. 是待估计的是待估计的K+1维列向量；维列向量； 是非负的随机是非负的随机变量，用来度量技术的有效性：变量，用来度量技术的有效性： （2）()iLn y01(,)K iuexp() exp() exp() exp()iiiiiiiTEyxxuxuix. 是一种是一种产出导向的效率

23、度量产出导向的效率度量，其值介于，其值介于0和和1之间，它是观察到的产出之间，它是观察到的产出 与使用同样投入并与使用同样投入并且由技术有效的公司生产的且由技术有效的公司生产的 之比，参之比，参数数 由下述方程得出。由下述方程得出。 1.目标规划方法目标规划方法 （3） iTEiyexp()ix11minmin()NNiiiiiuxLny. 它等价于： （4） st0iiiuxLny1 , 2 ,iN11min()min()NNiiiixxstiixLny1, 2 ,iN. 参数参数 也可以由下列二次规划问题计算得出：也可以由下列二次规划问题计算得出： （5） 上述目标规划的主要缺点是其上述目

24、标规划的主要缺点是其参数是计算的而不是参数是计算的而不是估计的，无统计解释估计的，无统计解释。如果假设。如果假设 服从指数分布，服从指数分布，2211minmin()NNiiiiiuxLnyst0iiiuxLny1 , 2 ,iNiu.则线性规划“估计”就是最大似然估计： 1()exp(),iiuuuf u111()()exp(),NiNNiiiuuuLf u11lnln,NuiiuLNu 1m axm iniNiLiffu. 如果假设如果假设 服从正态分布，则二次规划服从正态分布，则二次规划“估估计计”就是最大似然估计：就是最大似然估计： 其中其中C代表常数代表常数iu222()exp(),

25、22iiuuuf u 1(),NiiLf u2211ln,2NiiuLCu21maxminNiiLiffu. 上述上述“解释解释”给予目标规划方法一个清晰的统计基给予目标规划方法一个清晰的统计基础，但这些计算的参数础，但这些计算的参数 仍然像估计的参数那样仍然像估计的参数那样有标准差。有标准差。 2.修正最小二乘法（修正最小二乘法（COLS） 它分为两步：它分为两步： 第一步，先用第一步，先用OLS估计（估计（1）式：）式： ,()iiLn yxu1,2,iN. 得到得到 一致和无偏的一致和无偏的 斜率参数斜率参数 ，以及一致和有，以及一致和有偏的截面参数偏的截面参数 。 第二步，有偏的截距参

26、数第二步，有偏的截距参数 被向上修正以保证估计的前被向上修正以保证估计的前沿是所有数据的上界：沿是所有数据的上界： 1,k00 *00max,iiu *maxiiiuuu*exp()iiTEu. COLS估计的生产前沿平行于估计的生产前沿平行于OLS回归（以自回归（以自然对数形式），意味着最好的生产技术的结构与然对数形式），意味着最好的生产技术的结构与中心（平均）趋势的生产结构一致，这是中心（平均）趋势的生产结构一致，这是COLS的缺陷，应当允许处于生产前沿上的有效率的公的缺陷，应当允许处于生产前沿上的有效率的公司的生产结构不同于位于平均位置的公司的生产司的生产结构不同于位于平均位置的公司的生

27、产结构。结构。.3.1.2随机生产边界随机生产边界 由于确定性前沿生产函数没有考虑到产活动中由于确定性前沿生产函数没有考虑到产活动中存在的随机现象，存在的随机现象，Aigner，ovell，Schmidt(ALS)和和Meeusen,van den Broeck (MB)同时于同时于1977年引进了随机前沿生产函数年引进了随机前沿生产函数 （1）()exp()Yf Xvu. 其中其中v代表影响生产活动的随机因素，一般假代表影响生产活动的随机因素，一般假设它是独立同分布（设它是独立同分布（i.i.d)的正态随机变量，具有的正态随机变量，具有0均值和不变方差；均值和不变方差； 代表随机前沿生代表随

28、机前沿生产函数；产函数；u(非负非负)代表着生产效率或管理效率，代表着生产效率或管理效率，一般假设它是独立同分布的半正态随机变量或指一般假设它是独立同分布的半正态随机变量或指数随机变量独立于数随机变量独立于 。 假设生产函数取假设生产函数取C-D形式：形式： （2） 在上述在上述v和和u的假设下，可以使用的假设下，可以使用最大似然法最大似然法（ML）或）或调整最小二乘法调整最小二乘法（MOLS）估计参数）估计参数 和误差项和误差项 ，进而得到技术效率，进而得到技术效率 ，如下所述。，如下所述。()exp( )f Xv0v0lninniiinLnyXvu1,2,.iIiivuexp()iiTEu

29、. 1.正态正态半正态模型的半正态模型的ML估计估计 假设：假设： （1） （2） （3） 和和 的分布相互独立，且与解释变的分布相互独立，且与解释变量相互独立。量相互独立。 u ,v的密度函数以及的密度函数以及u 和和v的联合密度函数，的联合密度函数， u和和 的联合密度函数分别是的联合密度函数分别是: 2(0,)ivviidN2(0,)iuuiidNiviuv u 222( )exp()22uuuf u . 221( )exp()22vvvfv 22222( , )exp()222uvuvuvf u v 22222()( , )exp()222uvuvuuf u 2202( )( , )(

30、)exp()22ff udu. 是标准正态分布函数是标准正态分布函数 （3） 于是可给出参数于是可给出参数 、 、 的的ML估估 计，从而得到计，从而得到 、 以及技术效率的估计：以及技术效率的估计： (.)1222(),uv,uvuv(exp():iiTEEu1()IiiLF221121lnlnlnln ()22IIiiiiILI ,uvML .(,)(|)()fufuf*2*2*1()exp1() ,22u22*,u 2222*,uv (exp|)iiiTEEu2*1()1exp,1()2iii . 2.正态正态指数模型的指数模型的ML估计估计 假设：假设： （1） （2） 指数分布指数分

31、布 （3） 和和 的密度函数以及的密度函数以及u和和v的联合的联合密密 度函数、度函数、 和和 的联合密度函数分别是：的联合密度函数分别是：2( 0 ,)ivvNiuiidiviuuv u 1( )exp(),uuuf u221( )exp(),22vvvf v. 于是可给出参数于是可给出参数 、 、 的的ML估计以及估计以及技术效率的估计：技术效率的估计：222( , )exp(),22uvuvuvf u v 222()( ,)exp(),22uvuvuf u 2201( )( , )()exp(),(5)2vvuuvuuff uduuv(exp():iiTEEu1( )IiiLF.2211

32、1lnln()ln (),2IIviiiiuuLIIA ,uvM L (,)(|)()fufuf221()exp,22()vvu iivA 2(),iivu. 3.正态正态半正态模型的矩估计（半正态模型的矩估计（MOLS） 此时的假设与正态此时的假设与正态半正态模型的半正态模型的ML估计估计 的假设一样，模型是：的假设一样，模型是： （7） 首先，模型（首先，模型（7）具有）具有0均值和不变的方差，均值和不变的方差，因而可用因而可用OLS得到参数得到参数 的一直估计，的一直估计，的的OLS估计不是一致的。估计不是一致的。(exp|)iiiT EEu2*1()1exp,(6)1()2iii 0l

33、n( )ln( )iinniiiinYE uXvuE un0()iE u. 其次，用矩方法得到其次，用矩方法得到 和和 的方差估计：的方差估计： 是常数，是常数， iviu( )2,iuE u2()(2),iuV u33()2(14),uuE u ( )iE u( )( )iiiiiE uvuE u222(2)()vuiiEE 22()()iiiiEE uEE um332(14)()uiiEE 33()(),iiiiEE uEE um. 再次，用再次，用 的方差估计量来对的方差估计量来对OLS截距估计截距估计进行调整（进行调整（MOLS）：）： 最后用（最后用（6）式得到技术效率）式得到技术效

34、率 的点估计。的点估计。 关于这两种估计方法的比较，关于这两种估计方法的比较，Olson,Schmidt,Waldman基于蒙特卡罗试验的基础上指出：选择基于蒙特卡罗试验的基础上指出：选择哪种估计反复取决于哪种估计反复取决于 值和值和样本大小样本大小。当容量。当容量 400且且 3.16时，矩估计优于时，矩估计优于ML估计，当估计，当 较大时，较大时，ML估计优于矩估计，并且随着样本容量估计优于矩估计，并且随着样本容量2233(),2(14)um2222(1)vumiu002()iuE uiTE. 的增加，这种优势也增加。但是，由于增加，这种优势也增加。但是，由于MOLS估计的第估计的第一步没

35、有使用分布假设，所以其第一步估计对一步没有使用分布假设，所以其第一步估计对 和和 的分布是稳健的。的分布是稳健的。 下面利用下面利用随机前沿生产函数随机前沿生产函数估计估计利润效率利润效率。 假设生产前沿为：假设生产前沿为： 这里这里 是产出数量，是产出数量， 代表可变投入向量，代表可变投入向量， 代表固定投入向量，代表固定投入向量， 代表着产出导向的代表着产出导向的 iviu( , ,)*exp(),yf x zu12(,),Nxxxx12(,)Qzzzzyxzu. 技术无效率，利润最大化的一阶条件是：技术无效率，利润最大化的一阶条件是： 其中其中 度量配置效率，度量配置效率， 0 ,pyc

36、0( , ,)exp(),nnnpfx zuwx(,)ex p (),nnfxzuwp1,2,nN12(,)Nww ww( , ,)exp()exp(),nnnwfx zup. 分别代表着可变投入的不足和过度。分别代表着可变投入的不足和过度。 考虑考虑CD生产函数及其一阶条件：生产函数及其一阶条件： 假设：假设： （1） （2） （3）0lnlnlnnnqqnqyxzvu0lnlnlnlnlnnnnkkqqnkqwxxzup 1,2,nN2(0 ,)ivviid N2(0,)iuuiidN12(,)(0,)NiidN. （4） ， ， 是相互独立的是相互独立的 则密度函数、联合密度函数和似然函

37、数分别则密度函数、联合密度函数和似然函数分别是：是： iivnu()()ffvu22222222()exp()2()2()uvuvuvuv 1 2121()exp(),2(2)|nf222lntanlnlnln|ln2222vuIIIILconst 1ln()ln(1)22iiiiIr.这里：这里： 2212212( )( )()iiviiivibbIb 1222111uvII2221()iiviIbiiiuviiibIu (1,1,1) .I . 极大化该似然函数，得到所有技术参数和效率极大化该似然函数，得到所有技术参数和效率参数，然后用下式估计技术效率：参数，然后用下式估计技术效率： 配置

38、效率配置效率的估计可通过在一阶条件的残差中减的估计可通过在一阶条件的残差中减去技术效率来得到。去技术效率来得到。 ()(|,)()iiiiiiE ub .横截面数据与面板数据横截面数据与面板数据面板数据面板数据：各生产单元的观察值重复出现，引入：各生产单元的观察值重复出现，引入T(各生产单元有各生产单元有T各观察值各观察值)横截面数据模型存在横截面数据模型存在2各问题：各问题：1.用极大似然法对随机生产边界模型估计和从统计用极大似然法对随机生产边界模型估计和从统计噪音中分离出技术无效项都要求对每个误差组成噪音中分离出技术无效项都要求对每个误差组成部分设定严格的分步部分设定严格的分步假设假设。对

39、于这些假设的推导。对于这些假设的推导尚无充分的论证。尚无充分的论证。2.极大似然估计法还要求技术无效项与极大似然估计法还要求技术无效项与自变量无关自变量无关，事实上，技术有效性是很容易与生产者选择的投事实上，技术有效性是很容易与生产者选择的投入向量相关的。入向量相关的。.3.2.1非时变技术有效性非时变技术有效性固定效应模型固定效应模型-最简单的面板数据模型最简单的面板数据模型假设：假设：vitiid(0, v2)且与自变量不相关且与自变量不相关 ui的分布不设定假设的分布不设定假设（解释）（解释）通过通过 OLS:Lnyit= 0i+ n Lnxnit+vit 其中，其中， oi= o-ui

40、表示各个生产单表示各个生产单元的截距元的截距n.LSDV模型模型(虚拟变量最小二乘模型虚拟变量最小二乘模型)1.排除排除 o，估计，估计I个生产单元的截距个生产单元的截距2.保留保留 o，估计，估计I-1个生产单元的截距个生产单元的截距3.将所有数据表示成对于均值的偏差，将所有数据表示成对于均值的偏差，I个截个截距作为各个生产单元残值的均值距作为各个生产单元残值的均值. o=max oi ui= o- oi 所以，各个生产单元技术有效性可表所以，各个生产单元技术有效性可表示为：示为： TEi=exp-uii .第四章第四章 对生产率和效率变化的度量对生产率和效率变化的度量 生产率的增长是由三部

41、分组成，一个是生产率的增长是由三部分组成，一个是技术进技术进步步（如新技术的采用和新产品的发现），二是（如新技术的采用和新产品的发现），二是技术技术效率效率（如管理效率的提高和生产经验的积累），三（如管理效率的提高和生产经验的积累），三是是规模效率规模效率（组建和管理大企业乃至大国经济的能（组建和管理大企业乃至大国经济的能力）。在实践中，这一新的生产率概念主要应用生力）。在实践中，这一新的生产率概念主要应用生产函数进行拆分，而前沿生产函数的估测又较多依产函数进行拆分，而前沿生产函数的估测又较多依赖于面板数据的采用。赖于面板数据的采用。 对生产率进行拆分的前沿生产函数模型主要对生产率进行拆分的前

42、沿生产函数模型主要分两种，一种为分两种，一种为随机性的参数型模型随机性的参数型模型，另一种为，另一种为. 确定性的非参数型模型确定性的非参数型模型。前者通常先估计一个生产。前者通常先估计一个生产函数，考虑到该生产函数中误差项目的复合结构及函数，考虑到该生产函数中误差项目的复合结构及其分布形式，并根据误差项的分布假设不同，采用其分布形式，并根据误差项的分布假设不同，采用相应的技术方法来估计生产函数中的各个参数。其相应的技术方法来估计生产函数中的各个参数。其最大优点是通过估计生产函数对个体的生产过程进最大优点是通过估计生产函数对个体的生产过程进行了描述，从而使对技术效率的估计得到了控制；行了描述，

43、从而使对技术效率的估计得到了控制；缺点是对效率的偏倚方向设定及效率和技术进步参缺点是对效率的偏倚方向设定及效率和技术进步参数之间的识别尚无法提供灵活、可行的解决方案。数之间的识别尚无法提供灵活、可行的解决方案。后者则首先根据样本中所有个体的投入和产出构造后者则首先根据样本中所有个体的投入和产出构造一个能包容所有个体生产方式的最小的可能性集一个能包容所有个体生产方式的最小的可能性集合：即所有要素和产出的有效组合。合：即所有要素和产出的有效组合。. 1、 设设 以上代表所采用的生产技术：以上代表所采用的生产技术：( ):,( , )min:()( )P xy xdo x yyP x可以生产y0.5

44、0000( , )( , )( , )( , )stttttststssssd y xd y xTFPd y xd y x0.5000000( , )( , )( ,)( ,)( , )( ,)tssttttsssstssttssd y xd y xd y xd y xd y xd y x. （1） （2）00(,)(,)tttstSssdyxT Edyx0.50000(,)(,)(,)(,)ssttssstttttssdyxdyxTCdyxdyxstststTFPTETCln()ln()ln()stststTFPTETC. 其中其中TE代表技术效率的变化，代表技术效率的变化，TC代表技术进代

45、表技术进步，二者均以步，二者均以S期为基期，即假定基期数值为期为基期，即假定基期数值为1，求出比较期的数值，他们均可能大于求出比较期的数值，他们均可能大于1，若以对数，若以对数形式表示，其含义是相对于基期的增长率，因而形式表示，其含义是相对于基期的增长率，因而（2）式更符合平常的生产率核算要求。）式更符合平常的生产率核算要求。 2、SFA 方法方法 假设假设SFA生产函数如下：生产函数如下： (3) ln(, , )itititityf x tvu1,2,iN1,2,tT. 这里这里f(.) 是合适的生产函数形式，如超越对数是合适的生产函数形式，如超越对数函数；函数； t是时间趋势，代表技术进

46、步（是时间趋势，代表技术进步（TC），其他），其他符号如前。符号如前。 在估计了参数后，可得到；在估计了参数后，可得到； 0( ,)(exp()|),tititititititititd x yTEEueevu0(,)(exp()|),sisisisisisisisisd x yTEEueevuitisTECTE TE. 3、对生产率变化（、对生产率变化（TFPC）的分解）的分解 设生产函数为设生产函数为 则则技术技术进步进步（准确的说叫技术变化，（准确的说叫技术变化，TC）用）用 度量，度量，TC为正、为为正、为0、为负分别对应着技术、为负分别对应着技术变化使得生产前沿向上移动、不动、向下移

47、动；变化使得生产前沿向上移动、不动、向下移动；技术效率变化技术效率变化（TEC）用）用0.5(, ,)(, ,)(1)(1)isitf xsf xtTCst( , ,)exp(),yf x tuln( , ,)fx tTCt. 度量，度量，TEC为正、为为正、为0、为负分别对应着技术、为负分别对应着技术效率的下降、不变、上升。技术效率变化可以被效率的下降、不变、上升。技术效率变化可以被解释为生产者远离生产前沿、保持相对距离、向解释为生产者远离生产前沿、保持相对距离、向生生产前沿移动，当然在此过程中生产前沿也随时间产前沿移动，当然在此过程中生产前沿也随时间移动，移动，全要素生产率变化全要素生产率变化(TFPC)采用采用Divisia指数指数（迪氏数量指数迪氏数量指数）来度量，用）来度量，用sn表示基期（或现表示基期（或现期）投入要素加之份额，期）投入要素加之份额，字母上边加一点表示其字母上边加一点表示其变化率：变化率： uT E Ct . (, ,) e x p (),yfx tulnln(, ,),1dyyfx tuyydxlnln( , ,)ln()nnnxdyf x tfudtxttt ln ( , , ) 1( , , )nnnnnxxf x tTE TECf