2019届高三数学复习--立体几何与空间向量--立体几何含答案

1、2019届高三数学复习-立体几何与空间向量-立体几何(含答案)第13讲立体几何1.2018?全国卷I如图M4-13-1所示，四边形ABC的正方形，E,F分别为AD,BC的中点，以DF为折痕把DFCW起，使点C到达电P的位置，且PF±BF.(1)证明：平面PEFL平面ABFD;(2)求DP与平面ABFD9f成角的正弦值.图M4-13-1试做2.2018?全国卷田如图M4-13-2所示，边长为2的正方形ABCDf在的平面与半圆弧所在平面垂直W是上异于C,D的点.(1)证明：平面AMD_平面BMC;当三棱锥M-ABC#积最大时，求面MABW面MC而成二面角的正弦值.图M4-13-2试做3.

2、2016?北京卷如图M4-13-3所示，在四棱锥P-ABCB，平面PADL平面ABCD,PAPD,PA=PD,ABAD,AB=1,AD=2,AC=CD=.(1)求证:PDL平面PAB.(2)求直线PB与平面PCDf成角的正弦值.(3)在棱PA±是否存在点M,使得BM/平面PCD?若存在，求的值；若不存在，说明理由.图M4-13-3试做命题角度立体几何大题求解策略利用法向量求解空间角的关键在于“四破"：(a)破“建系关”：建立恰当的空间直角坐标系.(b)破“求坐标关”：准确求解相关点的坐标.(c)破“求法向量关”：求出平面的法向量.(d)破“应用公式关”：熟记求角公式即可求出

3、角.求空间角应注意的3个问题：(a)两条异面直线所成的角不一定是两直线的方向向量的夹角(3,应该是cos%=|cosB|;(b)直线与平面所成的角的正弦值等于平面的法向量与直线方向向量夹角(3的余弦值的绝对值，即sin%=|cosB|;(c)两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，有可能为两法向量夹角的补角.平行与垂直问题的求证策略：(a)证明平行问题除结合平行关系的判定与性质定理之外，还需充分利用三角形的中位线、平行四边形等；(b)证明垂直问题，注意利用等腰三角形底边的中线与底边垂直、菱形的对角线互相垂直、勾股定理证明垂直等.解答1平行、垂直关系的证明1如图M4-13-4所示，在四棱锥P-

4、ABCM,PAL底面ABCD,ADBC,ADLCD,BC=2,AD=CD=1,龌PB的中点.图M4-13-4(1)求证：AM/平面PCD;求证：平面ACM_平面PAB.听课笔记【考场点拨】(1)利用几何法证明平行与垂直，关键是根据平行与垂直的判定定理及性质定理来确定有关的线与面，如果所给图形中不存在这样的线与面，可以连接或添加有关的线与面；(2)利用向量法证明平行与垂直，首先要合理建立空间直角坐标系，其次写出有关线的方向向量及求出有关平面的法向量，最后根据向量的性质进行论证.【自我检测】如图M4-13-5所示，在矩形ABC时,AB=2,BC=4,E为AD的中点,0为BE的中点.将ABE沿BE折

5、起到A'BE的位置，使得平面A'BEL平面BCDE(口图M4-13-5).(1)求证:A'OLCD.(2)在线段A'C上(包括端点)是否存在点P,使得0P/平面A'DE滞存在，求出的值；若不存在，请说明理由.图M4-13-5解答2利用空间向量求角的问题2如图M4-13-6所示，在4PBE中,AB，PE,D是AE的中点,C是线段BE上的一点，且AC=,AB=AP=AE=2现将PBA沿AB折起，使得二面角P-AB-E是直二面角(如图M4-13-6).(1)求证:CD/平面PAB;(2)求直线PE与平面PC皿成角的正弦值.图M4-13-6听课笔记3如图M4-1

6、3-7所示，在四棱锥P-ABCD，底面ABC时平行四边形,已知PA=AC=2/PADhDAC=60,CE±AD于点E.图M4-13-7(1)求证:AD,PC;(2)若平面PADL平面ABCD且AD=3,求二面角C-PD-A的余弦值.听课笔记【考场点拨】空间角求解常见失分点：(1)用向量法求出的异面直线所成角的余弦值必须为正;(2)若直线的方向向量l与平面的法向量n的夹角为。，则直线与平面的夹角=-0或0-,故有sin%=|cos0|=;(3)判断所求的二面角到底是锐角还是钝角时，要结合图形分析，以防结论错误.【自我检测】1.如图M4-13-8所示，在四棱锥P-ABCB,PAL平面AB

7、CDADAIBDCB,E为线段BD上的一点,且EB=ED=EC=BC,gCE并延长，交ADT点F.(1)若G为PD的中点，求证：平面PADL平面CGF;若BC=2,PA=3求平面BCPW平面DCPJf成锐二面角的余弦值.图M4-13-82.如图M4-13-9所示，在五边形ABCDE中,ED=EA,AB/CD,CD=2ABEDC=150,现将EAD沿AD翻折至UPAD勺位置，得到四棱锥P-ABCD如图M4-13-9所示，点M为线段PC的中点，且BML平面PCD.(1)求证：平面PADL平面ABCD;若直线PC与直线AB所成角的正切值为，求直线BM平面PD丽成角的正弦值.图M4-13-93.如图M

8、4-13-10所示，在四棱锥P-ABCD中,PA=PD=AD=2CD=2BC=2/ADCNBCD=90.(1)当PB=2时,证明：平面PADL平面ABCD;（2）当四棱锥P-ABCD勺体积为，且二面角P-AD-B为钝角时，求直线PA与平面PCDfiff成角的正弦值.图M4-13-10解答3利用空间向量解决探索性问题4如图M4-13-11，等边三角形ABC勺边长为3,点D,E分别为AB,AC上的点，且满足=,将ADE&DE折起到AIDE勺位置，使二面角A1-DE-B为直二面角（如图M4-13-11）.（1）求证:A1DL平面BCED.（2）在线段BC上（包括端点）是否存在点P,使直线PA

9、1与平面A1B皿成的角为60?若存在，求出PB的长；若不存在，请说明理由.图M4-13-11听课笔记【考场点拨】与空间向量有关的探究性问题主要有两类：一类是探究线面的位置关系；另一类是探究线面角或二面角满足特定要求时的存在性问题.处理原则是：先建立空间直角坐标系，引入参数（有些是题中已给出）,设出关键点的坐标，然后探究这样的点是否存在，或参数是否满足要求，从而作出判断.【自我检测】如图M4-13-12所示，在四棱锥P-ABCM,PAL平面ABCD,BCAD,ABLAD,且PA=AD=AB=2BC=2对AD的中点.（1）求证：平面PCM_平面PAD.（2）在棱PD上是否存在点Q,使PDL平面CM

10、Q?存在，求出二面角P-CM-Q的余弦值；若不存在，请说明理由.图M4-13-12第13讲立体几何典型真题研析1.解:(1)证明：由已知可得,BF，PF,BF，EF,所以BF,平面PEF.又BF?平面ABFD所以平面PEFL平面ABFD.(2)作PHLEF,垂足为H.由得,PHL平面ABFD.以H为坐标原点，的方向为y轴正方向,|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H-xyz.由(1)可得,DELPE.又DP=2,DE=1所以PE=.又PF=1,EF=2,故PEJ_PF,可得PH=,EH=,则H(0,0,0),P0,0,D-1,-,0,=1,=0,0,为平面ABFD勺法向量.设DP与平面AB

11、FDJf成的角为。，则sin0=,所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为.2.解:(1)证明：由题设知，平面CMD_平面ABCD,交线为CD.因为BCLCD,BC?平面ABCD所以BCL平面CMD故BCLDM.因为M为上异于C,D的点，且D8直径，所以DMLCM.又BCTCM=C,所以DML平面BMC.而DM?平面AMD故平面AMD_平面BMC.以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.当三棱锥M-ABC#积最大时，M为的中点.由题设得D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),M(0,1,1),=(-2,1,1),=(0,2,0)

12、,=(2,0,0).设n=(x,y,z)是平面MAB勺法向量，则即可取n=(1,0,2).是平面MCD勺法向量，因此cos<n,>=,sin<n,>=.所以面MABW面MC而成二面角的正弦值是.3.解:(1)证明：因为平面PADL平面ABCD,AB_AD,所以AB1平面PAD所以AB!PD.又因为PALPD所以PDL平面PAB.取AD的中点O,连接PO,CO.因为PA=PD所以POLAD.又因为PO平面PAD平面PADL平面ABCD,所以POL平面ABCD.因为CO平面ABCD所以POLCO.因为AC=CD以COLAD.如图建立空间直角坐标系O-xyz.由题意得,A(0

13、,1,0),B(1,1,0),C(2,0,0),D(0,-1,0),P(0,0,1).设平面PCD的法向量为n=(x,y,z),则即令z=2,则x=1,y=-2,所以n=(1,-2,2).又=(1,1,-1),所以cos<n,>=-,所以直线PB与平面PCDJf成角的正弦值为.(3)设M是棱PA上一点，则存在入60,1使得=入.因此点M(0,1-入，入),=(-1,-入，入).因为BM平面PCD所以BM/平面PCD当且仅当?n=0,即(-1,-入，入)？(1,-2,2)=0,解得入=.所以在棱PA上存在点M使得BM/平面PCD此时=.考点考法探究解答1例1证明：方法一(几何法):(

14、1)取CP的中点N,连接MN,DN,因为M为PB的中点，所以MIN/BC,且MN=BC又AD/BC,且AD=BC,所以MN=ADtMIN/AD,所以四边形AMND；平行四边形，所以AM/DN,又DN?平面PCD所以AM/平面PCD.(2)因为AD=CD=1,BC=2,ADBC,ADLCD所以AC=AB=,又BC=2所以CALAB.因为PAL底面ABCD所以PALAC,又PAHAB=A以ACL平面PAB,因为AC平面ACM所以平面ACML平面PAB.方法二(向量法):(1)以C为原点,CD,CB所在直线分别为x,y轴，建立空间直角坐标系C-xyz,如图所示.设PA=a(a>0),则A(1,

15、1,0),B(0,2,0),C(0,0,0),D(1,0,0),P(1,1,a),M,所以=(1,1,a),=(1,0,0).设平面PCD勺法向量为n1=(x0,y0,z0),则即令y0=a，则x0=0,z0=-1,所以n1=(0,a,-1),又=,所以？n1=-=0,所以AM/平面PCD.(2)由(1)知=(1,1,0),=,设平面ACM勺法向量为n2=(x1,y1,z1),则即令x1=1，则y1=-1,z1=,所以n2=.=(0,0,a),=(-1,1,0),设平面PAB的法向量为n3=(x2,y2,z2),贝U即令x2=1，则y2=1,z2=0,所以n3=(1,1,0).因为n2?n3=

16、0，所以平面ACML平面PAB.【自我检测】解:(1)证明：.AB=2,BC=4,E为AD的中点，48=人£=2,又()为BE的中点，BE.由题意可知,A'OLBE,.平面A'BEL平面BCDE,平面A'BEA平面BCDE=BE,A'O¥面A'BE,/.A'O±¥面BCDE,又CD平面BCDE,.-.A'O±CD.(2)方法一：取BC的中点为F,连接OF,易知O口BE.由(1)可知,A'O，BE,A'O,OF,以O为原点,OA'所在直线为z轴,OF所在直线为x轴,O

17、E所在直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A'(0,0,),E(0,0),D(,2,0),C(2,0).假设在线段A'C上存在点P,使得OP/平面A'DE,设=入(0W入W1),则由=(2,-),得=(2入，入，-入)，.PQ入，入，-入)，.=(2入，入，-入).=(0,-),=(,0),设平面A'DE的法向量为m=(x,y,z),则即令y=1,则x=-1,z=1,-5=(-1,1,1).若OP/平面A'DE,则m?=0,/.-2入+入+-入=0,解得入=,.二.方法二:取CD的中点M,A'C的中点N,连接OM,ON,MNB证OIWDE

18、,MN/A'D,又OMPMN=M,DEA'D=D,.平面OMN平面A'DE.ON?平面OMNJ.OM平面A'DE,即P与N重合时,满足题意，.二=.解答2例2解:(1)证明：因为AE=2,所以AE=4,又AB=2,ABLAE,所以BE=2.因为AC=BE,所以AC是RtzABE的斜边BE上的中线，所以C是BE的中点，又CDMABE勺中位线，所以CD/AB.因为CD平面PAB,AB平面PAB所以CD/平面PAB.(2)由题意可知AB,AE,AP两两垂直,以A为原点,AB,AE,AP所在直线分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.因为AB=AP=AE=21

19、C,D分别是BE,AE的中点，所以AE=4,AD=2,则E(0,4,0),C(1,2,0),P(0,0,2),D(0,2,0),所以二(0,4,-2),二(1,2,-2),=(-1,0,0).设平面PCD勺法向量为n=(x',y',z'),则即令y'=1,则x'=0,z'=1,所以n=(0,1,1).设直线PE与平面PCDJf成角的大小为。，则sin0=.例3解:(1)证明：连接PE.PA=AC/PADhCAD,AE是公共边，.PA9CAE,/PEANCEA.CELAD,：PE!AD,又PEACE=E,.ADL平面PCE,PC平面PCE,/.AD

20、LPC.(2)ADL平面PEC平面PADL平面ABCD,EP,EA,EC两两垂直，以E为原点，EA,EC,EP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图所示.vPA=AC=2ZPADyCAD=60,AD=3,.AE=1,PE=CE=，DE=2,贝UE(0,0,0),D(-2,0,0),C(0,0),P(0,0,),二(2,0,),=(2,0).设平面PCD勺法向量为n=(x,y,z),则即令x=-,则y=2,z=2,/.n=(-,2,2).易知平面PAD勺一个法向量为=(0,0).设二面角C-PD-A的平面角为0,则|cos0|=,显然二面角C-PD-A的平面角是锐角，故二面角C-PD

21、-A的余弦值为.【自我检测】1.解:(1)证明：在ABCD+,EB=ED二EC=BC,/BCD=，/CBEWCEB=,:DABDCBJEA单ECB从而有/FEDhBECWAEB=,EC=EA,./FEDhFEA,ED=EAEF±AD,AF=FD又PG=GD；.FG/PA.PAL平面ABCD,.GFL平面ABCD/.GFLAD,又GFHEF二F,故ADL平面CFG.AD平面PAD,：平面PADL平面CGF.(2)由知/EABhECB=，/DEFhFEA二,AE=ED,：/EAF二，.BAF=,即BALAF.以点A为坐标原点，AB,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直

22、角坐标系，则A(0,0,0),B(2,0,0),C(3,0),D(0,2,0),P(0,0,3),故=(1,0),=(-3,-,3),=(-3,0).设平面BCP的法向量为n1=(x1,y1,z1),则即令x1=1，则y1=-,z1=,/.n1=.设平面DCP勺法向量为n2=(x2,y2,z2),则即令x2=1，贝Uy2=,z2=2,.n2=(1,2).设平面BCPW平面DCFW成的锐二面角为。，则cos0=.2.解:(1)证明：取PD的中点N,连接AN,MN贝UMN/CD且MN=CD.AB/CD且AB=CD/.MINZAB,且MN=AB,U四边形ABMNl平行四边形，.AN/BM,又BML平

23、面PCD,.ANL平面PCDJANLPD,ANLCD.由ED=EA,PPD=PA且N为PD的中点,AN±PD,可得PAD为等边三角形，./PDA=60,又/EDC=150,./CDA=90,即CD±AD.AmAN=A,.CDL平面PAD又CD平面ABCD,平面PADL平面ABCD.(2)AB/CD,：/PCD为直线PC与AB所成的角，由(1)可得/PDC=90，.二tan/PCD=,.CD=2PD.设PD=1则CD=2,PA=AD=AB=1取AD的中点O,连接PO,过O作AB的平行线,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,则D,B,P,M,则=(1,1,0),=,=.设n

24、=(x,y,z)为平面PBD勺法向量，则即令x=3,则y=-3,z=-，.=n=(3,-3,-),贝Ucos<n,>=",故直线BMW平面PD而成角的正弦值为.3.解:(1)证明：如图所示，取AD的中点O,连接PO,OB.PA=PD,.POLAD./ADC=BCD=90,.BC/AD,又BC=AD=1JBC=OD,.四边形BCD为矢!形，OB=CD=1fczPOB中,PO=,OB=1,PB=2,POB=90，则POLOB.ADHOB=OjPOL平面ABCD又PO平面PAD,.平面PADL平面ABCD.(2)由(1)知ADLPO,ADLBO,POHOB=O.ADL平面POB

25、又AD平面ABCD，二平面POBL平面ABCDS点P作PE1平面ABCD则垂足E一定落在平面POBW平面ABCD勺交线OB±.四棱锥P-ABCD勺体积为，.二XPEXX(AD+BC*CD=XPEXX(2+1)X1=PE=,/.PE=.PO=,OE=.以O为坐标原点,OA,OB所在直线分别为x,y轴，在平面PO时过点O作垂直于平面AOB勺直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.由题意可知A(1,0,0),P,D(-1,0,0),C(-1,1,0),则=,=(0,1,0),=.设平面PCD勺法向量为n=(x,y,z),则即令x=1，则y=0,z=-,.n=.设直线PA与平面P

26、CDff成的角为。，则sin0=,故直线PA与平面PCDff成角的正弦值为.解答3例4解:(1)证明:因为等边三角形ABC的边长为3,且=,所以AD=1,AE=2.ftAADE中，/DAE=60,由余弦定理得DE=.因为AD2+DE2=AE2所以ADLDE,故折叠后有A1DLDE.因为二面角A1-DE-B是直二面角，所以平面A1DEL平面BCED,又平面A1D由平面BCED=DE,A10F面A1DE,A1D_DE,所以A1DL平面BCED.(2)由(1)知EDLDB,A1DL平面BCED.以D为坐标原点，DB,DE,DA1所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系D-xyz,如图所示，设PB

27、=2a(K2a<3),过点P作PH_BD于H,则PH=a,DH=2-a,所以A1(0,0,1),P(2-a,a,0),E(0,0),所以=(a-2,-a,1),易知平面A1BD勺一个法向量为二(0,0).若直线PA1与平面A1B皿成的角为60,则sin60=,解得a=，则PB=2a=，满足0<2a<3,符合题意.故在线段BC上存在点P,使直线PA1与平面A1B丽成的角为60°,此时PB二.【自我检测】解:(1)证明：以A为原点,AB,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,1,0),D(0,2,

28、0),P(0,0,2),故=(0,2,0),=(0,0,2),M为AD的中点，.M(0,1,0),=(2,0,0).?=0,?=0,CMLPA,CMLAD,又PA平面PAD,AD?平面PAD且PAHAD=A,.CML平面PAD.CM平面PCM,.平面PCM_平面PAD.(2)过点M作MQ_PD于点Q,由(1)知CML平面PAD,PD平面PAD/.CMLPD,又MGTCM=M；.PDL平面CMQ.设平面PCM勺法向量为n=(x,y,z),则即令y=2,则x=0,z=1,.川二(0,2,1).PDL平面CMQ,：=(0,2,-2)是平面CMQ勺一个法向量.设二面角P-CM-Q勺平面角为0,易知其为

29、锐角，.cos0=,故二面角P-CM-Q勺余弦值为.备选理由例1是以四棱柱为载体来考查线面垂直的证明与求二面角的问题,本题的关键是完成第(1)问的证明，需要充分利用平面几何的性质；例2的关键是第问依据线面角求棱的长度；例3为不规则几何体，是涉及平行、二面角、线线垂直的探究性命题，需要合理建立空间直角坐标系，利用空间向量求解.例1配例3使用如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1底面ABC匿正方形，0为AC和BD的交点，且AB=AA1=2/A1ABNA1AD=60.(1)求证:A10L平面ABCD;(2)求二面角C1-BD-C的余弦值.解:(1)证明：连接A1B,A1D,由题意知ABA1AADA1

30、均是边长为2的等边三角形，所以A1B=A1D=2,f以AB乎AA1BD.因为底面ABC奥正方形，所以AC与BD相互垂直且平分，所以A1OLBD,且A1O=AO=,因为A1O2+AO2=4=A1A2f以A1OLAO,又ASBD=O,AO,BDf面ABCD所以A1OL平面ABCD.(2)连接A1C1,OC1由(1)可知BDL平面ACC1A1所以BDLOC,BDLOC1,所以/C1OC;二面角C1-BD-C的平面角，易知/C1OC1锐角.以。为原点,OA,OB,OA1所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则O(0,0,0),C(-,0,0),A1(0,0,),A(,0,0),所以=

31、(-,0,0),二(-2,0,),所以cos/C1OC=cos<,>=.故二面角C1-BD-C的余弦值为.例2配例3使用如图所示，四棱柱ABCD-A1B1C1闻底面为菱形，/BAD=120,AB=2,E,F分别为CD,AA1的中点.(1)求证:DF/平面B1AE;(2)若AA化底面ABCD且直线AD1与平面B1A昕成角的正弦值为，求AA1的长.解:(1)证明：设G为AB1的中点，连接EG,GF,因为FGA1B1,DEA1B1所以FGDE,所以四边形DEG匿平行四边形，所以DF/EG,又DF?平面B1AE,EG平面B1AE,所以DF/平面B1AE.连接AC,因为四边形ABC虚菱形，且/ABC=60,所以ABC是等边三角形，取BC的中点Q,则AQLAD,因为AA1L平面ABCD,所以AA1XAQ,AAUAD.以A为原点,AQ,AD,AA1所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AA1=t(t>0),=(,-1,t),=(0,2,t).令y=t,贝Ux=-t,z=4,成的角为0,则s