上海八年级数学上期末几何提优题目集锦

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一.解答题(共33小题)

1.如图，已知AE平分N3AC,即垂直平分8C,EF^AC,EGVAB,垂足分别是点尸、

G.求证：

(1)BG=CF；

(2)AB=AF+CF.

2.如图，在A48C中，ZACfi=90°,NA=30。，A8=4,点P是A8边上一个动点，过点

P作的垂线交AC边与点£),以PZ)为边作NE)PE=60。，PE交BC边与点E.

(1)当点。为AC边的中点时，求的长；

(2)当时，求4°的长；

(3)设AP的长为x,四边形CDPE的面积为y,请直接写出y与x的函数解析式及自变量

x的取值范围.

3.如图1,在RtAABC中，ZC=90°.AC=2,AB=4,点。是边AC上动点(点。不与

点A、C重合)，过点。作QR//A8,交8C边于点R.

(1)求/CR。的大小；

(2)若把AQCR沿着直线QR翻折得到AQPR,设AQ=x

①如图2,当点P落在斜边他上时，求x的值；

②如图3,当点尸落在RIAABC外部时，即与M相交于点E,如果8E=y,写出y与x的

函数关系式以及定义域.

4.已知：如图，AD//BC,D8平分NADC,CE平分NBCD,交AB于点E,皮)于点O.求

证：点O到EB与£»的距离相等.

5.已知，如图在AABC中，AD.3E分别是BC,AC边上的高，AD.BE交于H,DA=DB,

BH=AC,点尸为8〃的中点，ZABE=\50.

(1)求证：MDC^MDH；

(2)求证：DC=DF.

6.已知，如图，在A4BC中，AE平分NC4B交8C于点E,AC=6,CE=3,AE=345,

3E=5,点F是边Afi上的动点(点F与点A,8不重合)，连接防，设/#,EF=y.

(1)求AB的长；

(2)求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；

(3)当AA£尸为等腰三角形时，直接写出3尸的长.

7.如图，在RtAABC中，已知NC=90。，ZB=60°,AC=8>/5,点。在边8c上，BD=3CD,

线段。8绕点。顺时针旋转a度后(0<a<180),点8旋转至点E,如果点E恰好落在

RtAABC的边上，求：的面积.

8.如图，在AABC中，ZACB=90°,AC=BC=4,点。是边A上的动点(点。与点A、

8不重合)，过点。作。交射线于点E,联结他，点尸是小的中点，过点。、

户作直线，交AC于点G,联结C尸、CD.

(1)当点E在边BC上，设，DB=x,CE=y.

①写出y关于x的函数关系式及定义域；

②判断ACD尸的形状，并给出证明；

(2)如果AE=巡，求。G的长.

3

9.已知，如图，在RtAABC中，ZACB=90°,AB=2,々=30。，P是边BC上的一动点,

过点P作PEL43，垂足为£，延长PE至点。，使PQ=PC,连接C。交边他于点£).

(1)求4)的长；

(2)设CP=x,APC。的面积为y,求y关于x的函数解析式，并写出定义域；

(3)过点C作CFLAB,垂足为F,联结依、QF,试探索当点P在边BC的什么位置

时，APF。为等边三角形？请指出点P的位置并加以证明.

BBC

备用图

10.已知：如图，在AABC中，ZR4C=90°,ZC=30°,瓦'垂直平分AC,点。在84的

延长线上，AO=」EC.

2

求证(1)AZMF=AEFC:

(2)DF=BE.

11.已知：如图，在ABC£)中，CE_L8O于点E,点A是边8的中点，EF垂直平分线A3

(1)求证：BE=-CD；

2

(2)当AB=BC,NABE>=25。时，求NAC3的度数.

12.已知：如图，N尸=90。，AE_LOC于点E,点A在NFOC的角平分线上，且点A到点

8、点C的距离相等.求证：BF=EC.

13.已知：如图，在AA5C中，BD、CE分别是边AC、AB上的高，点M是BC的中点,

且MN_L£)E,垂足为点N

(1)求证：ME=MD；

(2)如果皮>平分NABC,求证：AC=4EN.

14.如图，AA8C中，AC=2也,ZJC=4>/3,AB=6,点P是射线C8上一点(不与点5

重合)，砂为PB的垂直平分线，交PB于点F,交射线43于点E,联结PE、AP.

(1)求"的度数；

(2)当点P在线段CB上时，设3E=x,AACP的面积为y,求y关于x的函数解析式，并

写出函数的定义域；

(3)如果3E=2,请直接写出AACP的面积.

15.问题情境：如图，在RtAABC中，ZACB=90°ZR4C=30°.?

动手操作：(1)若以直角边AC所在的直线为对称轴.将RIAABC作轴对称变换，请你在原

图上作出它的对称图形：

观察发现：(2)RtAABC和它的对称图形组成了什么图形？你最准确的判断是.

合作交流：(3)根据上面的图形，请你猜想直角边3c与斜边的数量关系，并证明你的

猜想.

16.如图，已知=

(1)如果3E=6,DE=2,求3c的长;

17.如图(1),己知四边形的四条边相等，四个内角都等于90。，点E是边上一

点，尸是3C边上一点，且NE4F=45。.

图(1)

(1)求证：BF+DE=EF；

(2)若43=6,设BF=x,DE=y,求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围;

(3)过点A作于点H,如图(2),当FH=2,石”=1时，求AAEE的面积.

18.如图，已知RtAABC中，ZACB=90°,ZB=15°,边他的垂直平分线交边3c于点E,

垂足为点。，取线段BE的中点尸，联结。尸.求证：AC=DF.（说明：此题的证明过

程需要批注理由）

19.如图，已知在RtAABC中，ZACB=90°.M是边A3的中点，连接CM并延长到点E，

使得=。是边AC上一点，且AD=8C,联结£>E,求NC0E的度数.

2

20.已知：如图，在RtAABC中，ZACB=90°,将这个三角形绕点A旋转，使

点8落在边BC延长线上的点。处，点C落在点E处.求证：AO垂直平分线

段CE.

BCD

21.己知：如图，反比例函数y=勺的图象上的一点4,小〃)在第一象限内，点5在x轴的正

X

半轴上，且他=AO,过点8作3C_Lx轴，与线段。4的延长线相交于点C,与反比例

函数的图象相交于点。.

(1)用含机的代数式表示点。的坐标；

(2)求证：CD=3BD；

(3)联结4)、试求AAfiD的面积与AAOD的面积的比值.

22.已知：如图，在AABC和AABE中，NACB=NAEB=90。，。是用?中点，联结ZX?、DE、

CE,尸是CE中点，联结DF.

(1)求证：DC=DE；

(2)若他=10,CE=8,求。尸的长.

23.已知：如图，在AABC中，ZACB=90°,AC=6,BC=20。是AC上一个动点,

过点。作。£_1_钻交AB于尸，且ZE迎？，联结CE交相于G(点G不与点尸重合).

(1)求的度数；

(2)求BG的长；

(3)设C£)=x,GF^y,求y与x的函数关系式并写出x的取值范围.

24.已知：如图，A£>平分N84C,DBLAB于B,。〃_14(7于//,G是A3上一点,

GD=DC.求证：ZC=ZBGD.

25.到三角形三条边距离相等的点，叫做此三角形的内心，由此我们引入如下定义：到三角

形的两条边距离相等的点，叫做此三角形的准内心.举例：如图，若4)平分NC4S,

则AO上的点E为AABC的准内心.

应用：

(1)如图AD为等边三角形ABC的高，准内心P在高AD上，且尸£)=1A8,则NBPC的

2

度数为度.

26.在R&BC中，ZC=90°.N8=30。，A8=10,点。是射线CB上的一个动点，AADE

是等边三角形，点尸是4?的中点，联结EF.

(1)如图，当点。在线段CB上时,

①求证：AAEF^AAZX:；

②联结设线段C£>=x,线段=求y关于x的函数解析式及定义域;

27.已知：如图，在AABC中，ZACB=45°,AD是边BC上的高，G是AD上一点，联结

CG,点、E、尸分别是A3、CG的中点，S.DE=DF.

求证：BD=GD.

28.已知：如图，在AABC中，BC=BA,BE平分NCBA交边C4于点E,Z4BC=45°,

CD±AB,垂足为O,尸为8C中点，BE与DF、”1分别交于点G、H.

(1)求证：BH=CA；

(2)求证：BG-=GE2+EA1.

29.如图，在AABC中，ZACB=90°,ZA=30。，。是边AC上不与点A、C重合的任意

一点，DELAB,垂足为点£,M是如的中点.

(1)求证：CM=EM；

(2)如果8C=石，设AD=x,CM=y,求y与x的函数解析式，并写出函数的定义域;

(3)当点。在线段AC上移动时，NMCE的大小是否发生变化？如果不变，求出NMCE的

大小；如果发生变化，说明如何变化.

B

30.已知：如图，zMBC=ZADC=90°,E、尸分别是力C、的中点.

（1）求证：EFLBD-.

（2）若AC=10cmBD=8cm,求砂的长.

31.己知：如图，在AABC中，ZC=90°,ZB=30°,AC=6,A」D平分NC4B交BC于D,

E为射线AC上的一个动点，E/_L4）交射线至于点尸，联结。E.

（1）求£）8的长；

（2）当点E在线段AC上时，设A£=x,S^DF=y,求y关于x的函数解析式；（5&加「表

示的面积）

（3）当AE为何值时，ABZ）尸是等腰三角形.（请直接写出答案，不必写出过程）

CDDD

备用图备用图

32.已知：如图，点。是3c的中点，DEA.AB,£>F_LAC,垂足分别为点E、F,DE=DF.

求证：ADLBC.

BDC

33.已知，如图，在四边形AfiCD中，ZBAD^ZBCD=90°,AC平分4W，点E是瓦＞

中点，AFLBD,垂足为点F.求证:

(1)ZABF=ZDAFi

(2)CB=CD.

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参考答案与试题解析

一.解答题(共33小题)

1.如图，己知4E平分44C,即垂直平分8C,EFYAC,EG±AB,垂足分别是点F、

G.求证：

(1)BG=CF；

(2)AB=AF+CF.

【分析】(1)连接CE、BE,根据线段垂直平分线的性质得到EC=£B,根据角平分线的

性质得到所=改7,于是证得RtACFE三RtABGE,即可得到结论；

(2)根据他平分N54C,EFA.AC,EGJL,得到防=EG,证得RtAAGE三RtAAFE,

得到AG=A尸，于是得到结论.

【解答】证明：(1)连接CE、BE,

即垂直平分BC,

\EC=EB,

AE平分NC48,EFYAC,EG.LAB,

\EF=EG,

在RtACFE和RtABGE中,

\EC=EB

\EF=EG'

RtACFE=RtABGE,

:.BG=CF；

(2)AE平分/丛C,EFA,AC,EG工AB,

:.EF=EG,

在RtAAGE和RtAAFE中,

AE=AE

EG=EF

/.RtAAGE=RtAAFE,

AG=AF,

AB=AG+BG,

:.AB=AF+CF.

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，

正确的作出辅助线是解题的关键.

2.如图，在A48C中，ZACB=90°,44=30。，AB=4,点P是AB边上一个动点，过点

P作45的垂线交AC边与点。，以PZ)为边作"PE=60。，PE交BC边与点E.

(1)当点。为AC边的中点时，求8E的长；

(2)当PD=PE时，求"的长；

(3)设AP的长为x,四边形CDPE的面积为y,请直接写出y与x的函数解析式及自变量

x的取值范围.

【分析】(1)由Z4=30。，AB=4求得8c=2,AC=26,结合。是AC中点知A£)=g,

DP=—,AP=-,从而得出8尸=AB-AP=3,再根据NEPB=300可得答案；

222

(2)设/P不，知牙=4式，由勾股定理解得=,PE=—(4-x),«PD=PE

32

得出关于'的方程，解之可得；

hpiI

(3)由(2)知：AP=PD=qx,PE=^-(4-x),B£=-(4-x),依据

y=^ABC~APDl可得答案・

【解答】解：(1)在AABC中，ZACB=90°,ZA=30°,/W=4,

BC=-AB=2,

2

AC=>JAB2-BC2=20,

。是AC的中点，

:.AD=6,DP=—,AP=2,

22

:.BP=AB-AP=-,

2

ZOPE=60。，

.•.Z£PB=30°,

:.EB=-BP=~；

24

(2)设AP=x,贝ij8P=4—x,

在两个有30。的RtAAPD,RtABPE中，AD=2DP,BP=2BE,

由勾股定理解得「。=且、，PE=B(4-X),

32

因为PD=PE,

所以立X=近(4-1)，

32

解得工=上1?，即AP=1上9；

55

(3)由(2)知：AP=x,PD=*x,PE=*(4-x),B£,=-(4-x),

''y=S^BC-S但D-S'BPE

=—x2x2-—x-—x—(4-x)—(4-x)

22J222

——--%2+\/3x(0<x<3).

【点评】本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握直角三角形的有关性质、勾股定理、

三角形的面积公式等知识点.

3.如图1,在RtAABC中，ZC=90°,AC=2,AB=4,点。是边AC上动点(点Q不与

点A、。重合)，过点。作0R//AB,交BC边于点、R.

(1)求NCRQ的大小；

(2)若把AQCR沿着直线QR翻折得到AQPR,设AQ=x

①如图2,当点P落在斜边AB上时，求x的值；

②如图3,当点P落在RtAABC外部时，RP与A3相交于点E,如果=写出y与x的

(2)根据翻转变换的性质，等边三角形的判定定理得到A4QP为等边三角形，根据等边三

角形的性质得到AQ=QP,证明AQ=QC,计算即可；

(3)作。G_LAB于G,RHLAB于H,根据正弦的定义用x表示出QG，证明您=描，

根据等腰三角形的性质得到根据正切的定义计算即可.

2-

【解答】解：(1)在RtAABC中，AC=2fAB=4,

,oAC1

..sinD-二一，

AB2

/.ZB=30°,

QR//AB,

NCRQ=N3=30。；

(2)①如图2,当点P落在斜边45上时,

ZC/?e=ZB=30°,ZC=90°,

.\ZA=60°,NCQR=60。，

由翻折的性质可知，/PQR=NCQR=60。,QP=QC,

:,ZAQP=60°,XZA=60°,

・•.AAQP为等边三角形，

：.AQ=QP,

AQ=QC=\,即X=1；

②如图3,当点P落在RtAABC外部时，

作QG_LA8于G,RHLAB于H,

QR//AB,

.・.QG=RH,

在RtAAQG中，QG=AQxsinA=咚x,

由翻折的性质可知，/PRP=/CRQ=3(f,

QR/1AB,

：./REB=/PRQ,

.\Z/?EB=ZB,

:.RE=RB，

RHLAB,

:.EH=-EB=-y,

22

鸟

在RtAERH中，EH=———,即=

tan/REB23

T

整理得，y=3元，

则y与x的函数关系式为y=3x(0<x<1).

【点评】本题考查的是平行线的性质，翻转变换的性质，等边三角形的判定和性质，函数解

析式的确定，掌握等边三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.

4.己知：如图，AD//BC,/)及平分NAZ)C,CE平分ZBCD,交他干点£,于点O.求

证：点O到EB与的距离相等.

【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义得到ZDOC=90。，根据等腰三角形的三线合

一证明即可.

【解答】证明：AD//BC,

.".ZA£)C+ZBCC>=180o,

D5平分ZAZX7,CE平分N8CD,

ZODC+ZOCD=90°,

:.ZDOC=90°,又CE平分NB8,

CB=CD，

..OB=OD,

，CE是比)的垂直平分线，

：.EB=ED,又"OC=90°,

..EC平分NftED,

.•.点。到EB与ED的距离相等.

【点评】本题考查的是平行线的性质、角平分线的性质，掌握平行线的判定定理和性质定理

是解题的关键.

5.已知，如图在AABC中，AD.8E分别是BC,AC边上的高，AD.BE交于H,DA=DB,

BH=AC,点F为BH的中点,ZABE=\5°.

(1)求证：AA£>C=AfiE>W；

(2)求证：DC=DF.

【分析】(1)由全等三角形的判定定理儿证得结论即可;

（2）结合（1）中全等三角形的对应边相等得到。C=然后根据含30度角的直角三角

形的性质以及直角三角形斜边中线的性质证明即可；

【解答】证明：（1）AD.LBC,BEVAC.

:.ZADC=ZBDH=90°9

在RtAADC和RtABDH中，

\AC=BH

[AD=BD'

:.NADC=bBDH（Hl）.

（2）DB=DA,

NDBA=NDAB=45。,

NAB石二15。，

/.ZDBW=30°,

:.DH=-BH,

2

BF=FH,

.•.DF=、BH,

2

:.DF=DH,

/^ADC=ABDH；

:.CD=DH,

:.DC=DF.

【点评】本题考查直角三角形斜边中线的性质，直角三角形30度角的性质等，全等三角形

的判定和性质知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

6.己知，如图，在AABC中，A石平分NC钻交3C于点石，AC=6,CE=3,AE=3旧,

3石=5,点尸是边AB上的动点（点厂与点A,8不重合），连接所，设炉#,EF=y.

（1）求AB的长；

（2）求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；

（3）当AAE厂为等腰三角形时，直接写出班'的长.

B

【分析】(1)先根据勾股定理的逆定理可得NACE=90。，再由勾股定理计算他的长；

(2)作辅助线，构建三角形全等，先根据角平分线的性质得：EG=CE=3,表示fG的长,

因为F可能在G的左边或右边，所以尸G=|4-x|,最后根据勾股定理可得y关于x的函

数解析式；

(3)当A4"为等腰三角形时，存在两种情况:①当AE=4F=36时，如图2,②当AF=EF

时，如图3,分别根据等腰三角形的性质可得结论.

【解答】解：(1)AC=6,CE=3,AE=3小,

AC2+CE2=62+32=45,

AE2=(362=45,

AC2+CE2=AE2,

ZACE=90°,

BE=5,

.-.BC=8,

由勾股定理得：AB-yjAC2+BC2^^62+82=10；

(2)如图1,过E作于G,

AE平分NBAC,NC=90。，

:.EG=EC=3,

AE^AE,

/.RtAACE=RtAAGE(HL),

AG=AC=6,

.-.BG=10-6=4,

BF=x,

.-.FG=|4-X|,

在RtAEFG中，由勾股定理得：EF=JEG2+FG。,

y=732+(4-X)2=JX2-8X+25(0<X<10)；

(3)分两种情况讨论：

①当AE=AF=3j5时，如图2,

AB=W,

BF=10-3y/5,

②当AF=所时，如图3,过F作即于P,

AP=-AE=—,

22

ZCAE=ZFAP,ZAPF=NC=90°,

AEAFm3亚AF

ACAP63A/5

综上，当AAE尸为等腰三角形时，5b的长为10-3石或空.

B

【点评】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质定理,

勾股定理及其逆定理，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论

的思想思考问题，属于中考常考题型.

7.如图，在RlAABC中，已知NC=90。，ZB=60。，AC=8x/5,点。在边8C上，BD=3CD,

线段03绕点。顺时针旋转a度后(0<a<180),点3旋转至点E,如果点E恰好落在

RtAABC的边上，求：ADBE的面积.

【分析】根据勾股定理可求Afi，3C的长，即可求80=6,8=2,分点E落在他上，

或AC上两种情况讨论，根据勾股定理和等边三角形的性质以及三角形面积公式可求

AZME的面积.

【解答】解：NC=90。，ZB=60°,

•.ZA=30°,

:.AB=2BC

在RtAABC中，AB2=BC2+AC2,

:.4BC2=BC2+64x3,

BC=S，

/.A5=16,

点D在边BC上,BD=3CD,

:.BD=6,CD=2,

如图，当点E在他上时，过点E作瓦'J_BC于点P,

旋转

:.DE=BD=f),且ZABC=60°,

:.MDE是等边三角形

:.BE=6,且EF_L3D,ZABC=60°,

:.BF=3.EF=y[3BF=3>/3

：.SgED=gBDxEF=9C，

旋转

：.BD=DE=6

在RtACDE中，CE=力DE2-CD2=j36-4=40,

.•S^ED=gBDxEC=12^2,

综上所述：AftBE的面积为120或9G.

【点评】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识,

灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键.

8.如图，在AA8C中，ZACfi=90°,AC=8C=4,点。是边A上的动点(点。与点A、

3不重合)，过点。作。ELAB交射线8c于点E,联结短，点F是铉的中点，过点D、

厂作直线，交AC于点G,联结CF、CD.

(1)当点E在边8c上，设，DB=x,CE=y.

①写出y关于x的函数关系式及定义域;

②判断ZCDF的形状，并给出证明；

(2)如果4£=述，求OG的长.

3

【解答】解：(1)①ZACB=90P,AC=BC=4,

:.AB=4直,ZB=Zfi4C=45°,

又DEIAB,

.•.ADEB为等腰直角三角形,

DB=x,CE=y，

EB=41x,

又EB+CE=4,

y[lx+y=4,

/.y=4->/2x(0<A;,2\/2)；

②DELAB,ZACB=90°,

.\ZADE=90°,

点尸是A石的中点，

.・.CF=AF=-AE,DF=AF=-AE.

22

:.CF=DF,

/CFE=2/CAE,ZEFD=2ZEAD,

・•.ZCFD=Z.CFE+ZEFD=2ZCAE+2ZEAD=2ZCAD,

ZC4B=45°,

/.ZC/D=90°,

」.ACD尸是等腰直角三角形;

(2)如图1,当点石在8C上时，AE=—AC=4,

3

4J3

在RtAACE中，CE=^—

3

则AE=2CE,

/.ZC4E=30°,

又CF=DF，AE=处,

23

4

在RtACFG中，GF=—

3

DG=DF+FG="+4；

3

如图2,当点E在8C延长线上时，ZCFD=90°,

同理可得CF=DF=—AE=43,

23

在RtACFG中，GF=-,

3

4百一4

..DG=DF-FG=--------.

3

【点评】本题主要是三角形的综合问题，解题的关键是掌握等腰直角三角形的判定和性质、

勾股定理、直角三角形的性质等知识点.

9.已知，如图，在RtAABC中，Z4C8=90。，AB=2,ZS=30°,尸是边8C上的一动点，

过点P作垂足为E,延长PE至点Q,使尸Q=PC,连接CQ交边45于点Q.

(1)求AD的长；

(2)设CP=x,APCQ的面积为y,求y关于x的函数解析式，并写出定义域；

(3)过点C作C尸J_A8,垂足为尸，联结尸尸、QF,试探索当点P在边8c的什么位置

时，APFQ为等边三角形？请指出点P的位置并加以证明.

【分析】(1)根据直角三角形的性质求出AC,根据直角三角形的性质、等腰三角形的判定

定理解答即可；

(2)作多，比于H,根据直角三角形的性质用x表示出Q”，根据三角形的面积公式计

算，得到答案；

(3)证明AWC为等边三角形，得到NFPC=60。，根据等腰三角形的判定定理证明结论.

【解答】解：(1)ZACB=90°,ZB=30°,

:.AC^-AB=\,

2

PQ=PC,

ZPQC=ZPCQ,

PEYAB,

NPQC+NQ£)E=90。，

ZACS=90。，

ZPCQ+ZACD=90°,

ZACD^ZQDE,

ZACD=ZADC，

/.ZACD=ZADC,

.・.AD=AC=\;

(2)作QH_L8C于”，

ZACB=90°,ZB=30°,

/.ZA=60°,又AD=AC,

.•.A4ZX?为等边三角形，

/.NQCB=30。,

PQ=PC=X,

NPQC=NPCQ=30。,

ZQPH=60%

...QH=^-x,

:.kPCQ的面积为y=^xxx-^-x=^-x2(^-<x<\fi)；

(3)当点尸在边5c的中点时，APFQ为等边三角形,

理由如下：如备用图，NBPC=90。，点。是的中点,

:.PF=-BC=CP,

2

ZBFC=90°,ZB=30°,

；.FC=LBC=CP,ZBPE=60°,

2

：.FC=PF=CP,

.•.AFPC为等边三角形，

/.ZFPC=60°,

ZBPE=60°,

NQPF=60。,

PF=PC=PQ,

.•.△PbQ为等边三角形.

【点评】本题考查的是直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质、三角形的面积计算，

掌握等边三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.

10.已知：如图，在AA8C中，ABAC=90°.ZC=30°,EF垂直平分AC,点。在84的

延长线上，AD=-EC.

2

求证(1)ADAF=AEFC；

(2)DF=BE.

【分析】(I)根据全等三角形的判定解答即可;

(2)根据全等三角形的性质解答即可.

/.Z£FC=90°,AF=CF,

ZC=30°,

:.EF=-EC,

2

AD=-EC,

2

:.AD=EF,

ZBAC=90°,

ZBAC+ZDAF=\8O09

,\ZDAF=90°=ZEFCf

在AZMF与AEFC中

AD=EF

<NDAF=ZEFC,

AF=FC

:.M)AF=AEFC(SAS)；

(2)连接AE,

M)AF=AEFC,

:.DF=EC,

斯垂直平分AC,

:.EA=ECf

/.Z£AC=ZC=30°,

/.ZE4B=ZB=60°,

:.EA=EB,

:.DF=EB.

【点评】考查了全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质等知识，证明三角形全等

是解决问题的关键.

11.已知：如图，在ABCO中，CEL8O于点石，点A是边8的中点，即垂直平分线A3

(1)求证：BE=-CDx

2

(2)当AB=5C,NABO=25。时，求NACB的度数.

DEB

【分析】（1）连接AE，根据直角三角形的性质得到AE=AO=』CO,根据线段垂直平分

2

线的性质得到£4=£S,等量代换证明结论；

（2）根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质求出乙回，根据等腰三角形的性质计算,

得到答案.

【解答】（1）证明：连接在，

CEA.BD,点A是边C£＞的中点，

/.AE=AD=-CD,

2

EF垂直平分线AB,

:.EA=EB,

BE=-CD；

2

（2）EA=EB,

ZEAB=ZABD:=25°,

:.ZAED=ZEAB+ZABD=50°,

EA=AD,

:.ZD=ZAED=50°,

:.ZBAC=ZABD+ZD=15°,

AB=BC,

【点评】本题考查的是直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质、三角形的外角性质，掌

握直角三角形斜边上的中线是斜边的一半是解题的关键.

12.已知：如图，N尸=90。，AELOC于点E,点A在NFOC的角平分线上，且点A到点

B、点C的距离相等.求证：BF=EC.

【分析】证明RIAABF三RtAACE(HL)即可解决问题.

【解答】证明：点A在ZFOC的角平分线上，ZF=90°,AEA.OC,

.-.AE^AF,

点4到点3、点C的距离相等，

/.AB=AC,

ZF=ZAEC=90°,

RtAABF=RtAACE(HL),

:.BF=EC.

【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是正

确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型.

13.已知：如图，在A4BC中，BD、CE分别是边AC、/归上的高，点M是的中点，

且MN工DE,垂足为点N

(1)求证：ME=MD；

(2)如果比＞平分求证：AC=4EN.

【分析】(1)根据直角三角形的性质得到EM=-BC,等量代换即可证明；

22

(2)证明4题三△CBQ,根据全等三角形的性质得到AD=CD,根据直角三角形的性质,

等腰三角形的性质证明.

【解答】证明：(1)8D是边AC上的高，

:.ZBDC=90°,

点”是BC的中点,

:.DM=-BC,

2

同理，EM=、BC,

2

.\ME=MD；

(2)BD平分乙，$C,

.・.ZABD=/CBD,・

BD是边AC上的高，

.\ZADB=ZCDB=90°.

在AAB£>和ACB。中，

/ABD=/CBD

,BD—BDt

4ADB=NCDB

:.MLBD=\CBD(ASA),

.\AD=CD,

CE是边AB上的高，

.•.ZCE4=90°，

AC=2ED,

ME=MD,MNIDE,

:.DE=2EN,

,-.AC=4EN.

【点评】本题考查的是直角三角形的性质，等腰三角形的性质，掌握直角三角形中，斜边上

的中线等于斜边的一半是解题的关键.

14.如图，A48C中，AC=2C，3c=40，AB=6,点P是射.线C8上一点(不与点3

重合)，EF为的垂直平分线，交PB于点F,交射线于点E,联结PE、AP.

(1)求々的度数；

(2)当点P在线段CB上时，设8E=x,A4CP的面积为y,求y关于x的函数解析式，并

写出函数的定义域；

(3)如果3£=2,请直接写出AACP的面积.

【分析】（1）先根据勾股定理逆定理判断出AA8C是直角三角形，再由AC=』8C即可得出

2

答案；

（2）作⑷JfiC，垂足为点。.由直角三角形30。角所对边等于斜边一半知AO=LAB=3,

2

EF=3BE=；x,根据勾股定理知8F=#x,继而由=（CFAO可得答案.

（3）点P在线段BC上时，由BE=2知x=2,代入（2）中所得解析式计算即可得；当点P

在射线C3上时，作AMJLBC,根据已知条件得出所=l3£：=1,PF=BF=6，

2

AM=-AB=3,利用三角形的面积公式计算可得.

2

【解答】解：（1）在AA8C中，

AC=26,8c=46，AB=6,

AC2+AB2=48,BC2=48,

AC2+AB2=BC2.

.-.ZBAC=90°.

又AC=26,8c=40，

AC=-BC,

2

ZB=30°.

（2）过点A作ADJ_3C,垂足为点。.

在AA£）B中，ZADB=90°,ZB=30°.

：.AD=-AB=3,

2

同理，EF=-BE=-x.

22

在RtAEFB中，EF2+FB1=EB2,即（万*产+8我=/,

:.BF=—x,

2

又BP=2BF,

：.BP=\f3x.

:.CP=CB-PB=4-j3->/3x,

SM”；CPAD,

...y=l（4百一岳）x3=66-地x,（0<%,4）；

22

(3)当点尸在线段8c上时，由砥=2知x=2,

由(2)知I止匕时A4CP的面积为—宏3*2=36；

2

当点P在射线CB上时，如图，过点A作AW_LBC于点M,

:.EF=-BE=\,

2

则PF=BF=y/3,

AB=6,

：.AM^-AB=3,

2

则AACP的面积为,XPC*AM=L*(48+&+G)X3=9K.

22

【点评】本题是三角形的综合问题，解题的关键是掌握勾股定理及其逆定理、直角三角形的

性质及三角形的面积公式和分类讨论思想的运用.

15.问题情境：如图，在RtAABC中，ZACB=90PZBAC=30°.?

动手操作：(1)若以直角边AC所在的直线为对称轴.将RtAABC作轴对称变换，请你在原

图上作出它的对称图形:

观察发现：（2）RIAABC和它的对称图形组成了什么图形？你最准确的判断是等边三角

形.

合作交流：（3）根据上面的图形，请你猜想直角边BC与斜边转的数量关系，并证明你的

猜想.

【分析】（1）如图，延长3C到点。使CD=8C,则AACD满足条件；

（2）利用NAC8=90。，4%。=30。得到/8=60°,再利用轴对称的性质得到/W=，

从而可判断八钻。为等边三角形；

（3）利用AAfi。为等边三角形得到AB=5D,再利用对称轴的性质得到3C=CZ>,所以

BC=-AB.

2

【解答】解：（1）如图，A48为所作；

（2）RtAABC和它的对称图形组成了等边三角形:

理由如下：ZACB=90°,ABAC=30°,

/.ZB=60°,

AACD与AABC关于直线AC对称,

/.AB=AD,

为等边三角形；

故答案为等边三角形；

(3)BC=-AB.

2

利用如下：4题为等边三角形;

：.AB=BD,

AACD与MBC关于直线AC对称,

:.BC=CD,

BC=-AB.

2

【点评】本题考查了作图-轴对称变换：几何图形都可看做是有点组成，我们在画一个图形

的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的.也考查了等边三角形的判定

与性质.

16.如图，已知=

(1)如果5E=6,DE=2,求8c的长;

(2)如果NS4c=75。，ZBAD=3QP,求"4E的度数.

【分析】(1)根据全等三角形的性质，可得出砥=8,根据3E=6,。£=2,得出CE=4,

从而得出8C的长；

(2)根据全等三角形的性质可得出N8AE=NC4r>,即可得出=NC4E,计算

NC4£>-NC4E即得出答案.

【解答】解：(1)MBE^AACD,

:.BE=CD,ZBAE=/1CAD,

又BE=6,DE=2,

:.EC=DC-DE=BE-DE=A,

;.BC=BE+EC=W-,

(2)ACAD=ABAC-ABAD=75°-30°=45°,

r.ZBAE=ZCAD=45°,

.ZZME=NBAE-NR4Z)=45。-30。=15。.

【点评】本题考查了全等三角形的性质，全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相

等.

17.如图(1),已知四边形/WC力的四条边相等，四个内角都等于90。，点E是8边上一

点，F是BC边上一点,且NE4尸=45。.

(1)求证：BF+DE=EF；

(2)若他=6,设BF=x,DE=y,求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；

(3)过点A作力HJ_正于点”，如图(2),当FH=2,E”=l时，求AAFE的面积.

【分析】(1)如图1中，将AAOE绕点A顺时针旋转90。得到.只要证明

AAFH三AAFf(5A5)即可解决问题；

(2)利用(1)中结论，在RtAECF中，根据EF;C尸+EC?,构建关系式即可；

(3)如图2中，将A4DE绕点4顺时针旋转90。得到首先证明47=加，设唐节，

在RtAEFC中，利用勾股定理构建方程即可解决问题；

【解答】(1)证明：如图1中，将AADE绕点A顺时针旋转90。得到

四边形ABCD是正方形,

:.AB=AD=CD=BC,ZBAD=90°,

ZE4F=45°,

.-.ZBAF+ZBAH=ZBAF+ZDAE=45°,

.\ZFAH=ZFAE=45°,

AF^AF,AH=AE,

:.^AFH^MFE(SAS),

:.EF=FH,

FH=BH+BF=DE+BF,

:.EF=BF+DE.

(2)解：AB=BC=CD=6,BF=x,DE=yf

EF=x+yJFC=6—x,EC=6—y,

在RtAECF中，EF?=CF2+EC2,

，(x+y)2=(6-x)2+(6-y)2,

.丁=2^(瞬6)

x+6

(3)解：如图2中，将AM见绕点A顺时针旋转90。得到AABA7.

由(1)可知合

ABA.FM,AHLEF,

.\AB=AH,

设A8=8C=CD=AD=x,

ZABF=ZAHF=90°,

AF=AF.AB=AH9

RtAAFB二RtAAFH(HL),

：.BF=FH=2,同理可证：DE=EH=\,

CT7=x—2,EC=x—1,

在RtAECF中，EF2=CF2+EC：

.-.32=(X-2)2+(X-1)2,

或子（舍弃）'

【点评】本题考查四边形综合题、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知

识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构

建方程解决问题，属于中考压轴题.

18.如图，已知RtAABC中，ZACB=90°,ZB=15°,边45的垂直平分线交边8C尸点后，