1992考研数四真题及解析

1、1992年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分.)设ft;=limtixtx<x-t(2)设商品的需求函数为Q=1005P，其中Q,P分别表示需求量和价格,如果商品需求弹性的绝对值大于1,则商品价格的取值范围是.已知f(x)=sinx,fy(x)j=1x2,则中(x)=的定义域为.1111(4),1111,矩阵A=的非零特征值是.1111=1111设对于事件A、1一B、C,有PA=PB=PC=,P(AB)=P(BC)=0,4一11P(AC)=-，则A、B、C三个事件中至少出现一个的概率为二、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分.在每小

2、题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内.)、x2x设F(x)=f(t)dt,其中f(x)为连续函数，则limF(x)等于()x-aax田(A)a2(B)a2f(a)(C)0(D)不存在(2)当xT0时，下面四个无穷小量中，哪一个是比其他三个更高阶的无穷小量？()2(A)x(B)1-COSx(C).1-x2-1(D)x-sinx1(3)设A,B,A+B,A,+B”均为n阶可逆矩阵，则(A,十B，)等于()1 _1(A)AB(B)AB11(C)AABB(D)AB(4)设,口2,III,1Mm均为n维列向量，那么，下列结论正确的是()(A)若k1%+k2ct2

3、+IM+km%=0,则,%”,%线性相关(B)若对任意一组不全为零的数k1,k2,|11km，都有k稗1+k2a2+|+kmum#0,则Cti,Ct2,|H,Ctm线性无关(C)若巴,0(2HBm线性相关，则对任意一组不全为零的数k1,k2,|11km都有kl-1k2>2IN-km-m=。(D)若0%+0%+愕+%=0,贝U%,0(2,1119m线性无关(5)设当事件A与B同时发生时，事件C必发生，则()(A)P(C)=P(AB)(B)P(C)=P(A|JB)(C)P(C)<P(A)P(B)-1(D)P(C)_P(A)P(B)-1Incosx-1求极限limx-1三、（本题满分5分

4、）x1 -sin2四、（本题满分5分）arctanex.计算I=dx.xe五、（本题满分5分）1求连续函数f(x),使它满足八f(tx)dt=f(x)+xsinx.六、（本题满分6分）.2设2=5丫）+中（xU）,求上（其中函数中（U,V）具有二阶偏导数）.y二x：y七、（本题满分6分）设生产某产品的固定成本为10,而当产量为x时的边际成本函数为MC=4020x+3x2，边际收入函数为MR=32+10x.试求：（1）总利润函数；2 2）使总利润最大的产量.八、（本题满分6分）求证：方程x十p十qcosx=0恰有一个实根,其中p,q为常数，且0<q<1.九、(本题满分8分)1给定曲线

5、y=-12.x(1)求曲线在横坐标为X0的点处的切线方程；(2)求曲线的切线被两坐标轴所截线段的最短长度十、(本题满分5分)101设矩阵A=020,矩阵X满足AX+E=A2+X.其中E为三阶单位矩阵，试求：101_出矩阵X.十一、(本题满分5分)设线性方程组X12X2-2x3=0,2x1-X21x3=0,34x2_x3=0的系数矩阵为A,三阶矩阵8。0,且人8=0.试求九的值.十二、(本题满分6分)已知实矩阵A=(aj)3>3满足条件：(1)aj=Aj(i,j=1,2,3)，其中Aj是a。的代数余子式;an：。.计算行列式A.十三、(本题满分7分)假设测量的随机误差XLN(0,102),

6、试求100次独立重复测量中，至少有三次测量误差的绝对值大于19.6的概率a，并利用泊松分布求出a的近似值(要求小数点后取两位有效数字).附表九1234567e0.3680.1350.0500.0180.0070.0020.001十四、(本题满分7分)一台设备由三大部分构成,在设备运转中各部件需要调整的概率相应为0.10,0.20,和0.30.假设各部件的状态相互独立,以X表示同时需要调整的部件数,试求X的概率分布、数学期望E(X)和方差D(X).1992年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题解析一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分.)【答案】e2t(2t+1)一，.一，一1vx_1

7、2tx2tIT-XI2t=tlim11=te,x：二x-t【解析】此题考查重要极限：lim(1-)x=e.,o一一，、,一，x+tX将函数式变形，有f(t)=limtIx:x-t故ft)；=e2t2t1.【相关知识点】两函数乘积的求导公式If(x)g(x)l=f(x)g(x)f(x)g(x).(2)【答案】(10,20【解析】根据Q(P)=1005P之0,得价格PM20,又由Q=1005P得Q'(P)=5,按照经济学需求弹性的定义，有Q(P)5P；=P-=-,Q(P)100-5P“5P5P-令工=5=5>1,解得P>10.100-5P100-5P所以商品价格的取值范围是(1

8、0,20.【答案】干(x)=arcsin(1x2),0,72I【解析】本题主要是要弄清楚反函数和原函数的定义域、值域之间的关系由于f(x)=sinx的反函数arcsinx的定义域为一1,1，而9(x)=arcsin(1x2),故x应满足-1&-x2£1,解此不等式即得xw0,五.因此，5(x)的定义域为一0,四.(4)【答案】4【解析】对矩阵二、三、四行都加到第一行上,注意到各列和相等，所以将第A的特征多项式进行行列式的等价变换，有,一1入EA=-11九一44-4九一4将第一行的公因式(九-4)提出到行列式外面，有1111-1人一1-1-1KE-A=(九一4、_11九_11-

9、1-1-1九一11100九00九=一43.再将第一行分别加到第二、三、四行上，有0九EE-A=(九一4'/000令九E-A=0,得矩阵A的特征值：%=4,九2=%=%=0.故矩阵A的非零特征值为4.【相关知识点】矩阵特征值与特征向量的定义：设A是n阶矩阵，若存在数九及非零的n维列向量X使得AX=XX成立，则称九是矩阵A的特征值，称非零向量X是矩阵A的特征向量.5【答案】58【解析】因ABCcAB,而P(AB)=0,故P(ABC)=0.由概率的广义加法公式:PAjBlJC=PApbpC-PAB-PBC-PACPABC111c=一一.0444二、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分

10、.)【答案】(B)【解析】方法1:limF(x)为xa0，,0型的极限未定式，又分子分母在点0处导数都存在，所以可应用洛必达法则limF(x)=limxrax7ax-axaf(t)dta=a2limx旧xf(t)dtax-a=limx旧a2f(x)=a2f(a).故应选(B).x22dt-2a.a方法2:特殊值法.取f(x)=2，则limF(x)=limx旧xa显然(A),(C),(D)均不正确，故选(B).【相关知识点】对积分上限的函数的求导公式:Xt).若F(t)=需f(x)dx,a(t),P(t)均一阶可导，则F(t)，f(t)(t)fI：(t)l.(2)【答案】(D)12/21221.

11、2【斛析】由于xt0时，1cosx1-x,J1x1一x,故x,1cosx,J1x122是同阶无穷小.故应选(D).事实上，由洛必达法则，limxs'nx为“0”型的极限未定式X0x30，又分子分母在点0处导数都存在，所以连续应用两次洛必达法则，有x-sinxlimz-=limxQxx01一cosx13x26可知,当xt0时，xsinx是x的三阶无穷小量.【相关知识点】无穷小的比较：设在同一个极限过程中，Ct(x),P(x)为无穷小且存在极限limx>Xq:(x)(x)=l,(1)若l=0,称«(x),P(x)在该极限过程中为同阶无穷小;(2)若l=1,称a(x),F(x

12、)在该极限过程中为等价无穷小，记为o(x)L|P(x)；若l=0，称在该极限过程中a(x)是B(x)的高阶无穷小，记为a(x)=O(P(x).若lim器x)不存在(不为°°),称覆(x),P(x)不可比较.X附-(x)【答案】(C)【解析】因为A,B,A+B都可逆，由可逆矩阵的定义，有B,B=E,AA,=E,A4B4-iEA4BJE,二：B4BA'B，AA'=B，ABA.由逆矩阵运算的性质(AB)=B,A、所以有(ABC广=C/B/A，.111_1_ABAABBAABB.故本题选(C)注：一般情况下，(A+B)“#A+B,，不要与转置的性质(A+B=AT+B

13、T相混淆.(4)【答案】(B)【解析】选项(A)没有指明k1,k2,lll,km不全为o，故(A)不正确.选项(C)要求任意一组不全为o的数，这只能叫(i=1,|"m)全是零向量，不是线性相关定义所要求的.对任意一组向量ct1,a2,|,0tm,0a1+0a2十|1|十0am=0恒成立而a1,ct24111am是否线性相关？就是问除去上述情况外,是否还能找到不全为0的一组数k1,k24|,km,仍能使kl%+k2«2+HI+kmUm=0成立.若能则线性相关,若不能即只要匕水2,山，km不全为0必有k/Xi+k2«2+|+km"m"0.可见(B)

14、是线性无关的定义.而(D)没有指明仅当ki=0卜2=0,|,km=0时，ki%+k#2+111+kmBm=0成立.故(D)不正确.所以应选(B).【相关知识点】向量组线性相关的定义：对任意一组不全为零的数ki,k2,lll,km,使ki%+k2c(2+HI+km%#0,则称%,%用户m线性无关.【答案】(D)【解析】依题意：由“当事件A与B同时发生时，事彳C必发生”得出ABcC,故P(AB)WP(C);由概率的广义加法公式P(AUB)=P(A)+P(B)P(AB)推出P(AB)=P(A)+P(B)P(AUB)；又由概率的性质P(AljB)M1,我们得出P(C)-P(AB):P(A)P(B)-P

15、(aUb)-P(A)P(B)-1,因此应选(D).三、(本题满分5分)【解析】方法1：利用洛必达法则求极限limf(x)，因为limf(x)为“0”型的极限未定式xiX10sin(x-1)cos(x-1).只xcos222tan(x-1)=lim二Xylxcos2JI又分子分母在点0处导数都存在，所以连续应用两次洛必达法则，有Incos(x-i)limf(x)=lim=limx1x1:xx11-sin2-lim-二x-1cos2(xT)一二x二-sin221o一方法2：利用变重代换与等价无否小代换，xt0时，cosx-1U-x2；ln(1+x)Ux.求极限limf(x),令x-1=t,则有li

16、mf(x)=limx1x1lncos(x-1)x1-sin2=limt：0Incost1.cosM2=limt>0ln1(cost-1)1-co32cost-1二lim2-二limt)01二22t0t242424t28四、(本题满分5分)【解析】方法1:用分部积分法，有I=-arctanexde"=-e'arctanex-X2x-e/arctanex-(1-e2x)dx1e其中C为任意常数.=-e"arctanexx-；ln(1e2x)C.x1万法2：换兀法，令e=t，则x=lnt,dx=jdt,再分部积分，有,arctant1I=2dt-arctantd-t

17、2tdt1-arctanttt1t2arctant十tdt2dtarctant,1.,2lnt-ln1t2t2xx=-earctanex-jn(1e2x)C.2x其中C为任意常数.,如果选择不当可能引起更繁杂的计,积累经验.注：分部积分法的关键是要选好谁先进入积分号的问题算，最后甚至算不出结果来.在做题的时候应该好好总结【相关知识点】假定u=u(x)与v=v(x)均具有连续的导函数，则Juvdx=uv-ju'vdx,或者judv=uv-Jvdu.五、(本题满分5分)【解析】本题实质上是个积分方程，这类问题一般都是两边对x求导化为微分方程求解，而1If(tx)dt对x求导时，应先通过变量

18、代换tx=u将被积函数中的x换到积分限上来.令tx=u,t=0时，有u=0;t=1时，有u=x,且xdt=du,则11x0ftxdt=fudu,xu1xx从而有一(f(u)du=f(x)+xsinx,即Jf(u)du=xf(x)x2xsinx,两边求导得2fx=fx)-xfx2xsinxxcosx.贝Ufx=-2sinxxcosx.积分得fx-2sinxxcosxdx=2cosx-xdsinx=2cosxxsinx+Jsinxdx(分部积分法)=cosxxsinx+C.其中C为任意常数.六、(本题满分6分)【解析】这是带抽象函数记号的复合函数的二阶混合偏导数,重要的是要分清函数是如何复合的.由

19、于混合偏导数在连续条件下与求导次序无关，所以本题可以先求三，再求上(三).:xFy;x1.由受合函数求导法，首先求zx,由题设zx=ycos(xy)十91+92,y再对y求偏导数，即得zxy1.=cos(xy)-xysin(xy)(力丫一(二)y-y11(p*22y:cos(xy)-xysin(xy)121122y<yjy122y=cos(xy)-xysin(xy)-3:一吟2一yy【相关知识点】多元复合函数求导法则：如果函数u=W(x,y),v=<(x,y)都在点(x,y)具有对x及对y的偏导数,函数z=f(u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数,则复合函数z=f(5(x,y)

20、N(x,y)在点(x,y)的两个偏导数存在,且有furz二z二u二z二v工-二flx.ux.vx-z二z二utz:v'u'v一二-二f1一f2-y二u二y二v二y二yty七、(本题满分6分)【解析】(1)因为边际成本函数是可变成本的微分，而总成本=固定成本十可变成本.则总成本函数x2223C=10，II.40-20t3t2dt=1040x-10x2x3,边际收入函数是总收入函数的微分，所以总收入函数x2R=(32+10t)dt=32x+5x,总利润=总收入总成本，所以，总利润函数22323二-R-C=32x5x)10-40x-10xx-1072x15x-x.(2)由经济学含义M

21、C=MR时，可使得总利润最大.由MC=MR知-4020x+3x2=32+10x,3x230x72=0,于是得到驻点x1=12,x2=2(舍去).由于n'=72+30x3x2,n”=306x1'x42父0,即几在(0,襁)内只有一个极大值点，可见，当产量为12时，总利润最大.注：本题的重点是利用变限定积分求出总成本函数与总收入函数，从而求得总利润函数.八、(本题满分6分)【解析】本题主要考查方程根的问题，方程根的问题一般可分为两个具体问题：一个是根的存在性问题，另一个是根的个数问题.令f(x)=x+p+qcosx,由于limfx=limxpqcosx=5则存在ba0,使f(b)&

22、gt;0.又Jimfx=Jim_xpqcosx-：,则存在a<0,使f(a)<0.由于f(x)=x+p+qcosx在Ia,b】上连续，由介值定理可知f(x)=0在(a,b)内至少有实根.而f'(x)=1qcosxa0,f(x/实数域上单调递增，故f(x)在(*,收)内最多有一个实根.综上所述，x+p+qcosx=0恰有一个实根.【相关知识点】关于根的存在性问题常用的是两种方法：一种是利用连续函数介值定理；另一种是利用罗尔中值定理.关于根的个数问题常用的也是两种方法：一种是利用函数的单调性；另一种是利用罗尔中值定理的推论：“若在（a,b）内f（x）#0,则方程f（x）=0在（

23、a,b）内最多有n个实根.”九、（本题满分8分）【解析】（1）过曲线上已知点（,y0）的切线方程为yy0=k（x%）,其中当yt%）存在时，k=y(xo).,.21由y=-3可知，曲线y=2"在横坐标为x0的点处的切线方程为xx12y2=-3xx0.x0x。（2）由（1）中所求切线方程不难求得该切线在,，一33x轴和y轴上的截距分别为X=士x0,Y=:.2x0设该切线被两个坐标轴所截线段长度为L.2.22因为L>0,而L>0,所以函数L和L应该在同一点取得极值，讨论函数L比较方便.222L=XY人dL2936令=x0一)=0,得驻点x0=±d2.dx02x22d

24、2L2=9180dx22x6显然dx(20,x=2由此可知L2在x=±J5处取极小值，即最小值.Lm.=27,Lmin='J3.42十、（本题满分5分）【解析】由AX+E=A2+X,移项有AXX=A2E,因式分解即A-EXfAeAE.0由A-E=010110,知A-E|。0,由矩阵可逆的判定定理，行列式不为0,则矩阵满秩00有A-E可逆.201故X=A+E=030102十一、(本题满分5分)【解析】对于条件AB=0应当有两个思路：一是B的列向量是齐次方程组Ax=0的解；另一个是秩的信息即r(A)+r(B)<n.要有这两种思考问题的意识.12-2'方法1：令A=2

25、-1Z,对3阶矩阵A,由AB=0,B#0知必有A=0,否则A可逆,R1-1；11从而B=A(AB)=A0=0，这与B#0矛盾.故12-2A=21九=0,31-1用行列式的等价变换，将第三列加到第二列上，再按第二列展开，有10-2A=2九一1九=5(九一1)=0.30-1解出=1.方法2：因为B#0,故B中至少有一个非零列向量.依题意，所给齐次方程组Ax=0有非零解，得系数矩阵的列向量组线性相关，于是12-2A=2-1九=0,31-1以下同方法一.【相关知识点】对齐次线性方程组Ax=0,有定理如下：对矩阵A按列分块，有A=(%92Hlpn)，则Ax=0的向量形式为一11-x2：-2-HI-*0=

26、n=0.那么，Ax=0有非零解ua192Ml9n线性相关=r二1,二2,山，:二n二rA:n.对矩阵B按列分块，记B=(B1121P3),那么AB=A(J；2)=(AA2,Ay)=(0,0,0)因而A=0i=(1,2,3)，即由是Ax=0的解.十二、(本题满分6分)【解析】因为本题矩阵为抽象矩阵，条件中涉及代数余子式，所以考虑将行列式按某一行或者某一列展开.a11a12a13AI1A12A13T因为aj=Aj(i,j=1,2,3),即A=a21a22a23A21A22A23一*1=(A)a31a32a331A31A32A33亦即AT=A*.由逆矩阵的计算公式AA*=|AE,故AAT=AE.两边

27、取行列式，得A2TA'ATkllAE.因为A为三阶行列式，所以A2=|AE=A3,从而A(A-1)=0，得A=1或A=0.由于an#0,对A按第1行展开，有2=anAd,a2A2,a13A3=a11故必有A=1.【相关知识点】将行列式对任一行按下式展开，其值相等，即nD=aiAi1ai2A2IHainAn=a。Aji=1,2,1H,n,j1其中Aj=(-1)小Mj,Mj是D中去掉第i行第j列全部元素后按原顺序排列成的n-1阶行列式，它称为aij的余子式，Aj称为诩的代数余子式.十三、(本题满分7分)【解析】设事件A=“每次测量中测量误差的绝对值大于19.6"，因为X|_N(0

28、,102)，即EX=N=0,DX+=102.根据正态分布的性质则有：c/a、1“X-N19.6-叮p=P(A)=PtX>19.6)=Pj>1工|X-0|19.6-0f1|X|=P!=P1.961010I!10X.,=1P_1.96_1.96=1-玲(1.96)：，(1.96)10二1一：，(1.96)-(1一中(1.96)=2-2中(1.96)=2(1-：，(1.96)=0.05.设Y为100次独立重复测量中事件A出现的次数，则Y服从参数为n=100,p=0.05的二项分布.根据二项分布的定义，pY=k=C：pk(1p)n(k=0,12|)，则至少有三次测量误差的绝对值大于19.6

29、的概率a为：二=PY_3=1-PY:二3=1-PY=0-PY=1-PY=2=1-01000.050(1-0.05)100-011000.051(1-0.05)100J-012)00.052(1-0.05)100-=1-0.9510°-1000.95990.05-100990.95980.052.2根据泊松定理，对于成功率为p的n重伯努利试验，只要独立重复试验的次数n充分大，而p相当小(一般要求n>100,p<0.1),则其成功次数可以认为近似服从参数为的泊松分布，具体应用模式为若YB(n,p),则当n充分大，p相当小时当丫近似服从参数为九=np.k的泊松分布，即py=k=C：pk(1p)n"七3pLe"p(k=0,1211).k!设丫为100次独立重复测量中事件A出现的次数，则丫服从参数为n=100,p=0.05的二项分布.故一一PY-3-1-PY:3-1-PY=0-PY=1-PY=2012.2()a()J()1eee=1-e-e-e0!1!2!2§52=1-e(1