极坐标与参数方程基础知识附重点题型

1、(一)基础知识高中数学回归课本校本教材24参数极坐标1 .极坐标定义：M是平面上一点，P表示OM的长度，日是ZMOx，则有序实数实数对(P,8) , P 叫极径，日叫极角；一般地， 日W0,2n), P>0 °2 .常见的曲线的极坐标方程(1)直线过点M(R,e0),倾斜角为口常见的等量关系：正弦定理 0P . 0Msin . OMP sin . OPMZOMP/OPM =a -0 ;(2)圆心P(R,Q)半径为R的极坐标方程的等量关系：勾股定理或余弦定理;(3)圆锥曲线极坐标：p=-ep，当e>1时，方程表示双曲线；当e = 1时，方程表示抛物线；当0<e<

2、1 1-ecos1时，方程表示椭圆.提醒：极点是焦点，一般不是直角坐标下的坐标原点。极坐标方程p=3一 表示的曲线2 -4cos是 双曲线3.参数方程：(1)圆(x-a)2+(x-b)2 =r2 的参数方程：x-a =r cose,x-b = rsinO 22 椭圆+y =1的参数方程：x =acos13,x =bsin日a b(3)直线过点 叫为4。)，倾斜角为ct的参数方程：tanot =义二y0即二出=2二区=t,x -Xocos? sin 1即Jx=x0 :8sa注："旧=土土 $所8=匕处据锐角三角函数定义，t几何意义是有向线段耘P的数量 y =y。t smtt其中t表示直

3、线l上以定点M0为起点，任意一点M(x, y)为终点的有向线段M0M的数量M0M,当点M在M0的上方时，t>0;当点M在M0的下方时，t<0.(4型物线y2=2px(p>0 )的参数方程为：x=2pt (t为参数).y =2pt由于y=1,因此参数t的几何意义是抛物线上的点与抛物线的顶点连线的斜率的倒数.x tx =2 -sin2 -如：将参数方程12(6为参数)化为普通方程为y=x2(2 <x <3)将y=sin 8代入x=2+sin日即可，但是Jy =sin 10 _sin2 1 <： 1 ；4.极坐标和直角坐标互化公式:x = PcosJy 二二sin

4、 =X2 =x? - y2 或tan y = (x -0)0的象限由点(x,y)所在象限确定8 / 6(1)它们互化的条件则是：极点与原点重合，极轴与 x轴正半轴重合.(2)将点(R6)变成直角坐标(PcosB, PsinH),也可以根据几何意义和三角函数的定义获得。5.极坐标的几个注意点：x=.3' 2cos(1)极坐标和直角坐标转化的必要条件是具有共同的坐标原点(极点)如：已知圆C的参数方程为X 3 2cos (6y = 2sin1为参数)，若P是圆C与y轴正半轴的交点，以圆心 C为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求过点 P的圆C的切线的极坐标方程。： cos( ) =2如：

5、已知抛物线y2=4x,以焦点F为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求抛物线的极坐标方程。即 P= 2。1 -cos（2）对极坐标中的极径和参数方程中的参数的几何意义认识不足如：已知椭圆的长轴长为6,焦距F1F2 =4并，过椭圆左焦点Fl作一直线，交椭圆于两点 M N,设/F2FM 3（0刍（<!），当“为何值时，MN与椭圆短轴长相等？ 0t =三或目66（3）直角坐标和极坐标一般不要混合使用：如：已知某曲线的极坐标方程为p2 _2j2Psin（0 +） -2 =0 ° （1）将上述曲线方程化为普通方程；（2）若点P（x, y）是该曲线上任意点，求 x+y的取值范围。2 _2

6、/,2 +2*吃 （二）基本计算1.求点的极坐标：有序实数实数对 （R9） , P叫极径，日叫极角；如：点 M的直角坐标是（1Q ，则点M的极坐标为(2, -)提小:3(2,2 k 二+2-）,k WZ都是点M的极坐标.2.求曲线轨迹的方程步骤：（1）建立坐标系；（2）在曲线上取一点P（P,0） ; （3）写出等式；（4）根据P,8几何意义用P,0表示上述等式，并化简 （注意：x=p,y#e）；（5）验证。如：长为2a的线段，其端点在 Ox轴和Oy轴正方向上滑动，从 原点作这条线段的垂线，垂足为 M ,求点M的轨迹的极坐标方程（Ox轴为极轴），再化为直角坐标方程.解：设点 M 的极坐标为(R8

7、),则 0BM =ZAOM =6,且 |OA|=2asin日，pqOA|cosH=2asin 日cos =asin2 ,二点 M的轨迹的极坐标方程为p=asin20（0 <0<-）.由P=asin26可得 式=2ap2sin日cos9 ,3-，2 3'-;（x2 +y2）2 4axy 其直角坐标方程为（x2 +y2）2 =2axy（x>0,y >0）.3.求轨迹方程的常用方法：直接法：直接通过建立x、y之间的关系，构成 F（x, y）=0,是求轨迹最基本的方法待定系数法：可先根据条件设所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数，代回方程 代入法（相关点法或转移法）.

8、如：从极点作圆P=2acos6的弦，求各弦中点的轨迹方程.解：设所求曲线上的动点 M的极坐标为（R6）,圆P=2acos日上的动点的极坐标为（Rf）由题设可知，0=8 ,将其代入圆的方程得：P=acos国工<0<.）. '储=2P22定义法：如果能够确定动点轨迹满足某已知曲线定义，则可由曲线定义直接写出方程.交轨法（参数法）：当动点P（x,y）坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x、y均用一中 间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数彳I普通方程.4.参数和极径的几何意义的运用：P表示OM的长度；T几何意义是有向线段 mP的数量；如：已知过点P（9,

9、T3）的直线l与xx 二9，tcos/轴正半轴、y轴正半轴分别交于 A B两点，则AB取小值为8J3提小：设 L倾斜角为a ,则AB=t1t2或y = 3 , tsin.“工，9V3,9 , V3,9sint , -73cos-9sir3a _73coSoc 人 .AB=| t1|十心 | ,t1=-，t2=-,贝Ul(a)=-+,l (a)2+2-=22令l(a)=0,cos.：:sin 工cos sin二cos二 sin 二cos 二sin 二33119 J3tan a= =尸不 所以，tana =、,c( =150 , l(£)min =l(150) =-r+r =8v3 汪用

10、：本题可以取 倾斜角的补9( 3)33cos150 sin150角为Ct如 过抛物线y2 =8x的焦点F作倾斜角为-的直线，交抛物线于A,B两点，求线段AB的长度.解：对此抛物线有e =1, p=4 , 4所以抛物线的极坐标方程为P=< 4 口,A,B两点的极坐标分别为2和邙，|FA|T'（1yosn：4）B（2K2）,|FB:4（4cos生477（,22）1 -cos144：|AB |斗FA|巾FB |=16 .：线段 AB的长度为16.5.参数方程的应用-求最值: 恒成立，求实数 a的取值范围。如：已知点P(x, y)是圆x2 +y2 =2y上的动点,(1)求2x +y的取值

11、范围；(2)若x +y +a之0 /5+1,v；5+. (2) x+y+a =cos8+sin日y+a 之0 -"2,用.x =4cos?ly =2 3sin 122如：在椭圆 L+匕二上找一点 使这一点到直线x2y 72=0的距离的最小值.解：设椭圆的参数方程为16 12Mo"嚏上回=华百_、覆仙J =啕2cos（心）-3当cos（吗）口，即日言时，dm. =4f ,此时所求点为（2, _3）.C.选修4 -4参数方程与极坐标已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合。若曲线Ci的方程为P2 =8Psin日15 ,曲线C2的方程为!X=2fC0Sa，

12、（a为参数）。y = .2sin ;（1）将Ci的方程化为直角坐标方程；（2）若C2上的点Q对应的参数为= ,P为Ci上的动点，求 PQ的最小值。提示：（1） x2 +y2 8y+15 = 0 .3 二（2）当口= 一时，得Q（2,1）,点Q到Ci的圆心的距离为 V13 所以PQ的最小值为V13-1 .4，在极坐标系中，求经过三点0（0, 0）, A（2,三），B（272,三）的圆的极坐标方程.24解：设P（只日）是所求圆上的任意一点，则 OP =OBcos（日-二），故所求的圆的极坐标方程为4已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与X轴的正半轴重合.若直线l的极坐标方程为31f:si

13、nC -） =3 2 .4（1）把直线l的极坐标方程化为直角坐标系方程；,一x2y2：x = 4cosot,.,.（2）已知P为椭圆C :+，=1上一点（已知曲线C的参数方程为4（a为参数），）求P到直线l的169y=3sin;距离的最大值.解：（1）直线l的极坐标方程Psin1三=3四，则Y2Psin942Pcos日=3>/2,422即Psin 0 PcosQ =6 ,所以直线l的直角坐标方程为 x y +6 =0 ；22（2） P为椭圆C：二十匕=1上一点 设 P（4cos «, 3sin a）,其中口0,2兀），16914cos二一3sin'：-6| 15cos（

14、二l"） 6| "».4贝U P到直线l的距离d 产! =-!,其中cos中=一2、25所以当cos。+中）=1时，d的最大值为 422在极坐标系中，圆 C的方程为p=2，2sin(e+)，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标4X x =t.系，直线l的参数方程为X ,(t为参数)，判断直线l和圆C的位置关系.y =1 2t解：消去参数t,得直线l的直角坐标方程为 y=2x+1；P = 2j2(sine十工)即P = 2(sinB+cos8),4两边同乘以P得P2=2(PsinH+PcosH),得。C的直角坐标方程为：(x1)2+(x 1)2= 2

15、,圆心C到直线l的距离d =|2二1+1| =纯 <72 ,所以直线l和。C相交., 22 125x = -t 2,已知曲线C的极坐标方程是 P=2sin日，直线l的参数方程是55( t为参数).y*(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)设直线l与x轴的交点是M , N是曲线C上一动点，求MN的最大值.解：(1)曲线C的极坐标方程可化为p2=2PsinH又 x2 + y2 = F , x = PcosH , y = Psin 6,22所以曲线C的直角坐标方程为 x +y 2y=0(2)将直线l的参数方程化为直角坐标方程，得y = -4(x-2)3令y =0，得x =2，即M点

16、的坐标为(2,0).又曲线C为圆，圆C的圆心坐标为(1,0),半径r=1,则MC =布所以 |MN <|MC| +r =灰 +1在极坐标系中，已知点A(V250)到直线l: Psin(e-) = m(m>0)的距离为3.(1)求实数m的值；(2)设P是直线l上的动点，Q在线段OP上，且满足 屁口就1, 求点Q的轨迹方程，并指出轨迹是什么图形.解析：(1以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系，则点 A勺直角坐标为(五,0),= 1 + m = 3,所以m = 2.：0直线l的直角坐标方程为x-y + 72m = 0.因为Aa直线l的距离d = |&ym|2(2)由(

17、1居直线l的方程为Psin(8 因为点P（P0,仇）在直线l上，所以0sin（% -工）=2.将代入，得sin（e -） = 2, 4P 4即P=1sin（e -土）.这就是点Q的轨迹方程. 24化为直角坐标方程为（x+ 1）2+（y-1）2=1.因止匕点Q的轨迹是以（1,至）为圆心，1为半径的圆. 88164 44变式训练（2010浙江卷）如图，在极坐标系Ox中，已知曲线:冗冗C1： ：=4sin(一一)；423 二一C2： P = 4cos (一 W H W 或一< 0 < 2n4224(0).2（1）求由曲线C" C2, C3围成的区域的面积;设乂 (4,5),N（

18、2,0）,射线 =（P 之 0,上4OGsin ONG曲线C* C2分别交于A, B（不同于极点O）两点.若线段AB的中点恰好落在直线MN上，求tanu的值.121212解析：1由已知，8形osp=一父冗父2 父2 =冗2所以Sw部分=一父冗父2 202） = 4, 4221 O 1O故所求面积S=-二42 -4 6& -4.42(2 )设AB的中点 为6( P,叼，NONG =中，由题意知，=区/ =2sin +2cosa,21 . ONsin 邛=-=,cos* =.在 AOGN 中，55sin OGN即 2 2sin 1 2cos 二sin(二-：-) sin :sin2所以 sin a +cosa =-=,sin(二八P)sin 工，2cos 二化简得