运用米勒定理简解最大角问题

1、运用米勒定理简解最大角问题1 .米勒问题和米勒定理1471年，德国数学家米勒向诺德尔教授提出了如下十分有趣的问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长，即在什么部位，视角最大，最大视角问题是数学史上100个著名的极值问题中第一个极值问题而引人注目，因为德国数学家米勒曾提出这类问题，因此最大视角问题又称之为“米勒问题”，更一般的米勒问题如下：瓦BONCQ试米勒问题：已知点是角MON勺边上的两个定点，点是边上的动点，则当在何处时，AcACBR大，对米勒问题有如下重要结论我们不妨称之为米勒定理。Concom米勒定理：已知点是角MON勺边上的两个定点，点是边上的一动点，则当且仅当三角形ABC的

2、外圆与边相切于点时，AcACB最大。OM叩AG3OMa，证明：如图1,设是边上不同于点的任意一点，连结，因为角AC旧是圆外角，Acacb圆周角，易证角ACB、于角ACB故Acacbr大。图，0G=OC2=根据切割线定理得，即，于是我们有：角ACBR大等价于三角形ABC的外圆与边相切于点。等价于等价于0C=OdOAB。取得2 .米勒定理在解题中的应用最大视角问题在数学竞赛、历届高考和模拟考试中频频亮相，常常以解析几何、平面几何和实际应用为背景进行考查。若能从题设中挖出隐含其中的米勒问题模型，并能直接运用米勒定理解题，这将会突破思维瓶颈、大大减少运算量、降低思维难度、缩短解题长度，从而使问题顺利解

3、决。否则这类问题将成为考生的一道难题甚至一筹莫展，即使解出也费时化力。下面举例说明米勒定理在解决最大角问题中的应用。2.1 用米勒定理确定最大视角的点的位置的例1（1986年全国高考数学试题理科第五大题）如图2,在平面直角坐标系中,在轴的正半轴上给定两定点，试在轴的正半轴上求一点，使取得最大值。y个AhII11图，分析：这是一道较早的“米勒问题”的高考题，该题背景简单解题思路入口宽解法多样，是一道难得的好题。若用米勒定理求解则可一步到位，轻而易举地拿下0C=&M?缈疡CM三405=2)简解：设，由米勒定理知，当且仅当时,。曲,O）UC最大，故点的坐标为例2如图3,足球场长100米，宽60米，球

4、门长7.2米，有一位左边锋欲射门应在边AB的何处才使射门角度最大？=3+3.6=33.6,2=30-3,6=26.4解:依题意，由米勒定理知当MA=AQ=g36x264w297S）FAfQ工g图3图4产产一/L/彳/，r-壁I，7gIDB总图5（-L2）1例3（2004年全国数学竞赛试题）在直角坐标系中，给定两点，在轴的正半轴上求一点，使最大,则点的坐标为,。解晒T国尹丽二（7一12）,由二（2,2）幽京解：如图4,设直线与轴相交于点，则，因为，所以，所以，所以，由两点间的距离公式得，由米勒定理知，当且仅当刀口近2(一力士刘星-3沔皿:2后期二先-JANUM42贬相仇4。刈EMFRP时，最大，

5、此时点的坐标为。2.2 用米勒定理探索最大视角的条件例4(2010年高考江苏理科第17题)某兴趣小组要测量电视塔的高度(单位:)，如示意图5,垂直放置的标杆的高度，仰角。(1)该小组已测得一组的值，算出了，请据此算出的值；(2)若该小组分析若干测得的数据后，认为适当调查整标杆到电视塔的中距离(单位:)，使之差较大，可以提高测量精度。若电视塔的实际高度为，试问为多少时，最大，%?盘目bBCh=Amw0/t祖0=l,24Ptaiib=1.20r4帛港d125昭而W，&m(中司=此叫屈t=弘谷诵电启=阑解:(2)设，由米勒定理知，当且仅当即？时，最大。又由得，？，?得,_4125?DEB法瞄皿口的碣

6、口6=55收网舒=125125?4125万函由=f第身,将其代入？得，所以，故当为时，最大。点评：第(2)问以实际应用和平面几何为背景考查最大角问题，本解法以米勒定理和相似三角形等知识为突破口，结合方程思想求解，综合性强能力立意高有一定难度。2.3 用米勒定理求最大视角或其三角函数值#3.17-S,Fl例5(2001年希望杯数学竞赛培训题)是椭圆的左右焦点，是椭圆的准线，点，求的最大值。pi?后阳溪蜀跳夜,现志。工席因解：如图6,易求得，不妨设为左准线交轴于点，则其方程为，由米勒定理知，当且仅当得MF二点,MF=3&冗=-20MP=C*MF4及13委在REPFaa时，最大。当最大值时，unNF

7、即二空二的上产二丝二迈3MEMF3/EPF=2PM/PF&f,因为，由差角的正切公式得，所以最大值为。tan NPEMtan ZPFM14 tan图6更一般地我们有如下结论：5+，友复）lwi例6设是椭圆的左右焦点，是椭圆准线上的动点，般n9工建NAPS=9&P&,椭圆的离心率是，则为锐角且（当且仅当点到椭圆的长轴的距离为时取等号）。,工白山？+/Affi=-c,MF=-4ecccMx证明：设准线交轴于点，则。由米勒定理知，当且仅当时，为锐角且最大。当最大值时，又，由差角的正切公式得,ME IMFAfptan 4蝴芋=-, tan 3PE =MFME-郎 M5产t皿PF-tm上MPR汴一诉 M

8、f-M富&皿 - l + tar+WF 1的/加一 产 经一 2废 一生7/?诉7X iVtJ2 +c飞目”一毛噂门口 a =SIT1 & 2 5 P所以。故为锐角且（当且仅当点到椭圆的长轴的距离为时取等号）。Ctaii 二 一1 30- sin or = ? 点评：由例6结论知，当取最大值时有或，易求得最大值为。2.4用米勒定理求视角最大时有关线段之比&E尸例7（2006年全国高中数学竞赛题）已知椭圆的左右焦点是，点在直线上，当最大时，求：0|阕阿丘-岳+B+24=0日因尸产8-地,0) x .- I 解：如图7,设直线与轴相交于点,mrOFx网24,0),5(2抬,0)MS=长二区+4点易

9、求得，则，由米勒定理知，当且仅当MP=4MER期宣4扬=4(依+I)&PEF时，最大，此时的外拉圆与直线相切于点，由弦切角定理得，又，所以P7MPS IJMFP ? PME 尹朋FFE_ MP_4(V3+1)_ r- - =73 - 1FF 呼4栏+ g点评：本解法不仅用到米勒定理的结论，而且还要熟悉定理证明的几何背景及图形间的内在联系，用相似三角形对应边成比例求线段比，运算量小解法简单快2.5用米勒定理求视角最大时的综合问题BAF例8设是椭圆的短轴顶点，是椭圆焦点相应的长轴顶点。证明当且仅当椭圆为黄金椭圆（离心率的椭圆）时，最大，且最大角的正弦值为。_君.1r=245-2BAFOB2=OFa）Ab2acDABF解：如图8,由米勒定理知，当且仅当时，最大。故，所以，所以，即,ABF最大。设，ABF=q即？，解得，故当且仅当椭圆为黄金椭圆时，?F0a,BAOba-b则，sing=sin(a-b)siaacosi-cosljsinboM3FD/3尸另外我们求最大角的正弦值还可用正弦定理切入，在中，由正弦定理得,卜面解法