完整word版,历年考研数学线代真题1987-2016(最新最全)

1、 历年考研数学一真题 1987-2016 1987 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上) (5)已知三维向量空间的基底为因(1,1,0),2(1,0,1),%(0,1,1)，则向量B(2,0,0)在此基底下的坐标是. 三、(本题满分 7 分) 301 设矩阵A和B满足关系式AB=A2B,其中 A110,求矩阵B. 014 五、选择题(本题共 4 小题，每小题 3 分，满分 12 分.每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)设A为n阶方阵，且A的行列式|A|a。，而

2、A*是A的伴随矩阵，则|A*|等于 (A)a(B)(C)an1(D)an a 九、(本题满分 8 分) 问a,b为何值时，现线性方程组有唯一解，无解，有无穷多解？并求出有无穷多解时的通解X|x2x3x40 x22x32x41 x(a3)x32x4 3x1、2x2 x3ax4 1988 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 二、填空题(本题共 4 小题,每小题 3分,满分 12 分.把答案填在题中横线上) (4)设 4 阶矩阵A内节，,BR冽丫4,其中%G%,血函均为 4 维列向量，且已知行列式|A|4,|B|1,则行列式AB=. 三、选择题(本题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15

3、分.每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内) (5)n维向量组%,如L,%(3sn)线性无关的充要条件是 (A)存在一组不全为零的数k1,k2,L,ks,使k10clk2Lks/0 (B)如0C2,L,OCs中任意两个向量均线性无关 (C)如a2,L,0cs中存在一个向量不能用其余向量线性表小 (D)如，出山，窕中存在一个向量都不能用其余向量线性表示 求X与y. (2)求一个满足P1APB的可逆阵P. 七、(本题满分 6 分) 10 已知APBP,其中B00 00 八、(本题满分 8 分) 200 已知矩阵 A001 与 B 01x 0100 0,P21

4、0,求A,A5. 1211 200 0y0 相似. 001 1989 年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试卷 一、填空题（本题共 5 小题,每小题 3分,满分 15 分.把答案填在题中横线上） 300100 （5）设矩阵 A140,I010，则矩阵（A21）1=. 003001 二、选择题（本题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分.每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（5）设A是n阶矩阵，且A的行列式网0,则A中 （A）必有一列元素全为 0（B）必有两列元素对应成比例 （C）必有一列向量是其余列向量的线性组合（D）任一列向量是其余列向量的

5、线性组合 三、（本题共 3 小题，每小题 5 分,满分 15 分） 七、（本题满分 6 分） XX3 问为何值时，线性方程组4x1x2x32有解，并求出解的一般形式. 6x1x24x323 八、（本题满分 8 分） 假设为n阶可逆矩阵A的一个特征值，证明 为A1的特征值.1 1N 为A的伴随矩阵A*的特征值. 1990 年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试卷 一、填空题（本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上） (5)已知向量组oc1(1,2,3,4),oc2(2,3,4,5),0(3,4,5,6),以(4,5,6,7), 则该向量组的秩是. 二、选择题（本

6、题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分.每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） （5）已知自、是非齐次线性方程组AXb的两个不同的解，的、勿是对应其次线性方程组AX0的基础解析，K、侬为任意常数，则方程组AXb的通解（一般解）必是 设四阶矩阵 且矩阵A满足关系式 1991 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题(A) k1alk2(%2) (B)k1alk2(eq 02) (C) 七、 k1电k2(B1%) (本题满分 6 分) (D)k1% 1 0 B 0 0 1

7、 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 ,C 2 0 0 0 1 2 0 0 3 1 2 0 4 3 1 2 A(E 1_ 1B)C 其中E为四阶单位矩阵,C八、（本题满分 8 分） A. 中横线上) 5200 (5)设 4 阶方阵A 0011 二、选择题(本题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分.每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)(5)设n阶方阵A、B、C满足关系式ABCE,其中E是n阶单位阵，则必有 (A)ACBE(B)CBAE (C)BACE(D)BCAE 七、(本题满分 8 分) 已知的(1,0,2,3),a2(1,1,3,5

8、),03(1,1,a2,1),的(1,2,4,a8)及B(1,1,b3,5). (1) a、b为何值时，0不能表示成知网,如%的线性组合？ (2) a、b为何值时，B有1,0(2,0C3, 4的唯一的线性表小式？写出该表小式. 八、(本题满分 6 分) 设A是n阶正定阵，E是n阶单位阵，证明AE的行列式大于 1.1992 年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试卷 填空题（本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上） (5) abi 设Aa2b1 L aE a1b2 a2bi L aE L L L L ah ：n,其中ai0,b0,(i1,2,L,n).则矩阵A的秩

9、r(A)= anbn 选择题（本题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分.每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求 ,把所选项前的字母填在题后的括号内） (5) 1 0，& 2 都是线性方程组AX0的解，只要系数矩阵A为 (A) (B) (C) 0 (D)4 0 2 0 1 2 1 01 11 1 2 1 八、 （本题满分 7 分） 设向量组 火，孙陶 （1）0 能否由 团能否由 出，03 线性相关，向量组如环应线性无关，问:线性表出？证明你的结论. 孙如出线性表出？证明你的结论. 将B用122,&线性表出. 求An艮n为自然数）. 1993 年全国硕士研究生入学统一

10、考试数学(一)试卷 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上) (5)设n阶矩阵A的各行元素之和均为零,且A的秩为n1,则线性方程组AX0的通解为. 二、选择题(本题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分.每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内) 123 (5)已知 Q24t,P 为三阶非零矩阵，且满足PQ0,则 369 (A)t6时P的秩必为 1B)t6时P的秩必为 2 (C)t6时P的秩必为 1(D)t6时P的秩必为 2 七、(本题满分 8 分) 已知二次型f(x”X2,X3)2x；3x23x22ax2

11、X3(20)通过正交变换化成标准形fy；2y25y2,求参数a及所用的正交变换矩阵. 八、(本题满分 6 分) 设A是nm矩阵，B是mn矩阵，其中nm,I是n阶单位矩阵，若ABI,证明B的列向量组线性无关.九、（本题满分 7 分） 设 3 阶矩阵A的特征值为11,2 111 &1,&2，刍 3，又向量 149 2,33,对应的特征向量依次为 1 2. 3 1994 年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试卷 一、填空题（本题共 5 小题,每小题 3分,满分 15 分.把答案填在题中横线上） （5）已知a1,2,3,31,1,1,设Aa&其中a是a的转置，则An=. 23

12、 、选择题（本题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分.每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） 已知向量组供，如%线性无关，则向量组 (A) %02,02 (0)(x102,a2 %,肉 83, 84,&%线性无关%84%线性无关 (B)0cl (D)% 82,82 0(3,的84,84 口2,8283,83%，口4 的线性无关 的线性无关 八、（本题满分 8 分） 设四元线性齐次方程组（为x1x2, X2X40 又已知某线性齐次方程组（H）I 通解为k1（0,1,1,0）k2（1,2,2,1）. （1）求线性方程组（I）的基础解析. （

13、2）问线性方程组（I）和（R）是否有非零公共解？若有，则求出所有的非零公共解 .若没有，则说明理由. 九、（本题满分 6 分） 设A为n阶非零方阵，A*是A的伴随矩阵,A是A的转置矩阵，当A*A时,证明A0. 九、（本题满分 6 分） 设A为n阶矩阵，满足AA1（1是n阶单位矩阵，A是A的转置矩阵）,|A|0,求AI1995 年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试卷 、填空题（本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上） 设三阶方阵A,B满足关系式A1BA6ABA,且A0 0，则B= 、选择题（本题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分.每小题给出的四个选项

14、中，只有一个符合题目要求 ,把所选项前的字母填在题后的括号内） a11 (5)设 Aa21 a31 (A)AP1P2=B (C)P1P2A=B 八、(本题满分 a12 a13 a11 a12 a13 a22 a23,B a21 a22 a23,P1 a32 a33 a31 a32 a33 (B)AP2Pl=B (D)P2KA=B 7 分) 设三阶实对称矩阵A的特征值为1 1, 231,对应于1的特征向量为 0 1，求A. 1 010 100,P2 001 1996 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上)

15、102 设A是43矩阵，且A的秩r(A)2,而 B020,则r(AB)=. 103 二、选择题(本题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分.每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内) 九、(本题满分 8 分) 已知二次型Mxx.xs)5x；5x；cx22x1x26x1x36x2x3的秩为 2, (1)求参数c及此二次型对应矩阵的特征值. 指出方程f(x1,x2,x3)1表示何种二次曲面. (5)四阶行列式 ai 0 0 b4 a2 a3 0 0 b2 b3 0 bi 0 0 a4 的值等于 (A)a1a2a3a4b1b2b3b4 (C)(a1a2b1

16、b2)(a3a4b3b4) 八、(本题满分 6 分) 设AI2七其中I是n阶单位矩阵 (1)A2A的充分条件是E21. (2)当？21时，A是不可逆矩阵. (B)a1a2a3“bb2b3b4(D)(a2a3b2b3)(a1a4bA) ，先n维非零列向量，J是工的转置.证明 1997 年全国硕士研究生入学统一考试数学 一、填空题（本题共 5 小题,每小题 3分,满分 15 分.把答案填在题中横线上） 122 设 A4t3 旧为三阶非零矩阵，且ABO5h=. 311 （A）0C1,02,先线性相关（B）0C1,02,03线性无关 （C）秩（01,如QC3）秩（Ol,02）（D）01,0C2,03线

17、性相关，01,0（2线性无关 七、（本题共 2 小题，第（1）小题 5 分，第（2）小题 6 分，满分 11 分） 设B是秩为 2 的54矩阵，0tl1,1,2,3T,021,1,4,1T,陶5,1,8,9T是齐次线性方程组Bx0的解向量，求Bx0的解空间的一个标准正交 基.212 5a3 的一个特征向量. 1b21）试确定a,b参数及特征向量E所对应的特征值. 2）问A能否相似于对角阵？说明理由. 八、（本题满分 5 分） 设A是n阶可逆方阵，将A的第i行和第j行对换后得到的矩阵记为B. 证明B可逆. （一）试卷 、选择题（本题共 5 小题，每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选

18、项中 ,只有一个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） (4)设oq (其中a：bi20,i1,2,3)交可 c1 C2,则三条直线 C3 点的充要条件是 a1xbyq0,a2xb2yc0,a3xb3yq0 a2,02 求ABII. 1998 年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试卷 一、填空题（本题共 5 小题,每小题 3分,满分 15 分.把答案填在题中横线上） 设A为n阶矩阵A|0,A为A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵.若A有特征值，则（A）2E必有特征值. 二、选择题（本题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分.每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，把所选项前的

19、字母填在题后的括号内） （4）设矩阵 31blG a2b2c2是满秩的，则直线xa3zC3与直线x31VbzG ,3132b1b2C1C232a3b2b3C2C3 a3b3c3 （A）相交于一点（B）重合（C）平行但不重合（D）异面 十、（本题满分 6 分） x 已知二次曲面方程x23y2z22bxy2xz2yz4可以经过正交变换 yP 化为椭圆柱面方程2424,求3,b的值和正交矩阵P. z H、 （本题满分 4 分） 关的. 十二、（本题满分 5 分） II （2）已知七1 是矩阵 A 1 312x2 L 31,2nx2n 0 322x2 L 32,2nx2n 0 M 3n2x2 L 3n

20、,2nx2n 0 设A是n阶矩阵，若存在正整数k,使线性方程组Akx 0有解向量蠲且Ak1a0.证明：向量组a,Aoc,L,Aa是线性无 bnV1 b12y2 L bl,2ny2n 0 的一个基础解析为（b111bl2,L,b1,2n）（b21,b22,L,%0）”，出1,2人也20）.试写出线性方程组（H） b21V1 b22y2 M L b2,2ny2n 0 bn1V1 %2y2 L bn,2ny2n 0 的通解，并说明理由. 已知方程组（I）3平 3n1x1 1999 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中

21、横线上) (4)设n阶矩阵A的元素全为 1,则A的n个特征值是. 二、选择题(本题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分.每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)设A是mn矩阵，B是nm矩阵，则 (A)当mn时，必有行列式|AB|0(B)当mn时，必有行列式|AB|0 十、(本题满分 8 分) 1、(本题满分 6 分) 设A为m阶实对称矩阵且正定，B为mn实矩阵，BT为B的转置矩阵，试证BTAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)n (当门m时，必有行列式|AB|0 (D)当nm时，必有行列式|AB|0 设矩阵 A a1c 5b3，其行列式|A

22、| 1c0a 1,又A的伴随矩阵A*有一个特征值,属于的一个特征向量为a(1,1,1)T,求a,b,c和的值. （C）向量组 0bL，断与向量组 3L D）矩阵A（%,L,而）与矩阵B（,国）等价 十、（本题满分 6 分） 设矩阵A的伴随矩阵 1 0 1 0 0 1 0 3 0 0 1 0 0 0 0且ABA 8 1 BA 3E,其中E为 4 阶单位矩阵，求矩阵B. H、（本题满分 8分） 某适应性生产线每年 1 月份进行熟练工与非熟练工的人数统计 ，然后熟练工支援其他生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐.新、老非熟练 工经过培训及实践至年终考核有2成为熟练工.设第n年 5 1 月份统计的熟

23、练工与非熟练工所占百分比分别为Xn和yn,记成向量 Xn yn 求xn1yn1 Xn的关系式并写成矩阵形式： yn xn1A yn1 Xn yn 一4 验证月 1. 1是A的两个线性无关的特征向量，并求出相应的特征值.（3）当 X1 y1 1 2 1 2 时，求 Xn1 yn1 2000 年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试卷 一、填空题（本题共 5 小题，每小题 3分,满分 15 分.把答案填在题中横线上） 121%1 已知方程组 23a2X23 无解，则a=. 1a2X30 二、选择题（本题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分. 设n维列向量组g,L,am（mn）线性无关，则n

24、维列向量组加L,配线性无关的充分必要条件为 （A）向量组的,L,即可由向量组 3L,露线性表示（B）向量组配L,除可由向量组如L,即线性表示 2001 年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试卷 、填空题（本题共 5 小题，每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上） （4）设A2A4EO,则（A2E）1=. 、选择题（本题共 5 小题，每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） 11 11 4 0 0 0 设A11 11B 0 0 0 0，则A与B 11 11 0 0 0 0 11 11 0 0 0 0 （A）合

25、同且相似（B）合同但不相似 （C）不合同但相似（D）不合同且不相似 九、（本题满分 6 分） 设0C1,OC2,L,Ofc为线性方程组AXO的一个基础解系，向tl0C1t20C2,也tl0C2t203,L,&tlOCst20C1,其中 t1,t2为实常数，试问 t1,t2满足什么条件 时氏区,L,国也为AXO的一个基础解系？ 十、（本题满分 8 分） 已知三阶矩阵A和三维向量x,使得x,Ax,A2X线性无关，且满足A3x3Ax2A2x. （1）记P（x,Ax,A2x）,求B使APBP1. （2）计算行列式|AE.2002 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 一、填空题(本题共

26、5 小题，每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上) (4)已知实二次型f(x1,x2,x3)a(x12x2x2)4x1x24x1x34x2x3经正交变换可化为标准型f6yl2,则2=. 二、选择题(本题共 5 小题，每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内) (4)设有三张不同平面，具方程为 a$byczdi(i1,2,3)它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为 2,则这三张平面可能 的位置关系为 九、(本题满分 6 分) 已知四阶方阵A(%a2,a3,a4),%,a2,a3,a4均为四维列向量，其

27、中a2,g，a4线性无关，2a2a3.若0%a2a3%,求线性方程组 Ax0的通解. 十、(本题满分 8 分) 设A,B为同阶方阵， (1)若A,B相似，证明A,B的特征多项式相等. (2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立. (3)当A,B为实对称矩阵时，证明(1)的逆命题成立.2003 年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试卷 、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分.把答案填在题中横线上） 1111 （4）从 R2的基0cl,的到基 B,&的过渡矩阵为 0112 、选择题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分.每小题给出的四个选项中，只有

28、一个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） （4）设向量组 I:四,孙L,与可由向量组 II:3,0,L,&线性表示，则 （A）当rs时，向量组 II 必线性相关（B）当rs时，向量组 II 必线性相关 （C）当rs时，向量组 I 必线性相关（D）当rs时，向量组 I 必线性相关 （5）设有齐次线性方程组 Ax0 和 Bx0,其中A,B均为mn矩阵，现有 4 个命题： 若 Ax0 的解均是 Bx0 的解，则秩（A）秩（B） 若秩（A）秩（B）,则 Ax0 的解均是 Bx0 的解 若 Ax0 与 Bx0 同解，则秩（A）秩（B） 若秩（A）秩（B）,则 Ax0 与 Bx0 同解

29、 十、（本题满分 8 分） 已知平面上三条不同直线的方程分别为l1:ax2by3c0,l2:bx2cy3a0,l3:cx2ay3b0.试证这三条直线交于一点的充分 必要条件为 abc0. 以上命题中正确的是 （A） 九、（本题满分 10 分） 322 设矩阵A232,P 223 (B) (C) (D) 010 101,BP1A*P,求 B2E 的特征值与特征向量，其中 A*为A的伴随矩阵，E为 3 阶单位矩阵. 001 2004 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 、填空题(本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分.把答案填在题中横线上) 210 (5)设矩阵A120,矩阵B满

30、足 ABA*2BA*巳其中 A*为A的伴随矩阵，E是单位矩阵，则 B= 001 、选择题(本题共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分.每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内) (11)设A是 3 阶方阵，将A的第 1 列与第 2 列交换得B,再把B的第 2 列加到第 3 列得 C,则满足 AQC 的可逆矩阵 Q 为 010010 (B) 101(C)100 001011 nxnx2L(na)xn0, 试问a取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解. (21)(本题满分 9 分) 010 (A)100 101 011 (D)100 001 (12)设

31、A,B为满足 AB O 的任意两个非零矩阵，则必有 (A)A的列向量组线性相关 (C)A的行向量组线性相关 (20)(本题满分 9 分) ,B的行向量组线性相关 ,B的行向量组线性相关 (B)A的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关 (D)A的行向量组线性相关，B的列向量组线性相关 (1a)xX2LXn0, 设有齐次线性方程组 2XI(2a)x2L2xnLLLLLL 0, (n2) 143的特征方程有一个二重根，求a的值，并讨论A是否可相似对角化 设矩阵A 2005 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 一、填空题(本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分.把答案填在题中横线上

32、) (5)设%血，的均为 3 维列向量,记矩阵 A(O),a2,3Q),B(如a2a3,o)2a2403,%3a29a3), 如果 A|1,那么|B 二、选择题(本题共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内) (11)设1,2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为,a2,则,A(凶的)线性无关的充分必要条件是 (A)i0(B)20 (C) i0(D)20 (12)设A为n(n2)阶可逆矩阵，父换A的第 1 行与第 2 行得矩阵B.A,B分别为A,B的伴随矩阵，则 (A)父换 A 的第 1 列与第 2

33、列得 B(B)父换 A 的第 1 行与第 2 行得 B (C)父换 A 的第 1 列与第 2 列得 B(D)父换 A 的第 1 行与第 2 行得 B (20)(本题满分 9 分) 已知二次型f(x1,x2,x3)(1a)x；(1a)x；2x；2(1a)x1x2的秩为 2. (1)求a的值； (2)求正交变换xQy,把f(x1,x2,x3)化成标准形. (3)求方程f(x1,x2,x3)=0 的解. (21)(本题满分 9 分) 已知 3 阶矩阵A的第一行是(a,b,c),a,b,c不全为零，矩阵B 123 246(卜为常数)，且人 8O,求线性方程组 Ax0 的通解. 36k 2006 年全国

34、硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 一、填空题(本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分.把答案填在题中横线上) 21 一.一,一 (5)设矩阵 A,E为 2 阶单位矩阵，矩阵B满足 BAB2E,则 B=. 12 (6)设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间0,3上的均匀分布，则 PmaxX,Y1=. 二、选择题(本题共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内) (11)设内,a2,L,0cs，均为n维列向量，A是mn矩阵，下列选项正确的是 (A)若,L,%,线性相关，则A%,A%L,A%,线性相关(B

35、)若,牝上，%,线性相关，则A%A2,L,A%,线性无关 (C)若,ot2,L,%,线性无关，则A%,A%L,A%,线性相关(D)若,L,%,线性无关，则A%A牝上，A%,线性无关. 110 (12)设A为 3 阶矩阵，将A的第 2 行加到第 1 行得B,再将B的第 1 列的-1 倍加到第 2 列得 C,记P010,则 001 1 1TT (A)CP1AP(B)CPAP1(C)CPTAP(D)CPAPT X|x2x3x41 4x13x25x3x41有 3 个线性无关的解 (2)求a,b的值及方程组的通解 (20)(本题满分 9 分) 已知非齐次线性方程组 ax1 x23x3bx41 (1)证明

36、方程组系数矩阵 A的秩 r 2. (21)(本题满分 9 分) 设 3 阶实对称矩阵A的各行元素之和均为 3,向量出 (1)求A的特征值与特征向量. (2)求正交矩阵 Q 和对角矩阵A,使得QTAQA. 1,2,1T,0C20,1,1T是线性方程组 Ax0 的两个解. 2007 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 、选择题(本题共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后括号内)(7)设向量组卬如。3线性无关,则下列向量组线形相关的是 填空题(11-16 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定

37、位置上) 0100 0010 0001 0000 位矩阵. (1)验证出是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量 (2)求矩阵B. (A) %如2 (8)设矩阵A a3a31 211 121 112 (B) %oc2,oc2a3,a3 100 010,则A与B 000 (C)% 2oc2,oc2203,oc32al(D)o)202,oc22%,a32al (A)合同，且相似 (B)合同，但不相似(C)不合同，但相似 (D)既不合同，也不相似 (15)设矩阵A 则 A3的秩为 (21)(本题满分 11 分) XiX2X30 设线性方程组x12X2ax30,与方程x12X22 x14x2a

38、x30 x3 (22)(本题满分 11 分) 设 3 阶实对称矩阵A的特征向量值11,22,32.g a1,有公共解，求a的值及所有公共解. (1,1,1),是庆的属于特征值1的一个特征向量，记B A54A3E,其中E为 3 阶单 2008 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 一、选择题(1-8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)(5)设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵.若A30,则 (A)EA不可逆，EA不可逆(B)EA不可逆，EA可逆 (C)EA 可逆，EA 可逆(D)EA 可逆，EA 不可逆

39、 、填空题(9-14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上.) (13)设A为 2 阶矩阵，孙牝为线性无关的 2 维列向量，Aoi0,Aa22的血，则A的非零特征值为. (20)(本题满分 11 分) AaT0T,1为a的转置，0T为0的转置.证明： (1)r(A)2.(2)若B 线性相关，则r(A)2. (21)(本题满分 11 分) 3a为何值,方程组有无穷多解，求通解. 设矩阵A (1)求证 A 2a1 2_- a2aO OO1 a22a (2)a为何值,方程组有唯一解 ,现矩阵A满足方程 AX nn ，求XI. B,其中X XI,L,XnT,B1,0,L,0

40、 2009 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 、选择题(1-8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.) 、填空题(9-14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上.) (13)若 3 维列向量%(满足aT (20)(本题满分 11 分)6789 6&.(2)对(1)中的任意向量&,&证明&,&,&无关. (21)(本题满分 11 分) 设二次型 fX1,X2,X3ax2ax2a1x22x1X32x2X3. (1)求二次型f的矩阵

41、的所有特征值;(2)若二次型f的规范形为y；y2,求a的值. 11 (5)设的，a2,03是 3 维向重仝向 R 的一组基，则由基O1,oc2,03 23 1 到基 %0(2,82出,83 %的过渡矩阵为 1 (A)2 0 1 (B)0 1 2 1 (C)1 2 1 2 1 4 1 4 1 4 1 6 1 6 1 6 1 2 1 (D)J 4 1 6 1 2 1 4 1 6 1 2 1 4 1 6 (6)设A,B均为 2 阶矩阵，A,B分别为A,B的伴随矩阵,若 A 2,B3,则分块矩阵 A 的伴随矩阵为 O _* (A)03B 2AO _* (B)02B3A0 _* (C)03A 2BO _

42、* (D)02A 3BO 2,其中7为a的转置，则矩阵0T的非零特征值为 匕的所有向量 2010 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 、选择题(1-8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中 (5)设A为mn型矩阵，B为nm型矩阵，若ABE,则 、填空题(9-14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上.) (13)设火(1,2,1,0)T,u(1,1,0,2)T,%(2,1,1,)T,若由孙如为形成的向量空间的维数是 2,则 a 1，已知线性方程组 Axb 存在两个不同的解. 1 求，a. (2)求方程组 Axb 的通解. (21)(

43、本题满分 11 分) 设二次型f(x,X2,X3)xTAx在正交变换xQy下的标准形为y2y；,且 Q 的第三列为(,0,、，)T. (1)求 A. (2)证明AE为正定矩阵，其中E为 3 阶单位矩阵. ，只有一项符合题目要求 ，把所选项前的字母填在题后的括号内.) (A)秩(A)m,秩(B)m (6)设A为 4 阶对称矩阵，且A2A (B)秩(A)m,秩(B)n( 0,若A的秩为 3,则A相似于 C)秩(A)n,秩(B)m (D)秩(A)n,秩(B)n (A) (B) (C) (D) (20)(本题满分 11 分) 11 设A010,b 11 2011 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)

44、试卷 一、选择题(1-8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内 1001 5、设 A 为 3 阶矩阵，把 A 的第二列加到第一列得到矩阵 B,再交换 B 的第二行与第 3 行得到单位阵 E,记110,P20 0010 则 A=() ARP2BP11P2CP2PlDP21R 6、设A(1234)是 4 阶矩阵，A*为 A 的伴随矩阵。若(1,0,1,0),是 Ax0 的一个基础解系，则A*x0的基础解系可为() A13B12C123D234 二、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸

45、指定的位置上。 13、若二次曲面的方程x23y2z22axy2xz2yz4,经正交变换化为y：24,则 a 20、(本题满分 11 分) 设向量组1(1,0,1)，2(0,1,1)T,3(1,3,5)T不能由向量组1(1,1,1)T,2(1,2,3)，3(3,4,a)T线性表示； (1)求 a 的值； (2)将1,2,3用1,2,3线性表示； 21、(本题满分 11 分) 11 A 为 3 阶实对称矩阵，A 的秩为 2,且A00 -11 求(1)A 的特征值与特征向量(2)矩阵 A.) 00 01, 10 11 00 11 一、选择题:定位置上. 18 小题，每小题 2012 年全国硕士研究生

46、入学统一考试数学（一）试卷 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指 (5) 0 0, CI C2 1 1, C3 1 1其中CI。为任意常数, C4 则下列向量组线性相关的是（ (A) (B) (C) 1,3,4 (D) 2,3,4 (6) 设A为 3 阶矩阵, P为 3 阶可逆矩阵，且 1AP 1,2,3 ，Q12,2,3 贝UQ1AQ (A) 1 (B)1 2 (C) 2 (D) 、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分, 2 请将答案写在答题纸 指定位置上. (13) 设 X 为三维单位向量，E 为三阶单位矩阵

47、，则矩阵ExxT的秩为 (20) 1 （本题满分10分）设A0 a 1 0 0 1 1 0 0 (21) 求A 已知线性方程组 Axb 有无穷多解, 并求 Axb 的通解。 10 （本题满分 10 分）三阶矩阵A01 10 ,AT为矩阵A的转置，已知r（ATA）2,且二次型f xTATAx。 1）求 a2）求二次型对应的二次型矩阵，并将二次型化为标准型，写出正交变换过程。 2013 硕士研究生入学考试数学一 5 .设 A,B,C 均为 n 阶矩阵，若 AB=C,且 B 可逆，则() A.矩阵 C 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价 B 矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价 C 矩

48、P$C 的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价 D 矩阵 C 的列向量组与矩阵 B 的列向量组等价 1a1200 6 .矩阵aba与0b0相似的充分必要条件为() 1 a1000 A.a0,b2B.a0,b为任意常数 C.a2,b0D.a2,b为任意常数 13.设 A=(aij)是 3 阶非零矩阵,A 为 A 的行列式，Aij为 aij的代数余子式.若 aij+Aij=0(i,j=1,2,3),则|A|= 20 .(本题满分 11 分) 1a01 设 Aa,B01,当 a,b 为何值时，存在矩阵 C 使得 AC-CA=B,并求所有矩阵 C。 1 01b 21 .(本题满分 11 分) aib1 设二次型f(x1,x2,x3)2(a1x1a2x2a3x3)2(b1x12*2b3x3)2,t己a2,b2。 a3b3 (1)证明二次型 f 对应的矩阵为 2TT； (2)若，正交且均为单位向量，证明 f 在正交变换下的标准