外接球问题典型例题

1、在三棱柱ABC ABQ中，已知AA 平面ABC, AA 2,BC 2賦BAC ,此三棱2柱各个顶点都在一个球面上，则球的体积为（）A. 323B . I6C . 25D. 3i32【知识点】线面垂直的性质；球内接多面体；球体积的公式【答案解析】A解析：解：直三棱 ABC ABQ的各顶点都在同一球面上，（如图）， VABC中，？BAC P ,下底面 VABC的外心P为BC的中点，2同理，可得上底面VAiBiCi的外心Q为BiCi的中点，连接PQ，贝V PQ与侧棱平行，所以PQ丄平面ABC再取PQ中点0,可得：点0到A,B,C,A,B,Ci的距离相等， 0点是三棱柱 ABC AEG外接球的球心 R

2、TVPOB 中,bp Jbc = 73，21PQ 二一AAi =1 ,2 OB = . BP2 + PO2 =2，即外接球半径因此，三棱柱ABC ABQ外接球的球的体积为:V 二即 R3 = fp23 = 3；P故选：A.【思路点拨】根据题意并结合空间线面垂直的性质,可得三棱柱 ABC AEG外接球的球心是上下底面斜边中点的连线段PQ的中点.在直角 RTVPOB中，利用勾股定理算出OB的长，即得外接球半径R的大小，再用球的体积公式即可算出所求外接球的体积.四面体 ABCD中，已知 AB=CD=29，AC=BD=34, AD=BC= 37，贝V四面体 ABCD勺外接球的表面积（）A. 25? B

3、 . 45? C . 50? D . 100?【知识点】几何体的外接球的表面积的求法；割补法的应用ABCD 的四个【答案解析】C解析：解：由题意可采用割补法，考虑到四面体面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以29, 34, 37为三边的三角形作为底面，且以分别x， y， z长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、咼分别为x，y，z 的长方体，并且x2+y2=29，x2+z2=34，y2+z2=37，则有（2R） 2=x2+y2+z2=50 （ R为球的半径），得R225，所以球的表面积为S=4 n R2=50 n .故选：C.【思路点拨】将四面体补成长方体，通过求解长方体的对角

4、线就是球的直径, 然后求解外接球的表面积.已知正四面体的棱长为 2，则它的外接球的表面积的值为 【知识点】球内接多面体.【答案解析】3p解析：解：正 四面体扩展为正方体，它们 的外接球是同一个正方体的对角线长就是球的直径，正方体的棱长为:1;对角线长为：.3，棱长为.2的正四面体的外接球半径为2所以外接球的表面积为【思路点拨】正四面体扩展为正方体，它们的外接球是同一个球，正方体的对角线长就是球的直径，求出直径即可求出外接球半径，可求外接球的表面积.已知正三棱锥P ABC点P，A，B, C都在半径为J3的求面上，若PA PB, PC两两互相垂直，则球心到截面 ABC的距离为【答案】3【点评】本题

5、主要考查组合体的位置关系、抽象概括能力、空间想象能力、运算求 解能力以及转化思想，该题灵活性较强，难度较大。该题若直接利用三棱锥来考虑不宜入手，注意到条件中的垂直关系，把三棱将 其 沿 对 角 线折 成 四 面 体使平面的顶点在同一个球面上，则该球的体积为中，1.A 根 据 题 意 ， 如 图 ， 可 知，在又因为平面所 以 球 心 就 是, 所以球的体积为：正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为（)A81B . 16 C . 9D . 2744【答案】A【解析】设球的半径为 R,则棱锥的高为4,底面边长为2,R二（4- R） 2+ （呵 2,.r*球的

6、表面积为4n ?（点）2晋1 .故选：A一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，俯视图是一个等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为 【知识点】几何体的三视图的应用、球的表面积【答案解析】 旦解析：解：由三视图知：几何体是三棱锥，且几何体的侧面SAC3与底面垂直，高SO为.3，如图：其中OA=OB=OC=1SOL平面 ABC其外接球的球心在 SO上，设球心为 M OM=x则.厂X2x，得x= 3，.外接球的半径 R=2：3，.几何体的外接球的表面积33S=4 nX 4二丄.33【思路点拨】由三视图解决几何问题，关键是准确的判断出原几何体的基本形状特征；再求几何体的外接球的表面

7、积与体积时，能直接确定圆心位置的可通过圆心位置求球的半径，若圆心位置难以确定可考虑用补形法转化为正方体或长方体外接球问题如图，三棱锥P ABC中，ABC 90，它的三视图如下，求该棱锥的（I）全面积；（U）内切球体积；（川）外接球表面积.【答案解析】（1）48 12. 2 ; (2)36(4, 2)3343_2894解析：解：（1）由三视图可知此三棱锥是：底面是腰长为6的等腰直角三角形ABC,顶点P在底面上射影是底面直角三角形斜边中点E,且高为4的三棱锥侧面PAB PAC勺高都是5,底面斜边长 6、2，所以全面积为：1 116 6 26 56、24 48 12.2:2 22(2)设内切球球心O

8、,半径r，则由VpABCVoABCVoPABVoPACVopbc得r，解得r=11116 6 448 12、23 23 2所以内切球体积为288 43432894（3）设外接球球心M,半径R,M在高PE所在直线上，因为4<3 2,所以R 4 2 2 R2,解得R7，所以外接球表面积为4【思路点拨】（1）三视图的定义正确读取三棱锥 P ABC中的位置关系和数量关系, 从而求得三棱锥的全面积（ 2）内切球球心与三棱锥各顶点连线，把原三棱锥分割 成四个小三棱锥，利用等体积法求内切球半径。（3）分析外切球球心位置，利用已知的数量，求外切圆半径。三棱锥A BCD的外接球为球，球 0的直径是AD，且

9、 ABC, BCD都是边长为1的等C12 8【知识点】棱锥的体积【答案解析】A解析：因为截面BOC与直径AD垂直，而B0二CO送，所以三角形BOC2为等腰直角三角形，其面积为-，而AD= 2，所以三棱锥A BCD2224的体积为1 -2，选A3 412【思路点拨】求棱锥的体积若直接利用所给的底面求体积不方便时，可通过换底面 法或补形法或分割法求体积，本题采取分割法求体积即把一个棱锥分割成两个棱锥 的体积的和.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，俯视图是一个等腰直 角三角形，则该几何体的外接球的表面积为 【知识点】几何体的三视图的应用、球的表面积SAC【答案解析】 鱼解析：解：

10、由三视图知：几何体是三棱锥，且几何体的侧面3与底面垂直，高SO为3，如图： 其中OA=OB=OC=1SOL平面 ABC其外接球的球心在 SO上，设球心为 M OM=x则Jx7爲x，得x=V，外接球的半径 R=2，几何体的外接球的表面积33S=4nX - = -.33【思路点拨】由三视图解决几何问题，关键是准确的判断出原几何体的基本形状特 征；再求几何体的外接球的表面积与体积时，能直接确定圆心位置的可通过圆心位 置求球的半径，若圆心位置难以确定可考虑用补形法转化为正方体或长方体外接球 问题已知A,B是球0的球面上两点，/ AOB=90,C为该球面上的动点，若三棱锥 O-ABC体 积的最大值为36，则球0的表面积为A. 36 n B.64 n C.144 n D.256 n【答案】C【解析】如图所示，当点 C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥 O ABC的体 积最大，设球0的半径为R，此时VO abc VC AOB 1 1 R2 R 1 R3 36，故R 6，3 26则球O的表面积为S 4 R2144，故选 C.已知三棱锥S ABC的所有顶点都