2017届高三数学理期中考试一模试题北京海淀区附答案

1、2017届高三数学理期中考试（一模）试题（北京市海淀区附答案）海淀区高三年级第二学期期中练习数学（理科）第I卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，集合，则（）A.B.C.D.2.已知复数（，），则“为纯虚数”的充分必要条件为（）A.B.C.,D.,3.执行如图所示的程序框图，输出的值为（）A.0B.3C.6D.84.设，若，则（）A.B.C.D.5.已知，则，的大小关系是（）A.B.C.D.6.已知曲线：（为参数），若曲线上存在点满足，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.7.甲、乙、丙、丁、戊五人排

2、成一排，甲和乙都排在丙的同一侧，排法种数为（）A.12B.40C.60D.808.某折叠餐桌的使用步骤如图所示，有如图检查项目：项目：折叠状态下（如图1）,检查四条桌腿长相等；项目：打开过程中（如图2）,检查；项目：打开过程中（如图2）,检查；项目：打开后（如图3）,检查；项目：打开后（如图3）,检查.在检查项目的组合中，可以正确判断“桌子打开之后桌面与地面平行的是（）A.B.C.D.第II卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9.若等比数列满足，则公比，前项和.10.已知，满足的动点的轨迹方程为.11.在中，.；若，则.12.若非零向量，满足，则向量，夹角的大

3、小为.13.已知函数若关于的方程在内有唯一实根，则实数的最小值是.14.已知实数，满足，则的最大值是.三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知是函数的一个零点.（I）求实数的值；（H）求的单调递增区间.16.据报道，巴基斯坦由中方投资运营的瓜达尔港目前已通航.这是一个可以停靠810万吨油轮的深水港，通过这一港口，中国船只能够更快到达中东和波斯湾地区，这相当于给中国平添了一条大动脉！在打造中巴经济走廊协议（简称协议）中，能源投资约340亿美元，公路投资约59亿美元，铁路投资约38亿美元，高架铁路投资约16亿美元，瓜达尔港投资约6.6亿美元，光纤通

4、讯投资约为0.4亿美元.有消息称，瓜达尔港的月货物吞吐量将是目前天津、上海两港口月货物吞吐量之和.表格记录了2015年天津、上海两港口的月吞吐量（单位：百万吨）：1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月天津242226232426272528242526上海322733313031323330323030（I）根据协议提供信息，用数据说明本次协议投资重点；（n）从表中12个月任选一个月，求该月天津、上海两港口月吞吐量之和超过55百万吨的概率；（田）将（n）中的计算结果视为瓜达尔港每个月货物吞吐量超过55百万吨的概率,设为瓜达尔未来12个月的月货物吞吐量超过55百万吨的个数，写出的

5、数学期望（不需要计算过程）.17.如图，由直三棱柱和四棱锥构成的几何体中，平面平面.（I）求证：；（n）若为的中点，求证：平面；（田）在线段上是否存在点，使直线与平面所成的角为？若存在，求的值，若不存在，说明理由.18.已知函数，其中实数.（I）判断是否为函数的极值点，并说明理由；（II）若在区间上恒成立，求的取值范围.19.已知椭圆：，与轴不重合的直线经过左焦点，且与椭圆相交于，两点，弦的中点为，直线与椭圆相交于，两点.（I）若直线的斜率为1,求直线的斜率；（H）是否存在直线，使得成立？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.20.已知含有个元素的正整数集（，）具有性质：对任意不大于（

6、其中）的正整数，存在数集的一个子集，使得该子集所有元素的和等于.（I）写出，的值；（n）证明：，成等差数列”的充要条件是“；（田）若，求当取最小值时的最大值.海淀区高三年级第二学期期中练习数学（理科）答案一、选择题1-5:6-8:二、填空题9.2,10.11.90,12.12013.14.三、解答题15.解：（I）由题意可知，即，即，解得.（n）由（I）可得，函数的递增区间为，.由，得，所以，的单调递增区间为，.16.解：（I）本次协议的投资重点为能源，因为能源投资为340亿，占总投资460亿的以上，所占比重大.（H）设事件：从12个月中任选一个月，该月超过55百万吨.根据提供的数据信息，可以

7、得到天津、上海两港口的月吞吐量之和分别是：56,49,58,54,54,57,59,58,58,56,54,56,其中超过55百万吨的月份有8个，所以，.（田）的数学期望.17.（I）证明：在直三棱柱中，平面，故，由平面平面，且平面平面，所以平面，又平面，所以.（H）证明：在直三棱柱中，平面，所以，又，所以，如图建立空间直角坐标系，依据已知条件可得，所以，设平面的法向量为，由即令，则，于是，因为为中点，所以，所以，由，可得，所以与平面所成角为0,即平面.（田）解：由（n）可知平面的法向量为.设，则，.若直线与平面成角为，则，解得，故不存在这样的点.18.解：（I）由可得函数定义域为.，令，经验

8、证，因为，所以的判别式，由二次函数性质可得，1是函数的异号零点，所以是的异号零点，所以是函数的极值点.（n）已知，因为，又因为，所以，所以当时，在区间上，所以函数单调递减，所以有恒成立；当时，在区间上，所以函数单调递增，所以，所以不等式不能恒成立；所以时，有在区间恒成立.19.解：（I）由已知可知，又直线的斜率为1,所以直线的方程为，设，由解得所以中点，于是直线的斜率为.（n）假设存在直线，使得成立.当直线的斜率不存在时，的中点，所以，矛盾；故可设直线的方程为，联立椭圆的方程，得，设，则，于是，点的坐标为，.直线的方程为，联立椭圆的方程，得，设，则，由题知，即，化简，得，故，所以直线的方程为，.20.解：（i）,.（n）先证必要性：因为，又，成等差数列，故，所以；再证充分性：因为，为正整数数列，故有，所以，又，故（，），故，为等差数列.（田）先证明（，）.假设存在，且为最小的正整数.依题意，则一又因为，故当时，不能等于集合的任何一个子集所有元素的和.故假设不成立，即（,，）成立.因此，即，所以.因为，则，若时，则当时，集合中不可能存在若干不同元素的和为，故，