经济数学-可降阶的二阶微分方程

1、四、小结四、小结 思考题思考题第四节第四节 可降阶的二阶微分方程可降阶的二阶微分方程型型的的微微分分方方程程二二、),(yxfy ),(yyfy 三、三、 型的微分方程型的微分方程),(yyfy ( )yf x 一一、型型的的微微分分方方程程解法：解法：特点：特点：.x等等式式右右端端仅仅含含有有自自变变量量视为新的未知函数，将 y可得通解可得通解.)(xfy 一、一、 型型211)(.)(CdxCdxxfyCdxxfy+ 同理可得则1例例.3sin2的的通通解解求求微微分分方方程程xeyx 解解次次，得得对对所所给给方方程程连连续续积积分分两两2113cos23xxyeC +21219sin

2、43xxyeC xC+例例2解解代入题设方程代入题设方程, , 得得解线性方程解线性方程, ,即即两端积分两端积分, , 得得求方程求方程的通解的通解. .0)3()4( yxy设设),(xPy ),0(0 PPPx得得xCP1 (为任意常数为任意常数), ,1C,1xCy ,21221CxCy+ + ,63231CxCxCy+ + + 再积分再积分, , 得到所求题设方程的通解为得到所求题设方程的通解为例例2解解求方程求方程的通解的通解. .0)3()4( yxy,224432241CxCxCxCy+ + + + 再积分再积分, ,进一步通解可改进一步通解可改写为写为其中其中为任意常数为任意

3、常数. .)4 , 3 , 2 , 1( iCi.432241dxdxdxdy+ + + + 其中其中为任意常数为任意常数. .)4 , 3 , 2 , 1( idi得到所求题设方程的通解为得到所求题设方程的通解为py 设设d,dpypx特点：特点：. y 右右端端不不显显含含未未知知函函数数解法：解法：. ），（方程变为方程变为pxfp ),(yxfy 二、二、 型型关于关于x, p的一的一阶微分方程阶微分方程，设其通解为，设其通解为),(1Cxp 即即 关于关于y, x一阶微分方程一阶微分方程1d( ,)dypx Cx 故方程的故方程的 通解为：通解为：12( ,)dyx CxC + 例例

4、3 求微分方程求微分方程 yxyx + +212)(满足初满足初始条件始条件3 100 xxyy,的特解的特解.)( )1()1ln(ln .12 , 12122CeCxCypCxpdxxxpdppy + + + + + + + 即即两端积分得两端积分得可得可得代入方程并分离变量后代入方程并分离变量后设设解：解：. 13 3+ + + xxy所求特解为所求特解为 33 10 Cyx，得，得由条件由条件233Cxxy+ + + 积分得积分得 )1(3 2xy+ + 故故1120 Cyx得得又又由由条条件件三、三、 ),(yyfy 型型特点：特点：方程中不明显地含有自变量方程中不明显地含有自变量x

5、.解法：解法：)(ypy 设设ddd,ddpypypyxdy 方程化为方程化为关于关于y , p 的一阶微分方程的一阶微分方程d( , )dppf y py 设它的通解为：设它的通解为：),(1Cypy 分离变量并积分，可得原方程的通解为：分离变量并积分，可得原方程的通解为：21d.( ,)yxCy C + 则则一阶微分方程一阶微分方程.02的通解的通解求方程求方程 yyy解一解一),(ypy 设设代入原方程得代入原方程得 2d0,dpy ppyd()0,dpp ypy即即d0dpypy由，由，1,pC y 可可得得.12xCeCy 所以原方程的通解为所以原方程的通解为1ddyC yx 即，即

6、，例例 4d,dpypy 则则解二解二,12y两端同乘不为零因子两端同乘不为零因子22d()0,dyyyyyxy ,1yCy 故故从而通解为从而通解为.12xCeCy 解三解三原方程变为原方程变为,yyyy 两边积分两边积分,得得，1lnlnlnCyy+ + ，即即yCy1 原方程的通解为原方程的通解为.12xCeCy 例例5满足初始条件满足初始条件解解代入方程并化简得代入方程并化简得上式为可分离变量的一阶微分方程上式为可分离变量的一阶微分方程, , 解得解得再分离变量再分离变量, ,求微分方程求微分方程)(22yyyy , 1)0( y的特解的特解. .2)0( y令令, py 则则,dydppy ).1(2 pdydpy, 12+ + Cyyp得得,12dxCydy + +由初始条件由初始条件, 1)0( y从而得从而得定出定出2)0( y, 1 C再两边积分再两边积分, , 得得或或,12dxydy + +1arctanCxy+ + ),tan(1Cxy+ + 由由定出定出1)0( y,41arctan1 C从而所求特解为从