北京市西城区届高三上学期期末考试文科数学试题

1、北京市西城区2022 2022学年度第一学期期末试卷高三数学文科第I卷选择题共40分、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1 集合 A x R |0 x 1 , B1A0，121C, 1U0,；22 .复数VL2 iA1 2i b1 2i3 执行如以下图的程序框图，那么输出SA2B6C15D31x R |(2x 1)(x 1)0，那么 AC1B 1B(;,1)21D(, 1)U( ,1)2C1 2id1 2i14.函数f(x)In x的零点个数为xA0B1C2D35.某四棱锥的三视图如以下图，该四棱锥的体积是A53c兰3B2 3r、2/3D

2、-3側庄)视番K- j -tn 226过点M(2,0)作圆X22、1的两条切线 MA，MB (A，B为切点)，那么MA MB A2D7.设等比数列an的公比为q，前n项和为q .那么“ |q |2 是“ S6 7S2 的A丨充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件&函数f (x)的定义域为R 假设常数c 0，对xR，有 f (x c)f (x c),那么称函数f (x)具有性质P .给定以下三个函数: f (x) |x | ；其中，具有性质A丨 f (x) sin x ；P的函数的序号是B【 f (x) x3 x .CD丨第n卷非选择题共no分二、填空题：

3、本大题共 6小题，每题5分，共30分.9向量a (1,3) , b (m,2m 1) 假设向量a与b共线，那么实数 m .10平行四边形 ABCD中，E为CD的中点假设在平行四边形 ABCD内部随机取一点 M , 那么点M取自 ABE内部的概率为2 211 双曲线3-4_1的渐近线方程为_ ；离心率为_log2x, x 0, 口亠匚“12假设函数f(X) g(x), x 0是奇函数，那么g( 8)nn13. 函数f(x) sin(x )，其中x -, a.当a 一时，f (x)的值域是 ；6321假设f (x)的值域是,1，那么a的取值范围是2 214. 设函数 f(x) x 6x 5，集合

4、A ( a,b) | f (a) f (b)0，且 f(a) f (b)0.在直角坐标系aOb中，集合A所表示的区域的面积为 三、解答题：本大题共 6小题，共80分解容许写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15. 本小题总分值 13分在厶ABC中，内角 A, B,C的对边分别为a,b,c，且cos2B cosB 0 .I求角B的值；n假设b 、7 , a c 5，求 ABC的面积.16. 本小题总分值 13分为了解学生的身体状况，某校随机抽取了一批学生测量体重.经统计，这批学生的体重数据单位：千克全部介于 45至70之间.将数据分成以下 5组：第1组45,50，第2 组50,55，第3组5

5、5 ,60，第4组60,65，第5组65,70，得到如以下图的频率分 布直方图.现采用分层抽样的方法，从第3, 4, 5组中随机抽取6名学生做初检.I求每组抽取的学生人数；n假设从6名学生中再次随机抽取 2名学生进行复检，求这2名学生不在同一组的概率.17. 本小题总分值 14分如图，直三棱柱 ABC ABG中，AC BC , AC BC CC12, M , N分别为AC , BG的中点.I求线段MN的长；n求证：MN /平面 ABBA ;川线段CC1上是否存在点Q，使AB 平面MNQ ?说明理由.18.本小题总分值函数f(x)13分代，其中bI假设x 1是f (x)的一个极值点，求b的值;n

6、求f (x)的单调区间.19.本小题总分值 14分如图,2B是椭圆笃a2y21(a b 0)的两个顶点.| AB |5，直线AB的斜b1 率为1 .2I求椭圆的方程；n设直线丨平行于AB，与x, y轴分别交于点 M , N ,与椭圆相交于C,D 证明： OCM的面积等于 ODN的面积.20.本小题总分值 13分如图，设A是由n n个实数组成的n行n列的数表，其中(i,j 1,2,3，n)表示位于第i行第j列的实数，且aj 1, 1.记S(n, n)为所有这样的数表构成的集合.对于A S( n, n),记ri(A)为A的第i行各数之积,nnCj(A)为A的第j列各数之积.令l(A) r(A) C

7、j(A).fl12%旳1:*4n证明：存在 A S(n,n)，使得 l(A) 2n 4k，其中 k 0,1,2,，n ;川给定n为奇数，对于所有的A S(n,n)，证明：l (A)0 .北京市西城区2022 2022学年度第一学期期末高三数学文科参考答案及评分标准一、选择题：本大题共 8小题，每题5分，共40分.1. B ;2 .A ;3.C;4. B ;5.C;6.D;7.A ;8. B .二、填空题：本大题共 6小题，每题5分，共30分.彳1亦 39. 1 ；10. ;11. y x,2 2 2112.3 ；13. ,1, , ;14. 4 n.23注：11、13题第一空2分，第二空3分.

8、三、解答题：本大题共 6小题，共80分假设考生的解法与本解答不同，正确者可参照评 分标准给分.15.本小题总分值 13分解：由得2cos2 B cosB 1 0, 2分即(2cos B 1)(cosB 1)0 .1 解得 cos B ，或 cos B 1 . 42分因为0 B n,故舍去cosB 1. 5分n所以B n. 63分2 2 2n解：由余弦定理得 b a c 2accosB . 816.I因为所以所以7ti-,b .7代入上式，整理得2(a c) 3ac 7.ac111 ABC 的面积 S acsin B2本小题总分值 13分解：由频率分布直方图知，第3 , 4 , 5组的学生人数之

9、比为3: 2:1 .13所以，每组抽取的人数分别为:3第3组：3 63 ；第4组:16 62 ；第5组：6 61.所以从3 , 4 , 5组应依次抽取3名学生，2名学生，1名学生.n解：记第3组的3位同学为A , A , A ；第4组的2位同学为B1 , B2 ；第5组的1 位同学为C .那么从6位同学中随机抽取 2位同学所有可能的情形为:A，A2,A，A,A，即，人也,人。,仏人,宀月1,宀月2,4,64，即，A，B2,A，C,B1，B2,B1，C,B2，C，共 15种可能. 10其中，人月,几月2,人2,人2启,人月2,人22,乓月1,人月2,乓£,BnC,B2,C这11种情形符

10、合2名学生不在同一组的要求.故所求概率为p 11151217.本小题总分值 14分I证明：连接CN .因为 ABC AiB1C1是直三棱柱，所以CCi平面ABC , 1分所以AC CC1. 2分因为AC BC , 所以AC 平面BCGB . 3分因为 MC 1 , CN . CC； GN2、,5,所以MN 6 . 4分n证明：取 AB中点D，连接DM , DB1 . 5分1在厶ABC中，因为 M为AC中点，所以 DM /BC , DM BC21在矩形B1BCG中，因为N为BG中点，所以B1N/BC , B1N -BC .2所以 DM /B1N , DM B1N .所以 四边形MDB1N为平行四

11、边形，所以 MN/DB, . 7分因为 MN 平面ABBA , DB1 平面ABBA , 8分所以MN /平面ABBA . 9分解：线段 CG上存在点Q，且Q为CG中点时，有 AB 平面MNQ . 11分证明如下：连接BG.在正方形BB1C1C中易证 QN BC1.又A1C1平面BB1C1C，所以 A1C1 QN，从而NQ 平面RBG . 12分13所以A1BQN .同理可得 A,B MQ，所以A1B 平面MNQ .故线段CCi上存在点Q，使得AB 平面MNQ . 14分18.本小题总分值13分I解：f(X)b x2(x2 b)2依题意，令f ( 1)0,得经检验，b1时符合题意.n解：当b

12、0时,f(x)故f (x)的单调减区间为,0) , (0,);无单调增区间.当b 0时，f (x)x2(x2萤令 f (x) 0 ,得为、b , x2b . 8分f(x)和f (x)的情况如下:x(,Vb)(Jb,赛)血，)f (x)00f(x)/故f (x)的单调减区间为(，-.b), (、.b,)；单调增区间为('、b, b).11分当b 0时，f (x)的定义域为D x R|x 一帀.因为f (x)20在D上恒成立,(x2 b)2故f (x)的单调减区间为(，帀，19.本小题总分值 14分b 1I解：依题意，得a 2'需F賦分解得a 2, b 1 .分2所以椭圆的方程为y

13、21 .4分证明：由于I / AB ,设直线I的方程为y整理得 2x2 4mx 4 m240 .分设 Cd，%) , D(X22).16m232(m2 1)0,所以 x1 x2 2m,x1x2 2m 2.(；b-b), Cb,);无单调增区间.13分证法一：记 OCM的面积是S , ODN的面积是S2.由 M(2m,0) , N(0,m),那么sS212 |叭1|y1| -|m|X2 | 2 y | x | 4n|2y1 1 1 x2 1 .10分因为xx22m,所以|2y1|1I2( 3x1m)| |%2m|I v 1 dQ1 x2 1，13分14那么sS2|MC |ND|线段CD, MN的

14、中点重合分因为X x2 2m,所以X-|x2m ,y1 y21X-|x21mm.222 2 2证法记厶OCM的面积是S , ODN的面积是S2.101故线段CD的中点为(m, m).2因为 M(2m,0) , N(0, m),1所以线段MN的中点坐标亦为(m, m).2分13从而SS，.1420.本小题总分值 13分I解：1(A)“(A) l(A) 1 , 4(A)1；G(A) C2(A) c4(A)1,O(A) 1,从而S|S2,.44所以 l (A)ri(A)Cj(A) 0 .i 1j 1分n证明：i对数表A0 : a01 (i, j1,2,3，n)，显然 1(A)2n .将数表A中的an

15、由1变为1，得到数表A，显然1(A) 2n 4. 将数表A中的a22由1变为1，得到数表 A，显然1(A) 2n 8 . 依此类推，将数表 A 1中的akk由1变为1，得到数表Ak .即数表Ak满足：a11a22 akk 1(1 k n)，其余aij1 .所以a(A)d(A)m(A)1, g(A) C2(A) q(A)1.所以I(Ar)2( 1) k(n k)2n 4k,其中 k0,1,2，,n. 7分【注：数表A不唯一】川证明：用反证法.假设存在A S(n,n)，其中n为奇数，使得1(A)0 .因为 A(A) 1, 1，Cj(A) 1, 1 (1 i n,1 j n)，所以 n(A)，d(A)，rn(A