中考数学培优含解析之圆的综合

1、中考数学培优（含解析）之圆的综合一、圆的综合1.如图，AB是。的直径，弦CD±AB,垂足为H,连结AC,过BD上一点E作EG/AC交CD的延长线于点G,连结AE交CD于点F,且EG=FG连结CE（1）求证：/G=/CEF（2）求证：EG是。的切线；（3）延长AB交GE的延长线于点M,若tanG=-,AH=3j3,求EM的值.4【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）空叵.8【解析】试题分析：（1）由AC/EG,推出/G=/ACG,由AB,CD推出ADAC，推出/CEF=/ACD,推出/G=/CEF,由此即可证明；（2）欲证明EG是。的切线只要证明EG±OE即可；（

2、3）连接OC.设。的半径为r.在RtOCH中，利用勾股定理求出r,证明AHHCAHCAMEO,可得，由此即可解决问题；EMOE试题解析：（1）证明：如图1.AC/EG,ZG=ZACG,/AB±CD,ADAC，./CEF=/ACD,，/G=/CEF,/ECF=/ECG.AECfAGCE(2)证明：如图2中，连接OE.GF=GE,/GFE=/GEF=/AFH,/OA=OE,/OAE=ZOEA,/AFH+ZFAH=90；./GEF+/AEO=90:：./GEO=90;：.GE±OE,.EG是。O的切线.(3)解：如图3中，连接OC.设。的半径为r.在RtAHC中，tanZACH=

3、tanZG=AH-=-,AH=3/3,HC4'HC=4V3，在ReHOC中,.OC=r,OH=r-3/3,HC=4V3,，(r373)2(473)2AHHC.GM/AC,，/CAH=/M,/ZOEM=ZAHC,AHCMEO,.EMOE33EM4.325百,6.EM="8点睛：本题考查圆综合题、垂径定理、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，正确寻找相似三角形，构建方程解决问题吗，属于中考压轴题.2.如图，四边形ABCD是。的内接四边形，AB=CD.(1)如图(1)，求证:AD/BC;(2)如图(2)，点

4、F是AC的中点，弦DG/AB,交BC于点E,交AC于点M,求证:AE=2DF；在(2)的条件下，若DG平分/ADC,GE=5/3,tan/ADF=4/3，求。O的半径。0网.)【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)JT29【解析】试题分析：（1）连接AC.由弦相等得到弧相等，进一步得到圆周角相等，即可得出结论.（2）延长AD到N,使DN=AD,连接NC.得到四边形ABED是平行四边形，从而有AD=BE,DN=BE.由圆内接四边形的性质得到ZNDC=ZB,即可证明MBEACND,得到AE=CN,再由三角形中位线的性质即可得出结论.（3）连接BG,过点A作AHLBC,由（2）知/AEB

5、=/ANC,四边形ABED是平行四边形，得到AB=DE.再证明ACDE是等边三角形，ABGE是等边三角形，通过解三角形ABE,得到AB,HB,AH,HE的长，由EC=DE=AB,得到HC的长.在RtAHC中，由勾股定理求出AC的长.作直径AP,连接CP,通过解4APC即可得出结论.试题解析：解：（1）连接AC.,.AB=CD,弧AB=MCD,z.ZDAC=ZACB,.AD/BC.(2)延长AD至ijN,使DN=AD,连接NC.AD/BC,DG/AB,一.四边形ABED是平行四边形，AD=BE,.1.DN=BE,ABCD是圆内接四边形，/NDC=/B./AB=CD,八八八1八.MBECND,AE

6、=CN./DN=AD,AF=FQDF=-CN,，AE=2DF.(3)连接BG,过点A作AHBC,由(2)知/AEB=/ANC,四边形ABED是平行四边形，AB=DE.DF/CN,，/ADF=/ANC,./AEB=/ADF,，tan/AEB=tan/ADF=4>/3,DG平分/ADC,./ADG=/CDG.AD/BC,/ADG=/CED,ZNDC=ZDCE./ABO/NDC,./ABC=/DCE.AB/DG,./ABC=/DEC,/DEC=ZECD=ZEDC,工DE是等边三角形，.AB=DE=CE-/GBC=ZGDC=60;/G=/DCB=60；.ABGE是等边三角形，BE=GE=5J3.

7、tanZAEB=tan/ADF=4J3,设HE=x，贝UAH=45/3x.,ZABE=ZDEC=60°,，/BAH=30°,.BH=4x,AB=8x,，4x+x=5而，解得：x=6,.AB=8V3,HB=4Q,AH=12,EC=DE=AB=8而，.HC=HE+EC=石8v3=9上.在RtAAHC中，ac=Jah2hc2J122(9废2=3/3.作直径AP,连接CP,/ACF=90°,AP-C-432129sin603TAC/P=ZABC=60,sin/P=,APoo的半径是JT29.3.如图，四边形ABCD内接于。O,对角线AC为。的直径，过点C作AC的垂线交AD

8、的延长线于点E,点F为CE的中点，连接DB,DF.(1)求证：DF是。的切线；(2)若DB平分ZADC,AB=5V2AD:DE=4：1,求DE的长.【答案】(1)见解析；(2)5【解析】分析：(1)直接利用直角三角形的性质得出DF=CF=EF,再求出ZFDO=ZFCO=90°,得出答案即可；(2)首先得出AB=BC即可得出它们的长，再利用4ADC4ACE得出AC2=AD?AE,进而得出答案.详解：(1)连接OD.OD=CD,./ODO/OCD.AC为。O的直径，ZADC=ZEDC=90°.点F为CE的中点，DF=CF=EF,./FDO/FCD,./FDO=/FCO.又AC，

9、CE,ZFDO=ZFCO=90°,.DF是。的切线.(2)AC为。的直径，ZADC=ZABC=90°.DB平分/ADC,./ADA/CDB,，Ab=?C，-BC=AB=55/2在RtABC中，AC2=AB2+BC2=100.又AC，CE,ZACE=90°,ACAE.ADCMCE1=,AC2=AD?AEADAC设DE为x,由AD:DE=4:1,，AD=4x,AE=5x,.100=4x?5x,x=75,，DE=V5.点睛：本题主要考查了切线的判定以及相似三角形的判定与性质，正确得出AC2=AD?AE是解题的关键.4.如图，在直角坐标系中，已知点A(-8,0),B(0,

10、6),点M在线段AB上。(1)如图1,如果点M是线段AB的中点，且OM的半径等于4,试判断直线OB与。M的位置关系，并说明理由；(2)如图2,OM与x轴，y轴都相切，切点分别为E,F,试求出点M的坐标；(3)如图3,OM与x轴，y轴，线段AB都相切，切点分别为E,F,G,试求出点M的坐标(直接写出答案)【答案】(1)OB与OM相切；(2)M(弓，弓)；(3)M(2,2)【解析】分析：(1)设线段OB的中点为D,连结MD,根据三角形的中位线求出MD,根据直线和圆的位置关系得出即可；(2)求出过点A、B的一次函数关系式是y=-x+6,设M(a,-a),把x=a,y=-a代4入y=3x+6得出关于a

11、的方程，求出即可.4(3)连接ME、MF、MG、MA、MB、MO,设ME=MF=MG=r,根据Saabc=1AO?ME+1BO?MF+1AB?MG=1AO?BO求得r=2,据此可得答案.2222详解：(1)直线OB与。M相切.理由如下：设线段OB的中点为D,如图1,连结MD,点M是线段AB的中点，所以MD/AO,MD=4,，/AOB=/MDB=90；，MD，OB,点D在。M上.又.点D在直线OB上，直线OB与。M相切；(2)如图2,连接ME,MF,8kb.A(-8,0),B(0,6),设直线AB的解析式是y=kx+b,b6得：k=3,b=6,即直线AB的函数关系式是y=x+644OM与x轴、y

12、轴都相切，点M到x轴、y轴的距离都相等，即ME=MF,(a,a)(8vav0),把x=a,y=a代入y=x+6,得：a=-a+6,得:44,，点M的坐标为(,).(3)如图3,连接ME、MF、MG、MA、MB、MO,0M与x轴，y轴，线段AB都相切，ME，A。MF±BO>MGLAB,设ME=MF=MG=r,则Saabc=1AO?ME+1BO?MF+1AB?MG=1AO?BO.2222.A(-8,0),B(0,6),，AO=8、BO=6,AB=7AQ2_BO2=10，1？8+1？6+厂?10=1*648解彳导:r=2,即ME=MF=2,.,点M的坐标为(设Ma=-2,2).点睛：

13、本题考查了圆的综合问题，掌握直线和圆的位置关系，用待定系数法求一次函数的解析式的应用，能综合运用知识点进行推理和计算是解答此题的关键，注意：直线和圆有三种位置关系：已知。的半径为r,圆心O到直线l的距离是d,当d=r时，直l和。O2222相切.5.如图，已知AB是。O的直径，点C,D在。O上，BC=6cm,AC=8cm,ZBAD=45°.点E在。0外，做直线AE,且/EAC=ZD.(1)求证：直线AE是。的切线.(2)求图中阴影部分的面积.B25-50【答案】(1)见解析；(2)25504【解析】分析：(1)根据圆周角定理及推论证得/BAE=90,即可得到AE是。的切线;(2)连接0

14、D,用扇形ODA的面积减去4A0D的面积即可.详解：证明：(1).AB是。的直径，/ACB=90,°即/BAC+/ABC=90, ZEAC玄ADC,/ADC=ZABC, /EAC玄ABC ./BAC+/EAC=90,°即RBAE=90° 直线AE是。O的切线;(2)连接ODBC=6AC=8AB628210OA=5又OD=OA/ADO=/BAD=45/AOD=90°1-SW=S扇形ODASAOD903602550(cm2)点睛：此题主要考查了圆周角定理和圆的切线的判定与性质，关键是利用圆周角定理和切线的判定与性质，结合勾股定理的和弓形的面积的求法求解，注意

15、数形结合思想的应用6.如图，PA、PB是。的切线，A,B为切点，ZJAPB=60°,连接PO并延长与。交于C点，连接ACBC.(I)求/ACB的大小；(n)若。半径为1,求四边形ACBP的面积.【解析】分析：(I)连接AO,根据切线的性质和切线长定理，得到OALAP,OP平分/APB,然后根据角平分线的性质和三角形的外角的性质，30。角的直角三角形的性质，得到/ACB的度数；(n)根据30。角的直角三角形的性质和等腰三角形的性质，结合等底同高的性质求三角形的面积即可.详解：(I)连接OA,如图，.PA、PB是。的切线，OAXAP,OP平分/APB,/AOP=60；.OA=OC,ZOA

16、C=ZOCA,，1八o/ACO=AOP=30,2同理可得/BCP=30,/ACB=60(n)在RtOPA中，/APO=30,，AP=V3OA=BOP=2OA=2,.OP=2OQc1c3.Saaoc=Spac=,24，四边形ACBP的面积=2S/ACP=33.2点睛：本题考查了切线的性质，解直角三角形，等腰三角形的判定，熟练掌握切线的性质是解题的关键.7.矩形ABCD中，点C(3,8),E、F为AB、CD边上的中点，如图1,点A在原点处，点B在y轴正半轴上，点C在第一象限，若点A从原点出发，沿x轴向右以每秒1个单位长度的速度运动，点B随之沿y轴下滑，并带动矩形ABCD在平面内滑动，如图2,设运动

17、时间表示为t秒，当点B到达原点时停止运动.(1)当t=0时，点F的坐标为;(2)当t=4时，求OE的长及点B下滑的距离；(3)求运动过程中，点F到点O的最大距离；(4)当以点F为圆心，FA为半径的圆与坐标轴相切时，求t的值.和【答案】(1)F(3,4)；(2)8-4J3;(3)7；(4)t的值为仝或土55【解析】试题分析：(1)先确定出DF,进而彳#出点F的坐标；(2)利用直角三角形的性质得出/ABO=30°,即可得出结论；(3)当O、E、F三点共线时，点F到点O的距离最大，即可得出结论；(4)分两种情况，利用相似三角形的性质建立方程求解即可.试题解析：解：(1)当t=0时.AB=C

18、D=8,F为CD中点，DF=4,，F(3,4);(2)当t=4时，OA=4.在RtABO中，AB=8,ZAOB=90°,./ABO=30；点E是AB的中点，OE=3AB=4,BO=4，3,，点B下滑的距离为84石.(3)当O、E、F三点共线时，点F到点O的距离最大，.FO=OE+EF=.01图2(4)在RtADF中，FD2+AD2=AF2,AF=fd2ad2=5,设AO=ti时，。5与乂轴相切，点A为切点，-OA,ZOAB+ZFAB=90°,/ZFAD+ZFAB=90°,AO8ti一FE5332t2=5,八一一一。一一八AB/BAO=ZFAD./BOA=ZD=90

19、.RtAFA&RtAABO,FA24.ti=,设AO=t2时，OF与y轴相切，B为切点，同理可得,24.32综上所述：当以点F为圆心，FA为半径的圆与坐标轴相切时，t的值为三或32.55点睛：本题是圆的综合题，主要考查了矩形的性质，直角三角形的性质，中点的意义，勾股定理，相似三角形的判定和性质，切线的性质，解(2)的关键是得出/ABO=30。，解(3)的关键是判断出当O、E、F三点共线时，点F到点O的距离最大，解(4)的关键是判断出RHFA&RtAABD,是一道中等难度的中考常考题.8.某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截面的半径.如图，

20、若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm,水最深的地方的高度为4cm,求这个圆形截面的半径.【解析】分析：先过圆心O作半径CC>±AB,交AB于点D设半彳仝为r,得出AD、OD的长，在RtAACD中，根据勾股定理求出这个圆形截面的半径.详解：解：过点。作CC，AB于D,交。于C,连接CB,.OCXAB.BD=1AB=1X16=8cm22由题意可知，CD=4cm二设半径为xcm,则CD=(x-4)cm在RtABCD中,由勾股定理得：CD2+BD2=CB2(x4)2+82=x2解得：x=10.答：这个圆形截面的半径为10cm.C点睛：此题考查了垂经定理和勾股定理，关键是根据题意

21、画出图形，再根据勾股定理进行求解.9.如图，AB是圆。的直径，射线AMLAB,点D在AM上，连接CD交圆。于点E,过点D作DC=DA交圆。于点C(A、C不重合)，连接CC、BCCE(1)求证：CD是。的切线；(2)若圆。的直径等于2,填空： 当AD=时，四边形CADC是正方形; 当AD=时，四边形CECB是菱形.出【答案】(1)见解析；(2)1;，3.试题分析：(1)依据SSS证明OAD0OCD,从而得到/OCD=/OAD=90;(2)依据正方形的四条边都相等可知AD=OA；依据菱形的性质得到OE=CE则4EOC为等边三角形，则/CEO=60°,依据平行线的性质可知/DOA=60,利

22、用特殊锐角三角函数可求得AD的长.试题解析：解：AMXAB,/OAD=90: .OA=OC,OD=OD,AD=DC,.OADAOCD,/OCD=/OAD=90: OCXCD, .CD是。O的切线.(2)二.当四边形OADC是正方形，.AO=AD=1.故答案为：1.;四边形OECB是菱形，.OE=CE又.OC=OE.OC=OE=CE/CEO=60°.1.CE/AB,/AOD=60:在RtAOAD中,/AOD=60,AO=1,.AD=.1.故答案为：陋.点睛：本题主要考查的是切线的性质和判定、全等三角形的性质和判定、菱形的性质、等边三角形的性质和判定，特殊锐角三角函数值的应用，熟练掌握相

23、关知识是解题的关键.10.(1)问题背景如图，BC是。的直径，点A在。O上,AB=AC,P为BmC上一动点(不与B,C重合)，求证：2PA=PB+PC小明同学观察到图中自点A出发有三条线段AB,AP,AC,且AB=AC这就为旋转作了铺垫.于是，小明同学有如下思考过程：第一步：将APAC绕着点A顺时针旋转90。至4QAB(如图)；第二步：证明Q,B,P三点共线，进而原题得证.请你根据小明同学的思考过程完成证明过程.(2)类比迁移如图，。的半径为3,点A,B在。上，C为。内一点，AB=AC,AB±AC,垂足为A,求OC的最小值.(3)拓展延伸4如图，OO的半径为3,点A,B在。上，C为。

24、内一点，AB=_AC,ABXAC,垂足3为A,则0C的最小值为【答案】（1）证明见解析；（【解析】试题分析：（1）将APAC绕着点A顺时针旋转90°至AQAB（如图），只要证明AAPQ是等腰直角三角形即可解决问题；（2）如图中，连接OA,将AOAC绕点。顺时针旋转90°AQAB,连接OB,OQ,在BOQ中，利用三边关系定理即可解决问题;（3）如图构造相似三角形即可解决问题.作4ACUOA,使得AQ=-OA,连接OQ,34BQ,OB,由QABsOAC,推出BQ=-OC,当BQ最小时，OC最小；3试题解析：（1）将APAC绕着点A顺时针旋转90°至AQAB（如图）；

25、BC是直径，ZBAC=90,AB=AC,.ZACB之ABC=45,由旋转可得ZQBA=ZPCA,ZACB=ZAPB=45,PC=Q,.ZPCA+ZPBA=180ZQBA+ZPBA=180Q,B,P三点共线，ZQAB+ZBAP=ZBAP+ZPAC=90,QP2=AF?+AQ2=2AP2,.QP=x/JAP=QB+BP=PC+PB6Ap=PC+PB(2)如图中，连接OA,将aOAC绕点A顺时针旋转90°AQAB,连接OB,OQ,图 .ABXAC/./BAC=90,°由旋转可得QB=OC,AQ=OA/QAB=/OAC,./QAB+/BAO=/BAO+ZOAC=90, 在RtOAQ

26、中，OQ=372,AO=3,.在OaB中，BOOQ-OB=3723,即OC最小彳1是3J2-3;(3)如图中，作AQ±OA,使得AQ=±OA,连接OQ,BQ,OB.3图QAAB4/QAO=ZBAC=90,/QAB=ZOAC,=-,OAAC34QABsOAC,BQ=OC,3当BQ最小时，OC最小，易知OA=3,AQ=4,OQ=5,BOOQ-OB,.-.OO2,.BQ的最小值为2,.33.OC的最小值为一X20,423故答案为3.2【点睛】本题主要考查的圆、旋转、相似等知识，能根据题意正确的添加辅助线是解题的关键.11.如图，AB是半圆O的直径，半径OCAB,OB=4,D是OB

27、的中点，点E是弧BC上的动点，连接AE,DE.(1)当点E是弧BC的中点时，求4ADE的面积；3(2)右tanAED，求AE的长；(3)点F是半径OC上一动点，设点E到直线OC的距离为m,当DEF是等腰直角三角形时，求m的值.ODB【答案】(1)Sade6”；(2)AE竺斯；(3)m273,m2我，5m一71.【解析】【分析】(1)作EHI±AB,连接OE,EB,设DH=a,贝UHB=2-a,OH=2+a,贝UEH=OH=2+a,根据RtAEB中，EH2=AH?BH,即可求出a的值，即可求出Sade的值；AFAD(2)作DF,AE,垂足为F,连接BE,设EF=2x,DF=3x,根据D

28、F/BE故,EFBD得出AF=6x,再利用RtAFD中，AF2+DF2=AD2,即可求出x,进而求出AE的长；(3)根据等腰直角三角形的不同顶点进行分类讨论，分别求出m的值.【详解】解：(1)如图，作EHI±AB,连接OE,EB,设DH=a,贝UHB=2-a,OH=2+a,点E是弧BC中点，/COE=/EOH=45°,-.EH=OH=2+a,在RtMEB中，EH2=AH?BH,(2+a)2=(6+a)(2-a),解得a=2J22，a=2>/22，eh=2V2，Sade=_nADnEH62；2(2)如图，作DF±AE,垂足为F,连接BEODB设EF=2x,DF

29、=3x1) DF/BEADBD6一=32.afEF.af2x.AF=6x在RtMFD中,AF2+DF2=AD2(6x)2+(3x)2=(6)2解得x=2/5516AE=8x=55(3)当点D为等腰直角三角形直角顶点时，如图设DH=a由DF=DE/DOF=ZEHD=90,/FDO+ZDFO=ZFDO+ZEDH,/DFO=ZEDH.,.ODFAHED.OD=EH=2在RtMBE中，EH2=AH?BH2) )2=(6+a)?(2-a)解得a=+232m=2石当点E为等腰直角三角形直角顶点时，如图同理得AEFCADEH设DH=a，贝UGE=a,EH=FG=2+a在RtMBE中，EH2=AH?BH(2+

30、a)2=(6+a)(2-a)解得a=222EVDHB.m=272当点F为等腰直角三角形直角顶点时，如图同理得EFMFDO设OF=a,则ME=a,MF=OD=2.EH=a+2在RtMBE中，EH2=AH?BH(a+2)2=(4+a)?(4-a)解得a=±771m=币1【点睛】此题主要考查圆内综合问题，解题的关键是熟知全等三角形、等腰三角形、相似三角形的判定与性质.12.如图，AC是。的直径，OB是。的半径，PA切。于点A,PB与AC的延长线交于点M,/COB=/APB.(1)求证：PB是。的切线；22)3.求。的半径.【分析】(1)根据题意/M+/P=90°,而/COB=/A

31、PB,所以有/M+/COB=90°,即可证明PB是。的切线.(2)设圆的半径为r,则OM=r+2,BM=4,OB=r,再根据勾股定理列方程便可求出r.【详解】证明：(1).AC是。的直径，PA切。O于点A,PAXOA在RtAMAP中，ZM+ZP=90；而/COB=/APB,ZM+ZCOB=90°,/OBM=90°,即OB±BP,.PB是。的切线；(2)设OO的半径为r,OMr2,OBr,BM4QOBM为直角三角形，OM2OB2BM2,即(r2)2r2+42解得：r=3,OO的半径为3.【点睛】本题主要考查圆的切线问题，证明圆的切线有两种思路一种是证明连线

32、是半径，另一种是证明半彳5垂直.13.如图所示，AB是半圆。的直径，AC是弦，点P沿BA方向，从点B运动到点A,速度为1cm/s,若AB10cm,点。到AC的距离为4cm.(1)求弦AC的长；(2)问经过多长时间后，APC是等腰三角形.【答案】(1)AC=6;(2)t=4或5或14s时，APC是等腰三角形;5AC的(1)过。作ODLAC于D,根据勾股定理求得AD的长，再利用垂径定理即可求得长；(2)分AC=PCAP=ACAP=CP三种情况求t值即可.【详解】(1)如图1,过。作ODLAC于D,易知AO=5,OD=4,从而ad=Joa2-OD车3,.AC=2AD=6;(2)设经过t秒4APC是等

33、腰三角形，则AP=10-t如图2,若AC=PC过点C作CHI±AB于H,/A=ZA,/AHC=ZODA=90；.AHCAADO,.AC:AH=OA:AD,即AC:10-tco=5:3,解得t=514s,s后4APC是等腰三角形;，经过又.AC=6,则10-t=6,解得t=4s,，经过4s后4APC是等腰三角形；如图4,若AP=CPP与O重合,第4则AP=BP=5,，经过5s后4APC是等腰三角形.口综上可知当t=4或5或q-s时，4APC是等腰二角形.【点睛】本题是圆的综合题，解决问题利用了垂径定理，勾股定理等知识点，解题时要注意当BPC是等腰三角形时，点P的位置有三种情况.14.如

34、图，在RtABC中，点O在斜边AB上，以。为圆心，OB为半径作圆，分别与BC,AB相交于点D,E,连接AD.已知ZCAD=ZB.(1)求证：AD是。的切线；(2)若CD=2,AC=4,BD=6,求。的半径.j【答案】(1)详见解析；(2)述.2【解析】【分析】(1)解答时先根据角的大小关系得到Z1=Z3,根据直角三角形中角的大小关系得出ODLAD,从而证明AD为圆。的切线；(2)根据直角三角形勾股定理和两三角形相似可以得出结果【详解】-.OB=OD,.1./3=/B,一/B=/1,Z1=Z3,在RtACD中，/1+/2=90°,/4=180-(Z2+Z3)=90°,ODXAD,则AD为圆。的切线；(2)过点。作OF,BC,垂足为F,.OFXBD1 -c.DF=B