极坐标与参数方程基础知识附重点题型_第1页
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文档简介

1、(一)基础知识高中数学回归课本校本教材24参数极坐标1 .极坐标定义:M是平面上一点,P表示OM的长度,日是ZMOx,则有序实数实数对(P,8) , P 叫极径,日叫极角;一般地, 日W0,2n), P>0 °2 .常见的曲线的极坐标方程(1)直线过点M(R,e0),倾斜角为口常见的等量关系:正弦定理 0P . 0Msin . OMP sin . OPMZOMP/OPM =a -0 ;(2)圆心P(R,Q)半径为R的极坐标方程的等量关系:勾股定理或余弦定理;(3)圆锥曲线极坐标:p=-ep,当e>1时,方程表示双曲线;当e = 1时,方程表示抛物线;当0<e<

2、1 1-ecos1时,方程表示椭圆.提醒:极点是焦点,一般不是直角坐标下的坐标原点。极坐标方程p=3一 表示的曲线2 -4cos是 双曲线3.参数方程:(1)圆(x-a)2+(x-b)2 =r2 的参数方程:x-a =r cose,x-b = rsinO 22 椭圆+y =1的参数方程:x =acos13,x =bsin日a b(3)直线过点 叫为4。),倾斜角为ct的参数方程:tanot =义二y0即二出=2二区=t,x -Xocos? sin 1即Jx=x0 :8sa注:"旧=土土 $所8=匕处据锐角三角函数定义,t几何意义是有向线段耘P的数量 y =y。t smtt其中t表示直

3、线l上以定点M0为起点,任意一点M(x, y)为终点的有向线段M0M的数量M0M,当点M在M0的上方时,t>0;当点M在M0的下方时,t<0.(4型物线y2=2px(p>0 )的参数方程为:x=2pt (t为参数).y =2pt由于y=1,因此参数t的几何意义是抛物线上的点与抛物线的顶点连线的斜率的倒数.x tx =2 -sin2 -如:将参数方程12(6为参数)化为普通方程为y=x2(2 <x <3)将y=sin 8代入x=2+sin日即可,但是Jy =sin 10 _sin2 1 <: 1 ;4.极坐标和直角坐标互化公式:x = PcosJy 二二sin

4、 =X2 =x? - y2 或tan y = (x -0)0的象限由点(x,y)所在象限确定8 / 6(1)它们互化的条件则是:极点与原点重合,极轴与 x轴正半轴重合.(2)将点(R6)变成直角坐标(PcosB, PsinH),也可以根据几何意义和三角函数的定义获得。5.极坐标的几个注意点:x=.3' 2cos(1)极坐标和直角坐标转化的必要条件是具有共同的坐标原点(极点)如:已知圆C的参数方程为X 3 2cos (6y = 2sin1为参数),若P是圆C与y轴正半轴的交点,以圆心 C为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求过点 P的圆C的切线的极坐标方程。: cos( ) =2如:

5、已知抛物线y2=4x,以焦点F为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求抛物线的极坐标方程。即 P= 2。1 -cos(2)对极坐标中的极径和参数方程中的参数的几何意义认识不足如:已知椭圆的长轴长为6,焦距F1F2 =4并,过椭圆左焦点Fl作一直线,交椭圆于两点 M N,设/F2FM 3(0刍(<!),当“为何值时,MN与椭圆短轴长相等? 0t =三或目66(3)直角坐标和极坐标一般不要混合使用:如:已知某曲线的极坐标方程为p2 _2j2Psin(0 +) -2 =0 ° (1)将上述曲线方程化为普通方程;(2)若点P(x, y)是该曲线上任意点,求 x+y的取值范围。2 _2

6、/,2 +2*吃 (二)基本计算1.求点的极坐标:有序实数实数对 (R9) , P叫极径,日叫极角;如:点 M的直角坐标是(1Q ,则点M的极坐标为(2, -)提小:3(2,2 k 二+2-),k WZ都是点M的极坐标.2.求曲线轨迹的方程步骤:(1)建立坐标系;(2)在曲线上取一点P(P,0) ; (3)写出等式;(4)根据P,8几何意义用P,0表示上述等式,并化简 (注意:x=p,y#e);(5)验证。如:长为2a的线段,其端点在 Ox轴和Oy轴正方向上滑动,从 原点作这条线段的垂线,垂足为 M ,求点M的轨迹的极坐标方程(Ox轴为极轴),再化为直角坐标方程.解:设点 M 的极坐标为(R8

7、),则 0BM =ZAOM =6,且 |OA|=2asin日,pqOA|cosH=2asin 日cos =asin2 ,二点 M的轨迹的极坐标方程为p=asin20(0 <0<-).由P=asin26可得 式=2ap2sin日cos9 ,3-,2 3'-;(x2 +y2)2 4axy 其直角坐标方程为(x2 +y2)2 =2axy(x>0,y >0).3.求轨迹方程的常用方法:直接法:直接通过建立x、y之间的关系,构成 F(x, y)=0,是求轨迹最基本的方法待定系数法:可先根据条件设所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数,代回方程 代入法(相关点法或转移法).

8、如:从极点作圆P=2acos6的弦,求各弦中点的轨迹方程.解:设所求曲线上的动点 M的极坐标为(R6),圆P=2acos日上的动点的极坐标为(Rf)由题设可知,0=8 ,将其代入圆的方程得:P=acos国工<0<.). '储=2P22定义法:如果能够确定动点轨迹满足某已知曲线定义,则可由曲线定义直接写出方程.交轨法(参数法):当动点P(x,y)坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时,可考虑将x、y均用一中 间变量(参数)表示,得参数方程,再消去参数彳I普通方程.4.参数和极径的几何意义的运用:P表示OM的长度;T几何意义是有向线段 mP的数量;如:已知过点P(9,

9、T3)的直线l与xx 二9,tcos/轴正半轴、y轴正半轴分别交于 A B两点,则AB取小值为8J3提小:设 L倾斜角为a ,则AB=t1t2或y = 3 , tsin.“工,9V3,9 , V3,9sint , -73cos-9sir3a _73coSoc 人 .AB=| t1|十心 | ,t1=-,t2=-,贝Ul(a)=-+,l (a)2+2-=22令l(a)=0,cos.::sin 工cos sin二cos二 sin 二cos 二sin 二33119 J3tan a= =尸不 所以,tana =、,c( =150 , l(£)min =l(150) =-r+r =8v3 汪用

10、:本题可以取 倾斜角的补9( 3)33cos150 sin150角为Ct如 过抛物线y2 =8x的焦点F作倾斜角为-的直线,交抛物线于A,B两点,求线段AB的长度.解:对此抛物线有e =1, p=4 , 4所以抛物线的极坐标方程为P=< 4 口,A,B两点的极坐标分别为2和邙,|FA|T'(1yosn:4)B(2K2),|FB:4(4cos生477(,22)1 -cos144:|AB |斗FA|巾FB |=16 .:线段 AB的长度为16.5.参数方程的应用-求最值: 恒成立,求实数 a的取值范围。如:已知点P(x, y)是圆x2 +y2 =2y上的动点,(1)求2x +y的取值

11、范围;(2)若x +y +a之0 /5+1,v;5+. (2) x+y+a =cos8+sin日y+a 之0 -"2,用.x =4cos?ly =2 3sin 122如:在椭圆 L+匕二上找一点 使这一点到直线x2y 72=0的距离的最小值.解:设椭圆的参数方程为16 12Mo"嚏上回=华百_、覆仙J =啕2cos(心)-3当cos(吗)口,即日言时,dm. =4f ,此时所求点为(2, _3).C.选修4 -4参数方程与极坐标已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与x轴的正半轴重合。若曲线Ci的方程为P2 =8Psin日15 ,曲线C2的方程为!X=2fC0Sa,

12、(a为参数)。y = .2sin ;(1)将Ci的方程化为直角坐标方程;(2)若C2上的点Q对应的参数为= ,P为Ci上的动点,求 PQ的最小值。提示:(1) x2 +y2 8y+15 = 0 .3 二(2)当口= 一时,得Q(2,1),点Q到Ci的圆心的距离为 V13 所以PQ的最小值为V13-1 .4,在极坐标系中,求经过三点0(0, 0), A(2,三),B(272,三)的圆的极坐标方程.24解:设P(只日)是所求圆上的任意一点,则 OP =OBcos(日-二),故所求的圆的极坐标方程为4已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与X轴的正半轴重合.若直线l的极坐标方程为31f:si

13、nC -) =3 2 .4(1)把直线l的极坐标方程化为直角坐标系方程;,一x2y2:x = 4cosot,.,.(2)已知P为椭圆C :+,=1上一点(已知曲线C的参数方程为4(a为参数),)求P到直线l的169y=3sin;距离的最大值.解:(1)直线l的极坐标方程Psin1三=3四,则Y2Psin942Pcos日=3>/2,422即Psin 0 PcosQ =6 ,所以直线l的直角坐标方程为 x y +6 =0 ;22(2) P为椭圆C:二十匕=1上一点 设 P(4cos «, 3sin a),其中口0,2兀),16914cos二一3sin':-6| 15cos(

14、二l") 6| "».4贝U P到直线l的距离d 产! =-!,其中cos中=一2、25所以当cos。+中)=1时,d的最大值为 422在极坐标系中,圆 C的方程为p=2,2sin(e+),以极点为坐标原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标4X x =t.系,直线l的参数方程为X ,(t为参数),判断直线l和圆C的位置关系.y =1 2t解:消去参数t,得直线l的直角坐标方程为 y=2x+1;P = 2j2(sine十工)即P = 2(sinB+cos8),4两边同乘以P得P2=2(PsinH+PcosH),得。C的直角坐标方程为:(x1)2+(x 1)2= 2

15、,圆心C到直线l的距离d =|2二1+1| =纯 <72 ,所以直线l和。C相交., 22 125x = -t 2,已知曲线C的极坐标方程是 P=2sin日,直线l的参数方程是55( t为参数).y*(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)设直线l与x轴的交点是M , N是曲线C上一动点,求MN的最大值.解:(1)曲线C的极坐标方程可化为p2=2PsinH又 x2 + y2 = F , x = PcosH , y = Psin 6,22所以曲线C的直角坐标方程为 x +y 2y=0(2)将直线l的参数方程化为直角坐标方程,得y = -4(x-2)3令y =0,得x =2,即M点

16、的坐标为(2,0).又曲线C为圆,圆C的圆心坐标为(1,0),半径r=1,则MC =布所以 |MN <|MC| +r =灰 +1在极坐标系中,已知点A(V250)到直线l: Psin(e-) = m(m>0)的距离为3.(1)求实数m的值;(2)设P是直线l上的动点,Q在线段OP上,且满足 屁口就1, 求点Q的轨迹方程,并指出轨迹是什么图形.解析:(1以极点为原点,极轴为x轴的正半轴,建立直角坐标系,则点 A勺直角坐标为(五,0),= 1 + m = 3,所以m = 2.:0直线l的直角坐标方程为x-y + 72m = 0.因为Aa直线l的距离d = |&ym|2(2)由(

17、1居直线l的方程为Psin(8 因为点P(P0,仇)在直线l上,所以0sin(% -工)=2.将代入,得sin(e -) = 2, 4P 4即P=1sin(e -土).这就是点Q的轨迹方程. 24化为直角坐标方程为(x+ 1)2+(y-1)2=1.因止匕点Q的轨迹是以(1,至)为圆心,1为半径的圆. 88164 44变式训练(2010浙江卷)如图,在极坐标系Ox中,已知曲线:冗冗C1: :=4sin(一一);423 二一C2: P = 4cos (一 W H W 或一< 0 < 2n4224(0).2(1)求由曲线C" C2, C3围成的区域的面积;设乂 (4,5),N(

18、2,0),射线 =(P 之 0,上4OGsin ONG曲线C* C2分别交于A, B(不同于极点O)两点.若线段AB的中点恰好落在直线MN上,求tanu的值.121212解析:1由已知,8形osp=一父冗父2 父2 =冗2所以Sw部分=一父冗父2 202) = 4, 4221 O 1O故所求面积S=-二42 -4 6& -4.42(2 )设AB的中点 为6( P,叼,NONG =中,由题意知,=区/ =2sin +2cosa,21 . ONsin 邛=-=,cos* =.在 AOGN 中,55sin OGN即 2 2sin 1 2cos 二sin(二-:-) sin :sin2所以 sin a +cosa =-=,sin(二八P)sin 工,2cos 二化简得

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