圆锥曲线几何问题地转换

1、实用标准文档几何问题的转换一、基础知识：在圆锥曲线问题中，经常会遇到几何条件与代数条件的相互转化，合理的进行几何条件的转化往往可以起到“四两拨千斤”的作用，极大的简化运算的复杂程度，在本节中，将列 举常见的一些几何条件的转化。1、在几何问题的转化中，向量是一个重要的桥梁：一方面，几何图形中的线段变为有向线段后可以承载向量；另一方面，向量在坐标系中能够坐标化，从而将几何图形的要素转化为 坐标的运算，与方程和变量找到联系2、常见几何问题的转化：(1)角度问题：若与直线倾斜角有关，则可以考虑转化为斜率k若需要判断角是锐角还是钝角，则可将此角作为向量的夹角，从而利用向量数量积的符号进行判定(2)点与圆

2、的位置关系 可以利用圆的定义，转化为点到圆心距离与半径的联系，但需要解出圆的方程，在有些题目中计算量较大 若给出圆的一条直径，则可根据该点与直径端点连线的夹角进行判定：若点在圆内，T TT T/ACB为钝角(再转为向量：CA CB <0 ；若点在圆上，则/ACB为直角(CACB=0)；T T若点在圆外，则 NACB为锐角(CA CB >0)(3)三点共线问题 通过斜率：任取两点求出斜率，若斜率相等，则三点共线通过向量：任取两点确定向量，若向量共线，则三点共线(4)直线的平行垂直关系：可转化为对应向量的平行与垂直问题，从而转为坐标运算：444 4a = (xi, yi )b =(X2

3、, y2 ),则 a,b共线 u xy2 = x?yi ； a -L bX1X2 + yy2 = 0(5)平行(共线)线段的比例问题：可转化为向量的数乘关系(6)平行(共线)线段的乘积问题：可将线段变为向量，从而转化为向量数量积问题(注意向量的方向是同向还是反向)文案大全3、常见几何图形问题的转化(1)三角形的“重心”：设不共线的三点A(X，yi )B(X2，y2 "必心卜则|_ABC 的重心 G/+X2 +X3 yi + y2 + y3'(2)三角形的“垂心”:伴随着垂直关系,即顶点与垂心的连线与底边垂直，从而可转化为向量数量积为零(3)三角形的“内心”:伴随着角平分线,由

4、角平分线性质可知(如图）：IP _L AC,IQ _L AQAI ACAI ABI在/BAC的角平分线上 二 AP = AQ = I = TACAB(4) P是以DA, DB为邻边的平行四边形的顶点=DP =DA DB(5) P是以DA,DB为邻边的菱形的顶点：P在AB垂直平分线上(6)共线线段长度的乘积：若 A,B,C共线，则线段的乘积可转化为向量的数量积，从而简化运算，(要注意向量的夹角)例如：AC AB = AC AB,AC BC二一AC BC、典型例题:22例1：如图：A,B分别是椭圆C:：+匕a2 b2= 1(a >b >0 )的左右顶点，F为其右焦点，2是AF , FB

5、的等差中项， J3是AF , FB的等比中项(1)求椭圆C的方程(2)已知P是椭圆C上异于A,B的动点，直线l过点A且垂直于x轴，若过F作直线FQ _L AP ,并交直线l于点Q。证明：Q,P,B三点共线解：(1)依题意可得:A(f0),B(a,0),Fg0)AF =c+a, BF =a -c：2是AF , FB的等差中项二 4 = AF + FB = a + c + a c = 2aa =2:, J3是|AF|, FB的等比中项.(V3 j =|AF FB| =(a + cXa _c)=a2_c2 = b2_2_ 2_ 2_3 x 16kx 16k -12 =06 -8k24k2 3-y11

6、2k4k2 3另一方面，因为FQ AP.P '6-8k212k、'14k2+3,4k2+3kFQ = k.b2 =322, 、一 x y椭圆方程为：一+1=143(2)由(1)可得：A(2,0 )B(2,0 ),F(1,0)设AP:y = k(x+2),设P(x1,y ),联立直线与椭圆方程可得:3x2 4y2 =12= 4k2 y = k x 216k2 -12xAx1 二21 x1A 1 4k2 31一 1， 、一, FQ : y = (X1 联立方程:k1一1J x 二2'：B 2,00-3 k2 - -234k12k0k 0 4k2 3 -12k0P . 6-8

7、k2 16k24k24k2 3二B,Q,P三点共线2 X例2:已知椭圆3 a24 = 1(a Ab0)的右焦点为F, M为上顶点，O为坐标原点，若 b2 OMF的面积为1 ,且椭圆的离心率为 红 22(1)求椭圆的方程;(2)是否存在直线l交椭圆于P , Q两点， 且使点F为乙PQM的垂心？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.斛：(1 ) Somf=-bc =22a : b : c = .2:1:12, 22a =b c 2，椭圆方程为:22 y2 :1设 P(X，y3 Q(X2,y2),由(1)可得：M (0,1),F(1,0)kMF = -1 F F为乙PQM的垂心MF -PQ

8、设 PQ : y = x m由F为 PQM的垂心可得：MP 1 FQMP - X1,y1 -'1 , FQ - X2 -'1,y2, MP FQ = %(x2 1)+(y1 -1)y2 =0 因为P,Q在直线y=x+m上y1= x1m _-. 11，代入可得:y2= x2 mx1x2 -1 - x1 m -1x2m = 02即 2x1x2 +(x +x2)(m1)+m m=0 考虑联立方程:y =x +m999得 3x2 +4mx+2m2 -2 =0x2 2y2 =2-16m2 -12 2m2 -2 0= m2 二324m2m -2,x1 +x2 = ,x1x2 =.代入可得:

9、2m2 -22 3334m m -1 1 -,34斛得：m = 一一或m =13当m=1时， PQM不存在，故舍去4一一4当m = 一一时，所求直线l存在，直线l的万程为y = x -一33小炼有话说：在高中阶段涉及到三角形垂心的性质，为垂心与三角形顶点的连线垂直底边,所以对垂心的利用通常伴随着垂直条件，在解析几何中即可转化为向量的坐标运算(或是斜率关系)2 x例3:如图，椭圆嗔 a2+ J=1(abA0)的一个焦点是 b2F (1,0) , O为坐标原点(1)若椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形,椭圆的方程；(2)设过点F且不垂直x轴的直线l交椭圆于A,B两点，若直线l绕点F任意转

10、动，恒有222OA 十 OB < AB求a的取值范围解：(1)由图可得：M 'o,-b I 由正三角形性质可得:,3冗. MFO = -,kMF6kMIF1cb 003 二0 - 1 一一 3.b = .3. a2 = b2 c2 = 422，椭圆方程为：工+L = 143(2)设 l : y = k(x1A(Xi，y-%B(X2，y2 )'JOA2 +|OB2 <|AB2.cos._ AOB =2 i2oa| +|ob| -|ab2 OA OB，/AOB为钝角OA OB = x1x2 y1 y2 : 0联立直线与椭圆方程:y =k x -1 b2x2 a2y2 ;

11、 a2b2,2n b2x2+a2k2(x1)2 =a2b2,整理可得:a2k2 b2 x2 -2a2k2x a2k2 -a2b2 =02, 22a kx1 x2 = 2 2 , , x1x2 二a k b2, 22. 2a k -a b 22,2. 2y-y2 = k x- -1 x2 -1 =k x-x2 - k x-x?k=k22, 22, 2a k -a b2. 2,2a kb2, 222a k 2 k 2 22 ka2k2b22 22 2 2k b -a b kxx2y1y2 =2. 22,2. 2, 22, 2. 2a k - a b k b -a b k2. 2,2a kb:二 0

12、2, 22, 21 2, 22, 2, 2a k -a b +kb -a b k <0 恒成立即 k2(a2 +b2 a2b2 )<a2b2恒成立2,22,2C , , 1 22-1a b - a b <0,b=a二 2a2 -1-a2(a2 -1)<0解得:1.5>2二a的取值范围是 11 4君,依222例4：设A,B分别为椭圆x2 +4 a b= 1(aAb>0)的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距,且椭圆上的点到右焦点距离的最小值为1(1)求椭圆的方程；(2)设P为直线X =4上不同于点(4,0)的任意一点,若直线AP,BP分别与椭圆相交于异于A,B的

13、点M ,N ,证明：点B在以MN为直径的圆内解：(1)依题意可得a=2c,且到右焦点距离的最小值为a - c = 1可解得：a=2,c=1, b =、,322二椭圆方程为=143(2)思路：若要证 B在以MN为直径的圆内，只需证明 /MBN为钝角，即/MBP为锐 角，从而只需证明BM BP >0,因为A,B坐标可求，所以只要设出 AM直线(斜率为k),联立万程利用韦达te理即可用k表不出M的坐标，从而 BM 旧P可用k1表示。即可判断TBM BP的符号，进而完成证明解：由(1)可得A(2,0 ),B(2,0),设直线AM,BN的斜率分别为k , M(x1,y1),则AM : y = k(

14、x+2 ) 联立AM与椭圆方程可得:y = k x 23x2 4y2 =12消去y可得:4k2 3 x2 16k2x 16k2 -12 = 0xAx116k2 -124k2 3二 x1二6 -8k24k2 368k212k 、4k2 +3, 4k2 +3 ,h2,6k ,BM'-16k212k、4k2 +3,4k2 +3，,BP BM-32 k24k2 36k12k4k2 340k24k2 312k 一, y =kx1 +2k =-2，即 M4k2 3设P（4,y0,因为P在直线AM上，所以y0 = k（4 + 2）= 6k，即P（4,6k）|AF| |CFAFBF=BFDFDFp，不

15、妨设CFAFBFDFCF，/MBP为锐角，二/M BN为钝角二M在以MN为直径的圆内例5：如图所示，已知过抛物线x2 = 4y的焦点F的直线l与抛物3 o 3 o线相父于A,B两点，与椭圆一y2 + x2 =1的交点为C,D，是否 42存在直线l使彳#|AF ,CF| = BF| ,DF|?若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由解：依题意可知抛物线焦点 F （0,1）,设l : y = kx +1则 AF 二鼠DF = 'FC设 A X,% ,B X2N2 ,C X3* ,D x4,y4AF = ”,171 ,FB = x2,y2 -1CF= -X3,1 73 ,FD = x4

16、,y4 -1y = kx +12二x = 4y2x - 4kx-4 = 0Lx = ' X2二f 2可信：一一% =x° (4 x° ),解得：*0=0(舍)或*0=8、2 考虑联立直线与抛物线方程:-X3 ; X4x1 x2 = 1 - * )x2 = -4kx1x2 - - 1 x2 = -4，消去Xz可得:一九y = kx 1_224联立直线与椭圆万程：6 66= 6x1 -3(kx + 1) =4 ,整理可得:6x2 3y2 = 43k2 6 x2 6kx -1 = 06kx3 刈=1 _ ' ； 乂 =-23k2 621x3x4 = - 1 x4

17、= -23k2 6221 - _36k_ _ T_2"一 3k 6由可得:-4k2-|k,解得：k2=1= k=±1 3k2 6所以存在满足条件的直线，其方程为:例6：在平面直角坐标系 xOy中，已知抛物线21x =2py(p>0 )的准线方程为y = 3,过点M (4,0 )作抛物线的切线 MA ,切点为A (异于点O ),直线l过点M与抛物线交于两点 P,Q ,与直线OA交于点N(1)求抛物线的方程(2)试问MNMNMPMQ的值是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由，、一p 1 斛：(1)由准线方程可得： 一一=一一二p = 1222二抛物线方程：x2 =

18、2y, 一一1 2(2)设切点A x0,y0 ,抛物线为y= x22, .二y = x 一 切线斜率为k = x0. 1 2二切线万程为：y - yo =xo (x /)，代入M (4,0 )及yo =鼻乂。,A 8,32 OA: y = 4x设 PQ : x = my 4M M ,P, N,Q共线且M在x轴上|MN| |MN| yN Qn1。1、 Yp 十 Yq+= yN + =yNMP MQyp yQ、yp y ,YpYqx2 = 2y 2-1联立PQ和抛物线方程：x y = (my+4) =2y ,整理可得：x = my 42 2m y 8m - 2 y 16 = 02-8m16yP y

19、Q =2-，yP yQ 2mm八 ，、一 y =4x16再联立OA,PQ直线方程：4 y= yN ='6-x = my 41 - 4m2-8mMN|MN|Yp+Yq 16m2化简可得：=1 y = 026。y y yNm2MPMQypyq1 -4m162m例7：在ABC中，AB的坐标分别是J2,0 ),(J2,0 ),点G是|_ABC的重心，y轴上一点 M 满足 GM / AB ,且 MC = MB（1）求LABC的顶点C的轨迹E的方程（2）直线l : y =kx +m与轨迹E相交于P,Q两点，若在轨迹 E上存在点R,使得四边形OPRQ为平行四边形（其中 O为坐标原点），求m的取值范围

20、g x yG 3,3解：（1）设C（x, y）由G是l_ ABC的重心可得:由Y轴上一点M满足平行关系，可得 M .'o,- j ,3由MCMB可得:x2 I1y- 3y=*0_%/2 i +y2 J22xy. 一二C的轨迹E的方程为：十 = 1 (y o 0 )26(2)/四边形OPRQ为平行四边形OR 二加 OQ设 P xi,yi ,Q x2,y2R x x?,小 »Rr在椭圆上3 xix2y1y2=62222(3x1 + y1 ) + (3x2 + y2 ) + 6x1x2 +2y1y2 =6 22 一一广3x1y1 = 6口因为P,Q在椭圆上，所以 ；2，代入可得:3

21、x2 y2 = 66x1x2+2y1y2+12 =6= 3x1x2 + y1y2 =-3 联立方程可得:y = kx m_: k 3 x 2kmx m -6 = 03x2 y2 = 6- xix22 kmm2 - 62 , xix2 = -23 k2 k2 3, 22y1y2=kx1mkx2m = kx1 x2km x1x2广 m3m2 - 6k2k2 3代入可得:222c m -6 3m -6k2 , 2 3 1一7 = 3= 2m = k 3k2 3k2 3.2-22(k +3 )x +2kmx+m -6 = 0有两不等实根可得:& =4k2m2 -4(k2 +3)(m2 -6)&

22、gt;0,即3m2 +6k2 +18a0,代入 k22m2 -3-3m2 6 2m2 - 3 18 0= m2 0另一方面：2m2-3=k2 ;0 m2/=m上«或mW-« 222221例8：已知椭圆C:与+ yr=1(a>b>0)的离心率为1,直线l过点A(4,0),B(0,2), a36 AP =35 AM AN列出关于k的方程。对于AM AN，尽管可以用两点间距离公式表示出 AM , AN ,但运算较为复杂。观察图形特点可知A,M , N共线，从而可想到利AM,AN同向，所以 AM AN = AM AN。写出 b22且与椭圆C相切于点P(1)求椭圆C的方程

23、(2)是否存在过点A(4,0)的直线m与椭圆交于不同的两点M , N ,使得一一 _ 2 一36 Api =35 AM AN ?若存在，求出直线 m的方程；若不存在，请说明理由C 1解(1) e = =. a:b:c=2:、3:1a 222x y 222，椭圆方程化为： ：+j=1n 3x +4y =12c4c 3c'；l 过 A(4,0),B(0,2 ).x y ,1_二设直线 l :- +- =1= y = _x + 2 4 223x2+4y2 =12c2/ 1、2联立直线与椭圆方程：11消去y可得：3x2 +4l-1x + 2 =12c2|y = -x+2I222整理可得：x2

24、-2x 4 -3c2 =07l与椭圆相切于p 2=4 - 4 4 - 3c =0= c = 1P13,222一一、一 x y一 r二椭圆方程为：一 +工=1 ,且可解得43(2)思路：设直线m为y = k(x-4 ),一一，口3M (x,y1 ”小.)，由(1)可得：P.J,-卜一，一一一一 245 用向量数量积表示线段的乘积。因为再由A(4,0 )可知AP| =-,若要求得k (或证明不存在满足条件的k),则可通过等式AM,aN的坐标即可进行坐标运算，然后再联立m与椭圆方程，运用韦达定理整体代入即可得到关于k的方程，求解即可解：由题意可知直线 m斜率存在，所以设直线m： y =k x -4

25、,M x，y1，N x2，y2由（1）可得：P 11,3,222=1-4'/ A, M, N共线且36_ - 02aM,aN同向454二 AMAN=AM' ANAM f x -4,y1，AN f x2 -4,丫2AM AN = x1 -4 x2 -4 y1y2=x1x2 y1y2 f 4 x1 x216联立直线m与椭圆方程:3x2 4y2 =12-2222消去 y 并整理可得：（4k2 +3）x2 32k2x+64k2 12 = 0 y = k x-432k2为“ =记飞.“_2-64k -124 k2 3,2,Y1 y =k X -4 x2，36k2一4 :24k2 3AM

26、an =64k2 -12 4k 336k2/ 32k2 廿 36 k2 12- -42- 16 :一24k 3 4k 3 4k 3；36 AP2 =35 AM | AN| ,代入 AP2;生 AM。"二44k 3“ 45 八36 = 354236 k2 14k2 32可解得：k21.2=一= k=±,另一万面, 84若方程（4k2 +3反232k2x+64k212 = 0有两不等实根c 2cc贝U 3 32k-4 4k 3 64k -120解得:一一：二 k :二一.k =二2符合题意4二直线m的方程为:=卓.4),即:,2 一、y = x 一 v2 或 y42 x例9:设

27、椭圆C :七a24 = 1（a >b a0 ）的左，右焦点分别为F3F2,上顶点为A,过点A b与AF2垂直的直线交x轴负半轴与点Q，且2F1F2+F2Q =0（1）求椭圆c的离心率(2)(3)在（2）的条件下，过右焦点 52作斜率为k的直线l与椭圆C交于M ,N两点，在x轴上是否存在点P（m,0 ）使得以PM , PN为邻边的平行四边形是菱形？如果存在，求出 m的取值范围；如果不存在，请说明理由解：(1)依题意设 A(0,b ),F1(-c,0 ),F2(c,0 Q(x0,0 )I 4F1F2 = 2c,0 ,F2Q = x°-c,0'：2F1F2 FQ=0- 4c

28、x0 - c = 0= x0 =-3c.Q -3c,0L _b L kAQ -, kAF23cb一 由AQ_LAF2可得: ckAQ kAF2b23c22_ 2=-1= b =3c若过A,Q,F2三点的圆恰好与直线l :x-J3y -3 = 0相切，求椭圆C的方程22,2=3c = a = 4c1)可得：a:b:c = 2:、3:1，A,Q,F2的外接圆的直径为 QF2,半径设为rQ -3c,0 ,F2 c,01,二 r = -QF2 = 2c ,圆心（c,0）,一 , 一1-c - 3|由圆与直线相切可得：d =尸 =2c= |c + 3 = 4c解得：c=1, a=2b=j322椭圆方程为

29、=143(3)由(2)得 Fi(-1,0)F2(1,0)：设直线 l : y=k(x-1)设M (x,y1 ),N (x2, y2 ),若PM ,PN为邻边的平行四边形是菱形则P为MN垂直平分线上的点3x1 4 y1=12222222： 3 X1 - X2 , 4 y - y2 = 03x2 4y2 =123 % X2 X1 -X24 y1 一2 % - y2 =0设 M,N 中点(X0,y0 )3xo 4kyo -0= yo4k1rr,八二 MN 的中垂线万程为：y -y0 =一一(xx0 ),即 x + ky ky0 x0 = 0k代入 P(m,0)可得： mky0X0=0n m =km 二-