解决问题的策略：理解、实践与反思_

1、.解决问题的策略：理解、理论与反思 摘  要  “解决问题的策略是课标实验教材新编的内容，对这个教学内容各种版本的教材在素材选择、策略呈现上都显得比较零散、孤立，缺乏系统性、层次性，教学中老师们普遍觉得比较吃力。策略的教学不同于过去的应用题教学，老师必须关注学生策略的形成过程、策略的价值分析、策略背后的思想提炼，而不能仅仅把策略当作结论性或程序性的知识去教学。策略教学应着力让学生实现从方法到策略的提升，通过策略的学习感悟数学思想。关键词  数学  解决问题的策略  课堂教学  转化理解：什么是解决问题的策略 ?义务

2、教育数学课程标准实验稿?在课程总体目的的“解决问题方面明确指出要让学生“形成解决问题的一些根本策略，体验解决问题策略的多样性，开展理论才能与创新精神。为了让学生把解决问题的一些详细经历提升为数学考虑，不断增强运用策略解决问题的有效性和自觉性，进一步进步解决问题的才能，与数学课程标准配套的各种版本的小学数学教科书中，都或多或少地安排了“解决问题的策略的单元或者主题。人教版教材编排了“图示、列举、列表、找规律、从简单情况入手等解决问题的策略。北师大版教材编排的解决问题的策略有“画图、列举、猜测与尝试、从特例开场寻找规律 等。苏教版教材采用分散和集中相结合的原那么，第一学段分散安排，第二学段那么集中

3、编排了“解决问题的策略的单元，安排学生学习“摘录与列表、画图、一一列举、倒推、交换、转化等策略。对策略教学的加强既是课标的要求，同时也是学生数学学习本身的需要。关注策略教学首先就得考虑“什么是策略，就像“什么是时间一样，“什么是策略也很难给它一个严格的大家都认可的定义，但这并不影响我们对策略的理解。课堂教学中帮助学生体验策略、形成策略，也不需要对“策略是什么意思进展过多的说明或解释，学生可以在解决问题时感受“策略的含义就可以了。相对于详细命题和方法而言，策略是一种比较宏观的考虑问题的思路，其背后可能蕴涵着某种或者某些根本的思想与方法。策略与方法既亲密联络，又有明显区别，策略比方法上位，假如说“

4、方法是解决问题时所采用的手段与行为，那么 “策略那么是选择和使用方法的指导思想。策略比方法内隐，假如说“方法有时还可以由外部赋予，而“策略那么完全是自身内部形成的。小学生具有解决问题的策略主要表现为：积累了一些常用的解决问题的方法这是形成策略的前提，对合理地使用方法有所体验、有些经历这是策略的重要成份。苏教版教材副主审著名特级教师沈重予老师指出：“策略作为解决问题的计策、谋略，与“方法有区别，也有联络。“方法一般具有行为特征，有操作的成分，而“策略比方法上位，是组织和开展行动的方针，能指导有效地使用方法。“方法可以从外部输入，而“策略只能在内部滋生，我们可以通过讲解、示范、模拟，把方法教给学生

5、，但无法代替他们形成策略。正如下棋、打牌，要学会走棋、出牌，可以拜会下棋、会打牌的人为师，从他那里学到方法。假如希望走出妙棋、打出好牌，那么必须经常下棋、打牌，积累经历，形成策略，即使有高手指点，也要自己领悟。对于数学“解决问题的策略的理解，作为老师我们必须把它上升到其所蕴涵的根本思想方法上来，而这也正是有学者所强调的“学科根源性问题。对“学科根源性问题 的认识程度是我们教学中把握策略教学重难点的重要根据。如何理解小学数学“解决问题策略的本原性问题呢？譬如：“列表，它所蕴含的数学教学的本原性问题就是“对象的分类或者“概念的划分以及相应的分类或划分的方法；“画示意图，它所蕴涵的数学教学的根源性问

6、题就是数形结合的思想与相应的画图法；“列举，它所蕴含的数学教学的根源性问题就是分类的思想以及相应的分类方法；“倒推，它所蕴含的数学教学的根源性问题是过程或运算的可逆思想以及相应的互逆运算；“交换，它所蕴含的数学教学的根源性问题是过程中的不变量思想以及相应的等量关系；“假设，它所蕴含的数学教学的根源性问题是不变量思想和逼近思想以及相应的等量关系和逼近方法；“转化，它所蕴含的数学教学的本原性问题是不变量思想以及相应的等量代换方法由上面的阐述我们也可以看出策略的相对性和多样性，那种在教学中只关注一种策略却不对多种策略进展比较或分析的做法是不值得提倡的，那种把某种策略解释为“最好或“最有效的方法的理解

7、更是片面的。  理论：以转化的策略为例 对“解决问题的策略这部分内容，一线老师普遍感觉内容深、难度大，理论中产生了很多困惑：这部分内容与传统的应用题教学有什么不同？这部分内容终究应该教什么？通过这部分内容的学习，学生应该得到些什么？这些问题的答案可能在不少一线老师的心中都是模糊的。下文就以“义务教育课程标准实验教科书苏教版小学数学六年级下册第7172页解决问题的策略转化为例，介绍我们的一次探究*。“转化通俗地讲就是把一个数学问题变成一类已经解决或比较容易解决的问题，从而使原问题得以解决的一种策略。我们可以从三个方面来把握转化的策略：1转化的方向：化复杂为简单，化未知为；2转

8、化的前提：等值转化；3转化的方法：变形、数形结合、正难那么反等。这节课我们初步拟定了如下的三条教学目的：1初步学会运用转化的策略分析问题，并能根据问题的特点确定详细的转化方法，从而有效地解决问题。2通过回忆曾经运用转化策略解决问题的过程，从策略的角度进一步体会知识之间的联络，感受转化策略的应用价值。3进一步积累运用转化的策略解决问题的经历，增强解决问题的策略意识，主动抑制在解决问题中遇到的困难，获得成功的体验。在详细的理论中要想有效落实本课的教学目的，我们以为重点要注意以下的几点：一要让学生经历转化策略形成的过程，在过程中理解转化策略的内涵和特点，掌握策略；二要处理好多样化策略与转化策略的关系

9、，既要表达策略的多样性，又要关注策略的优化，突出转化策略；三要处理好方法、策略、思想之间的关系，让学生运用各种方法，理解转化策略，感悟转化思想。这节课的教学中主体部分我们主要分三步来施行：1发现策略，例题的教学重在解决问题的过程中引导学生体会化复杂为简单，感受转化的特点与作用。2回忆策略，按形体中的转化和计算中的转化两方面回忆小学数学教学中的转化策略，在回忆过程中不仅要系统整理，还要从策略的高度进展引导和提升。3应用策略，在练习中给学生留足独立考虑的时间，互相交流的时机，根据学生实际指导转化的详细方法，让学生在练习中学会用转化的策略解决问题。为便于和大家交流我把详细的教学过程整理在这里一、在故

10、事中自然地引入转化课前布置孩子们重温?曹冲称象?的故事。师：过去我们已经接触过不少策略，这节课我们继续来研究有关“策略的问题。                                        &#

11、160;         板书课题：解决问题的策略师：课前我们又重温了那个非常经典的?曹冲称象?的故事，让我们一起考虑这样几个问题。师：曹冲将称“大象转化成了称“什么？生：曹冲将大象转化成了石头。师：原来的问题是“称大象，可是聪明的小曹冲却将它转化成了“称石头，干嘛要转化成石头呢？                   

12、                   板书：原问题     新问题生：因为大象是一个整块不好分，而石头可以分开来称。师：还有一个重要的细节在船上做了个记号，这是为什么？生：大象在船上的时候，水面到了那里，后来石块放在船上的时候水面也到了那里，这样石块的重量就和大象的重量差不多一样重。师：把大象转化成了石头，但是重量并没有变化却不能变！一定得转化成石头吗？生1：不一定非得转化成石

13、头，换成木头、铁块也都行啊生2：我倒觉得转化成人才方便，我们可以要求观看的士兵走到船上去，这样还方便些，免得搬东西。孩子们都会心地笑了，响起热烈的掌声。师：这种转化的策略对于我们的数学学习问题又有什么启发呢？今天我们就一起来考虑怎样用转化的策略解决数学问题。                             &#

14、160;   板书：转化【解析】用“曹冲称象的故事来引入转化的策略也有老师用过，但是仅仅指出“曹冲称象的故事中用到了转化的策略显然还是不够的。在故事之后我们又追问了四个问题，直指“转化的本质：“转化的对象要明确“转化的目的是为了化难为易“转化在变化的形式中有着不变的得本质“转化的方式可以是多样的。这样的处理既营造了轻松的教学气氛，又为转化策略的教学做了很好的铺垫。二、在形体中直观地感受转化一比一比师：这里有两幅图它们的面积相等吗?课件呈现：大部分孩子，一下子感到有些为难师：有同学已经想到了，但大多数同学还觉得比较困惑。谁能给大家说说这两幅图难在什么地方？生：因为它

15、们太复杂，又不规那么，样子也不同，不好比。师点点头：怎么办呢？同桌讨论一下，每桌的两个同学老师都为你们准备了这样的两个图形图形在在信封里，我们可以一起来看一看、想一想、画一画、折一折甚至剪一剪、拼一拼。学生活动，老师巡视，参与学生的讨论。师：谁愿意上来和大家交流一下你们的想法？生1：我们可以把它变成长方形来比较。学生一边说，一边在展台上，演示自己的转化过程。师：是这个意思吗？课件演示：师：听了她的讲解，大家还有什么问题要问她吗？生2对着刚刚发言的孩子：你为什么要进展这种转化呢？生1：因为这个图形太复杂了，又不规那么所以我想把它转化成简单的、规那么的图形。师：问题提得好，答得也精彩！ 

16、          板书：复杂、简单不规那么、规那么生3：你是怎么看出凸出的部分正好可以填在凹进去的部分的？生1：这很简单，我们只要数数这些格子就能看出各部分的长短。师：我也可以提个问题吗？生笑转化之后什么变了，什么没有变？生1：变化前后，虽然形状有了变化，周长也不一样了，但是它们变化前后的面积始终是相等的。师：说得不错，不过我还有个小建议，建议你把“变化换成“转化，因为转化是一种变化，但不是一种随意的变化，“变中还有着“不变！【解析】在成人看来这个问题似乎不难，教学中我们也发现每次都有孩子可以很快发现这

17、两幅图的面积是相等的。但是有人知道并不代表大多数人都知道，更不是所有人都知道，为此我们安排了学生自己动手操作的环节，力求让所有的孩子都可以在活动中真切体验转化的过程，也为下面的对话交流作充分的铺垫，接下去学生之间的精彩对话正是源自前面的充分活动，对话的本质是对转化策略的一种反思。师：这里还有两幅图，它们的周长相等吗？课件演示：有人认为相等，有人认为不相等，学生争执不下。师：口说无凭，到底怎样呢？下面就请大家在作业纸自己上移一移，画一画，再比一比。学生活动，老师巡视。师：如今你觉得他们的周长还相等吗？谁来说说你是怎样想的？生：只要把这些边移到外面去，就很容易看出它们的周长是不相等了。显然，第二个

18、图的周长要长一些。学生结合自己的作业纸讲解。师：你说的是这个意思吗？第一幅图竖着的都右移，横着的都上移；第二幅图横着的都上移，竖着的都显然多出四条边，解决这两个问题我们同样用到了转化的策略。课件演示：【解析】这两幅图的周长到底是不是相等，学消费生了争议。老师没有过多的说教，而是让学生自己在作业纸上动手移一移、画一画，着重让孩子自己去操作和体验，因为策略归根到底是要靠学生自己去“体悟的。二理一理师：考虑刚刚这些图形问题时，我们用平移和旋转的方法把复杂的不规那么图形转化成简单的规那么图形。我们以前研究形体问题的时候还有哪些地方也用到过这种转化的策略？    

19、                                                   

20、;板书：平移、旋转生1：探究三角形的面积时，就是把它转化成等底等高平行四边形去研究的。生2: 我们研究体积的时候，圆柱体的体积就是转化成长方体来研究的。课件演示：【解析】这里的回忆既是一种梳理，也是丰富对转化策略的感性认识的一个过程，为学生更好地感悟“转化的策略，提供更多的感性经历作支撑。三练一练师：看来在过去的学习中我们已经屡次用到过这种转化的策略。这儿还有一个问题。课件呈现师：先弄清楚问题，这样我们的转化才有明确的方向，谁先来给大家指指哪儿是这个图形的周长部分？指名一个学生到黑板上去指一指。师：下面就先请大家在自己的作业纸上试一试学生作业，老师巡视指导。师：谁来说说你们的解法？生一边说，一

21、边展示：我们可以先算出中间一个小圆的周长3.14×4=12.56cm，再算出外面一个大的半圆的周长3.14×2×4÷2=12.56cm，然后合起来就是这个图形的周长12.5612.5625.12cm。师结合图展示：是这个意思吗？巧妙地将这个不规那么图形的周长转化成了一个小圆周长和一个大圆周长的一半，注意不是半圆而是圆周长的一半。课件演示：生2：我觉得还可以直接用2×3.14×4=25.12cm，那个小圆的周长其实也就是大圆周长的一半，这样合起来就是一个完好大圆的周长。师：还可以这样转化师：我们五年级时研究过“小圆的直径是大圆的一半，小

22、圆的周长也应该是大圆周长的一半。看来我们过去学习的任何一个知识在不经意间都可能成为转化的根据。第一种转化是一种直观的平移转化，而第二种转化是根据圆的周长与直径的比例关系进展转化的，这种转化更抽象了，转化的程度不一样解题的速度也不一样！【解析】练习过程中对这道习题的几次点评：“先弄清楚问题，这样我们的转化才有明确的方向，“看来我们过去学习的任何一个知识在不经意间都可能成为转化的根据，“转化的程度不一样解题的速度也不一样关注点在的策略，而不仅仅是解题，精当的点评很好地促进了孩子对转化的理解。三、在计算中深化地体验转化一理一理师：看来呀，解决有关形体问题的时候咱们还真需要转化，解决其他问题呢？比方：

23、计算？让学生考虑了片刻师：大部分孩子还在考虑，没关系，咱们先看这样几道计算题课件出示：师：会算吗？生：会！师：计算这组题时用到了转化的策略吗？生1：计算 时是把异分母转化成了同分母的加减法。生2：第二题是把乘法转化成了除法。生3：第三题是把我们不会做的小数乘法转化成整数乘法来算的。师：在解决很多问题的时候，我们都是把未知的新知识转化成已经会的知识去解决的。这些转化似乎没有形体中的转化那么直观了，他们的根据都是有关的性质或者规律。               

24、;                         板书：未知  性质 规律【解析】理一理的过程看似与前面的形体部分有些雷同了，本质上也是两个层次，计算领域的转化比形体领域的转化更抽象一些，没有形体中的转化那样直观，学生理解起来也稍困难一些。二试一试师：普通的计算也隐藏着神奇的转化！这里还有一道计算题，我们一起来试一试课件出示：生：一样可以通分算。

25、师：通分其实也是一种转化，把异分母转化成了同分母。这道计算题的算式看起来蛮有规律的，谁能说说它有什么规律？生：第一个是 ，后面的每个数都是前一个数的一半。师：假如我们在这个算式的后面继续写下去应该是生： 、 、 师：甚至还能写更多，这时通分还方便吗？有没有更简便的算法呢？我们还从这道简单的看起在过去研究分数的时候我们就经常用图形来表示分数，看看这幅图能否给你一些启发出示正方形假设用它表示单位“1，你能在图上把这些加数分别表示出来吗？，有感觉了吗？ ， 看着电脑的演示，有孩子会意地笑了起来，迫不急待地想举手。师：如今你又有什么发现了？生：我觉得它们的和就应该是 。师惊讶：为什么呢？生：整个的正方

26、形是1，那么还剩下的就是 ，那涂色的部分就是 ，用算式表示也就是1 = 。其他的孩子再次自发地鼓起掌来了师：有了图我们想起来就方便多了，如今再想又该等于多少呢？生抢着说。师：真棒！这样我们就把一个六步的计算连加题转化成了一个一步计算的减法题！看来我们不仅要考虑怎样正确应用转化，还得考虑怎样转化更简洁。反思刚刚的这个解题过程，我们是用画图的方法巧妙地实现了转化，看来转化的方法还远不止我们上面说到的这些                

27、60;                        板书：复杂   简单【解析】仅仅借助直观图形来帮学生讲清楚这个问题并不难，但这只是解题的教学。作为策略的教学我们不得不考虑：这道计算题你怎么想到用画图来帮助转化的？这种“转化的源头在哪里？引导学生关注过去的经历：以往研究分数的过程中经常用图形中的涂色部分来表示分数，这也许就是我们“灵感产生的经历

28、根底。生：我还有不一样的方法展示：师：大家看明白了吗？他“借一个 ，巧妙地实现了转化！生：我是这样解的展示：师：谁能用一句话评价一下她是怎样转化的？生：她把每个数都转化成了两个数的差，巧妙地实现了转化！师：看来过去学过的很多知识、方法都可能在不经意间成为我们转化的根据和手段！【解析】学生还展示出另外的两种转化的方法，这也再次印证了上面提到的观点：“考虑的角度不一样，转化的方法也可能是多样的，“转化的程度不一样，解题的速度也可能不一样，关注学生灵敏运用转化方法的才能。四、在解决问题中自觉地应用转化一淘汰赛问题师：解决形体问题，计算问题都用到了转化的策略，解决其他实际问题呢？这里就有一个生活中的问

29、题，我们一起来想一想。师追问：“单场淘汰制是什么意思？生：就是每场比赛输掉的那个队就不能进入下一轮的比赛了。师：会做吗？就请大家自己在作业纸上试一试。学生作业，老师巡视指导。师：谁能给家介绍一下你的方法。生1：第一轮16支球队，8场比赛，赛出8强；第二轮4场比赛赛出4强；第三轮2场比赛；最后一场两支球队，决赛冠军！一共进展15场比赛才能产生冠军。我们可以直接写出算式8421=15场。生2：我也算出一共要比赛15场，不过我的方法比他的好懂，我们可以画个图来表示：学生出示自己的作业或课件演示：师：画图也是一种解题的方法！其实这个图就很好地说明了上面那种解法的内在算理。生：我还有好方法！我一步就能算

30、出最后的答案161=15场。很多孩子都觉得有些惊讶师：为什么呢？生：每场比赛淘汰1支球队，最后赛出冠军时，剩下1支球队，就要淘汰掉15支球队，每次淘汰1个队就需要淘汰15回，也就需要比赛15场。师：想得太巧了！我们都在考虑有几个队胜出的时候，他考虑的却是有几个队被淘汰，考虑的角度不一样，转化的方法也不一样！很多时候转化就是要换个角度去考虑！板书：换一个角度去考虑师：假如有64支球队参加比赛，产生冠军要比赛多少场？你觉得画图还方便吗？生：太多了，画图太费事。师：如今你还能直接说出结果吗？生：要641=63场。师：这个“1指的是什么？生：最后获得冠军的那个队。师：合理的转化让我们将这个看似复杂的问

31、题转化成了一个一步计算的问题。你们的表现太棒了！【解析】把这个看似复杂的问题转化成一个一步计算的问题，其关键在于可以“换一个角度去考虑，这是对转化策略的又一次提升。教学中有不少孩子拿到一个问题，要么一下子就可以解决，倘假设遇到障碍就不知该怎么办了，孩子解决问题过程中的这种“窘迫，往往就是因为不会灵敏地调整自己的“视角，巧妙地“换一个角度去考虑！二人狗同行问题师：最后这里还有一个问题我们一起挑战一下，先请大家自由地把题目读一读。学生自由读题，有孩子举手，大部分孩子都觉得有些为难。师：大部分同学还在考虑，谁先来告诉大家，你觉得这个问题什么地方让你觉得不太好解决？生：小狗不停地往返，每段所走的路程都

32、不一样，不好求。师作考虑状：这确实是个问题，这样我们先请一个会做的孩子说说他的想法，我们考虑一下：他和我们考虑的角度有什么不一样？生：其实这道题很简单，我们可以先用50÷32=10小时，甲乙从出发到相遇共走了10小时，小狗走的时间也应该是10小时，小狗每小时走5千米，10小时一共跑了10×5=50千米。师：讲得真好！苏步青爷爷当年也是这样想的，我们把最热烈的掌声送给他！他哪儿和你想得不一样？生：我是分段考虑的，他是整体考虑的；我是从变化的路程去考虑的，他却是抓住不变的时间来考虑的。师：回忆这个解题过程其实不就是一个不断转化的过程吗？其实我们解决很多数学问题的过程不都是这样不

33、断转化的吗？课件演示生：我一眼就看出小狗应该走了50千米，因为小狗的速度和甲乙的速度和一样，小狗的时间也和甲乙一样，所以它走的总路程就应该和甲乙走的总路程一样，是50千米。学生自发地响起热烈的掌声【解析】通过这个问题的解决让孩子进一步真切地感受转化的魅力！先让不会的孩子考虑“这个问题难在哪里，再在聆听其他同学观点的过程中考虑“他与我考虑的角度不同在哪里，让孩子在反思与追问中体悟解题过程中是怎样进展转化的，着力让孩子学会调整自己的“视角，从而打破难点，解决问题。五、在反思中着力地提升转化师：孩子们，不知不觉中一节课就快过去了，大家觉得时间过得快吗？有收获吗？能说说你们的体会吗？生：转化其实我们过

34、去就用过，解决很多问题都要转化。生：转化的目的往往是为了化难为易，化繁为简，化陌生为熟悉。师：转化是我们解决数学问题中很重要，也是很常用的一种策略。就有数学家说过这样的话这不正是我们刚刚所体味到的吗？【解析】用数学家的名言小结全课，将抽象的数学知识、深邃的数学思想融入通俗的数学名言之中，体会转化策略的本质及蕴涵的数学思想，感受数学的魅力，进步学生的数学素养。【总析】有些老师在教学转化的策略时，给人的不感觉仍然是“只见解题，而不见策略，我们在教学过程中，着力将教学组织的重心向“策略倾斜。转化策略的教学其意义不仅在于让学生掌握某个问题的详细解法，更重要的是在解决问题的过程中引导孩子考虑“为什么要进

35、展转化“怎样才可以想到这种转化的方法角度“这种转化的根据是什么“转化的过程中需要注意些什么等，从而把握转化策略的内涵，提升转化的才能。  反思：怎样教学解决问题的策略 策略教学不能只把解决某一详细问题作为教学目的，而应让学生在解决问题的过程中形成对策略的体验。这种对“策略的体验，不能仅仅满足于学生对“策略一词语义的理解，也不仅是形式上会利用策略解决问题，更不是将策略作为附加在解决问题过程中的额外任务，要让学生可以把握策略的内涵，能灵敏地、创造性地使用策略解决问题并理解解决同一个问题不只限于一种策略的运用，面对一个问题有时会有多种策略的综合运用，并且在提升策略时着力与数学思想

36、贯穿。学生认识、理解、掌握解决问题的策略大致经历潜意识阶段、明朗化阶段、深化化阶段三个阶段。因此在相关策略的教学中我们也都可以按这样的三步逐渐展开：第一步，从熟悉的经历体系中提炼出相关的策略体验策略：走出潜意识阶段。画图、列举、倒退、转化等策略在我们专题学习之前，孩子们都已经屡次用到过这种策略，只是没有明确指出而已。所以，教学中我们必须巧妙地帮助学生提取已有的经历，为新的学习效劳。第二步，反思策略的运用过程体会其价值及注意点学会策略：步入明朗化阶段。让学生学会策略，我们必须让孩子明确“什么时候合适用这个策略，“怎样使用这个策略，“使用时有什么注意点等，而这些更多是依靠孩子的经历、体悟而不是空洞的说教所可以解决的，因此解题过程中的反思就显得非常重要！这种反思的意识和才能也是目前老师们在日常的教学中所容易无视的。第三步，有意识地应用策略解决实际问题解决问题：走向深化化阶段。在学生比较充分地认识相关策略之后，必须安排适量的练习，对相关的策略进展强化。目前不少策略教学的研究课，练习时总体感觉好似还是在解题而没有让人感觉到内在的策略。有些课学生对策略的应用仍然停留在老师强加给学生的阶段。学生题目都解好了，老师觉得今天讲的策略还没有用，于是就要求学生再画个图，这时策略就失去其意义了，这显然是不妥的。另外，在教学相关策略的时候我们还必须注意以下的