等差数列知识点及类型题

1、等差数列知识点及类型题一、数列由an与Sn的关系求an由Sn求an时，要分n=1和n?2两种情况讨论，然后验证两种情况可否用统一的解析式表示,假设不能，那么用分段函数的形式表示为an(n 1)& & i(n 2)1例1根据以下条件，确定数列an的通项公式。an 0,也二,2Sn2分析：将无理问题有理化，而后利用4与Sn的关系求解。二、等差数列及其前n项和一等差数列的判定1、等差数列的判定通常有两种方法：第一种是利用定义，an an 1 d(常数)(n 2)，第二种是利用等差中项，即2务 K i Ki(n 2)。2、 解选择题、填空题时，亦可用通项或前n项和直接判断。1通项法：假

2、设数列an的通项公式为n的一次函数，即an =An+B,那么 a.是等差数列；2前n项和法：假设数列an的前n项和Sn是Sn An2 Bn的形式A, B是常数，贝U an是等差 数列。注：假设判断一个数列不是等差数列，那么只需说明任意连续三项不是等差数列即可。1例2数列 an的前n项和为Sn，且满足Sn Sn 1 2SnSn 1 0(n 2),印11求证： 是等差数列；Sn2求an的表达式。【变式】 数列an的各项均为正数，ain项和Sn满足2Sn= 2pa§+ an p(p R), 那么an的通项公式为.二等差数列的根本运算1、等差数列的通项公式an=q+ n-1d及前n项和公式S

3、nn(aia.)2口，共涉及五个2量印，an，d,n, Sn, “知三求二，表达了用 方程的思想 解决问题;2、数列的通项公式和前 n项和公式在解题中起到变量代换作用，而印和d是等差数列的两个根本量，用它们表示和未知是常用方法。注：因为5 dn a, d a, (n 1)-，故数列-Sn是等差数列。n 222n例3数列 Xn的首项Xi=3，通项xn2n pnq( nN , p,q为常数)，且x,，X4，X5成等差数列。求：1p, q 的值；2数列 Xn的前n项和Sn的公式。p, q ; 2通过Xn利用条件分成两个分析：1由Xi=3与X,， X4， X5成等差数列列出方程组即可求出 可求和的数列

4、分别求和。三等差数列的性质1、等差数列的单调性： 等差数列公差为d,假设d>0,那么数列递增；假设 d<0,那么数列递减；假设 d=0,那么数列为常数列。 2、等差数列的简单性质： 数列 an是等差数列，Sn是其前n项和。卩 假设 m+n=p+q那么amanapaq,特别：假设m+n=2p 那么 aman2ap。2am,am k,am 2k,am 3k,仍是等差数列，公差为kd；3数列Sm,S?m Sm,S3m S2m,也是等差数列；S奇a n(4)假设等差数列的项数为2nn N ，那么S偶S奇nd,S 偶 an 1S奇n5假设等差数列的项数为2n 1n N ，那么S2n 1 2n

5、 1 an，且S奇S偶an，亠 S偶 n 16如果数列an,bn是等差数列，那么数列can, can, anbn, panqbn也是等差数列其中c、p、q均为常数。典型例题1 等差数列an中，假设Sn 25, S2n 100，那么S3n =；2. 厦门在等差数列an中，a2 a8 4,那么 其前9项的和9等于 A. 18B 27C 36D 93、 全国卷I理设等差数列 an的前n项和为Sn，假设S 72,那么a?印 ag=)7n 45，那么使得色为整数的n 3bn4、等差数列an的前m项和为30，前2m项和为100,那么它的前3m项和为(A)130(B)170(C)210(D)1605. (湖

6、北卷)两个等差数列an和bn的前n项和分别为An和Bn ,且主Bn正整数n的个数是A. 2B. 3C. 4 D . 56、 方程(x2 2x + m)(x2 2x+ n)= 0的四个根组成一个首项为 寸的等差数列，贝V |m n|的值等于 7、 在等差数列an中，a1 = 3,11a5= 5a8 13,那么数列an的前n项和Sn的最小值为 .an和bn的前n项和分别为Sn和Tn ,且满足鱼0_3，那么空 Tnn 3be等差数列的最值： 假设an是等差数列，求前 n项和的最值时，an 01假设ai>0,d<0,且满足，前n项和Sn最大；an 10an 02假设a1<0,d>

7、;0 ,且满足，前n项和Sn最小；an 103除上面方法外，还可将an的前n项和的最值问题看作 Sn关于n的二次函数最值问题，禾U用二次函数的图象或配方法求解，注意nN。例4在等差数列an中，a16ai7a18a936，其前n项和为Sn。卩 求Sn的最小值，并求出 Sn取最小值时n的值;2求 Tnda2an 。分析：1可由条件，求出 a.d,利用an 0求解，亦可用S.利用二次函数求最值; an 102将前面是负值的项转化为正值求解即可。1例5数列 an是等差数列。卩假设 am n, an m(m n),求am n2假设 Sm n,Sn m(m n),求Sm n【变式】数列an的各项均为正数，

8、Sn为其前n项和，对于任意的n N*，满足关系式2Sn= 3an 3.(1)求数列an的通项公式；1设数列bn的通项公式是bn=，前n项和为Tn,求证：对于任意的正整数n,总有Tn<1.log3an log 3an + 1跟踪训练1. 等差数列首项为2,末项为62，公差为4,那么这个数列共有A. 13 项 B . 14 项 C . 15 项 D . 16 项2. 等差数列的通项公式为 an=-3n+a, a为常数，那么公差d=.3扎3B. 3C.三D,223. 在等差数列an 中，假设a1+a2=-18 , a5+&=-2，那么30是这个数列的A.第22项B .第21项C .第2

9、0项D .第19项4. 数列a, -15 , b, c, 45是等差数列，那么a+b+c的值是 A. -5 B . 0 C . 5 D . 105. 等差数列an 中，a1+a2+a3=-15 , a3+a4=-16，贝U a=A. -1 B . -3 C . -5 D . -76. 等差数列an 满足a2+a7=2as+a4,那么这个数列的首项是A. 一丄 B, 2 U 0 D. 427. 数列an 是等差数列，且a3+an=40,那么a6+a?+a8等于 A. 84 B .72 C . 60 D . 438. 等差数列an 中，a1+aa+a5=3，贝U比+&=A. 3 B . 2

10、 C . 1 D . -1an : <3 , 47，后，丽，吊；那么在此数列an中应是A.第21项B .第41项C .第48项D.第49项110.数列an中，a13,前 n和 Sn(n 1) 1) 121求证：数列aJ是等差数列2求数列an的通项公式13设数列 一 的前n项和为Tn,是否存在实数 M ,使得Tn M对一切正整数n都成立？假设存在,anan 1求M的最小值，假设不存在，试说明理由。等差数列知识点及类型题一、数列由an与Sn的关系求an由Sn求an时，要分n=1和n?2两种情况讨论，然后验证两种情况可否用统一的解析式表示,假设不能，那么用分段函数的形式表示为5 (n 1)6

11、& i(n 2)1例1根据以下条件，确定数列an的通项公式。30 0育 2Sn分析：将无理问题有理化，而后利用3n与Sn的关系求解。解答:由¥=更离$“=迸空当42时gf-S十竺沪护O8 = ( And- On 1 +4) (op- On- i )+ 召 I| 4) = 0).V a>0, A a, + a i>(b鼻心一 i 4=0,即厶一 I =4,化敖列细为等差数列，且公差d=4.U+2)/* ai 2* * 4 =2七4(冗一1) = 4tl2、等差数列及其前n项和一等差数列的判定i、等差数列的判定通常有两种方法：第一种是利用定义，3n 3n 1 d(常数

12、)(n 2)，第二种是利用等差中项，即 23n 3 务i(n 2)。2、解选择题、填空题时，亦可用通项或前n项和直接判断。1通项法：假设数列an的通项公式为n的一次函数，即an =An+B,那么 a.是等差数列；2前n项和法：假设数列an的前n项和Sn是SnAn2Bn的形式A,B是常数，贝U an是等差数列。注：假设判断一个数列不是等差数列，那么只需说明任意连续三项不是等差数列即可。1例2数列 an的前n项和为Sn，且满足SnSn12SnSn10(n2),a1-1求证：丄是等差数列;Sn2求an的表达式。分析:1Sn Sn 12Sn1 01 1'与'的关系结论;SnSn 121

13、由的关系式Sn的关系式anSn解答:1等式两边冋除以1SSn 1 得Sn 1-1 +2=0,Sn即1Sn12n > 2Sn 1. 1 是以 1 =2为 a1SnS1首项，以2为公差的等差数列。21 1由1知'='+n-1d=2+(n-1)x 2=2n,.Sn1,当n?2时，an=2Sn -Sn 1 =1。又5 S12n2n(n1) ai-，不适合上式，故a21212n(n 1)(n 1)(n 2)【变式】 数列an的各项均为正数，am项和Sn满足2Sn= 2pan + an p(p R)，那么an的通项公式为 a1= 1，2a1 = 2pa2+ a1 p,即 2= 2p+

14、 1 p,得 p = 1.于是 2Sn = 2an + an 1.当 n?2 时，有 2Sn 1 = 2a2 1 + an1 1,两式相减，得 2an = 2an 2an1 + an an1,1整理，得 2(an+ an1) (an an 1 2)= 0.11 n+1又 an>0, . an an 1 = 2，于是an是等差数列，故 an = 1 + (n 1) 2 = 2二等差数列的根本运算1、等差数列的通项公式an=q+ n-1d及前n项和公式Snn(a1an)na1咛d，共涉及五个量a1, an, d,n, Sn，“知三求二，表达了用 方程的思想 解决问题；2、数列的通项公式和前

15、n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个根本量，用它们表示和未知是常用方法。注：因为 邑 dn a1 d a1 (n 1)d，故数列§是等差数列。n 222n例3数列 xn的首项x1=3，通项xn2n pnq( nN , p,q为常数)，且洛,x4,x5成等差数列。求：1p, q 的值；2数列 xn的前n项和Sn的公式。分析：1由X1=3与X! , X4, X5成等差数列列出方程组即可求出p, q ; 2通过Xn利用条件分成两个可求和的数列分别求和。解答：1由x1=3得2p q 3又 x424p4q,x525p5q,且为x52x4，得 325 p5q25 p8q

16、由联立得p 1,q1。2由1得 xn 2n n,=2 + 2 +2： +2+3 “ 亠 n)三等差数列的性质1、等差数列的单调性：等差数列公差为d,假设d>0,那么数列递增；假设 d<0,那么数列递减；假设 d=0,那么数列为常数列。 2、等差数列的简单性质：数列 an是等差数列，Sn是其前n项和。卩 假设 m+n=p+q那么 am an ap aq,特别：假设 m+n=2p 那么 am an 2ap。2am,am k,am 2k,am 3k,仍是等差数列，公差为kd；3数列5,S2m S.,S3m S2m,也是等差数列；S奇a n(4)假设等差数列的项数为2nn N ，那么S偶S

17、奇nd，S 偶an 15假设等差数列的项数为2n 1n N ，那么S2n 1 2n 1 an，且S奇S偶 an， 奇S偶 n 16如果数列an,bn是等差数列，那么数列can, c an ,anbn, panqbn也是等差数列其中c、p、q均为常数。典型例题1 等差数列 an 中，假设 Sn 25, S2n 100，那么 Ssn =225；2.厦门在等差数列an中，a2 a8 4,那么其前9项的和S等于A A. 18B 27C 36D 93、 全国卷i理设等差数列an的前n项和为Sn，假设S9 72,那么a2 a4 a9= 4、 等差数列an的前m项和为30，前2m项和为100,那么它的前3m

18、项和为(C )(A)130(B)170(C)210(D)1605、(湖北卷)两个等差数列an和bn的前n项和分别为An和Bn ,且&7j45，那么使得 电 为整数的Bnn 3bn正整数n的个数是D A. 2B. 3C. 4 D . 516、 方程(x2 2x + m)(x2 2x+ n)= 0的四个根组成一个首项为 -的等差数列，贝V |m n|的值等于 .如下列图，易知抛物线 y= x2 2x+ m与y= x2 2x+ n有相同的对称轴 x= 1，它们与x轴的四个交点依次为 A、B、 C、 D.17因为 xA= 4,贝U XD= 4.35又 |AB|= |BC|= |CD|,所以 x

19、b= 4, xc = 4. 故|mn|= |；x 73 x Ji=27、在等差数列an中，31 = 3,1185= 5a8 13,那么数列an的前n项和Sn的最小 值为.设公差为 d,贝y 11( 3 + 4d)= 5( 3 + 7d) 13, d = 59.二数列an为递增数列.532令 an< 0, 3+ (n 1) 9< 0, n< ,/ n N*29前6项均为负值， Sn的最小值为S6= 3.37n 3，贝U更n 3b8an和bn的前n项和分别为Sn和Tn ,且满足邑Tn等差数列的最值：假设an是等差数列，求前 n项和的最值时,1假设ai>0,d<0,且满

20、足anan 100，前n项和Sn最大;2假设ai<0,d>0 ,且满足anan0，前n项和Sn最小;03除上面方法外，还可将数的图象或配方法求解，注意 n 例4在等差数列 an中，a16 求Sn的最小值，并求出 求TnanN 。的前n项和的最值问题看作 Sn关于n的二次函数最值问题，利用二次函12分析:2解答:a16，令anan31a2a17 a18 比 36，其前n项和为Sn。Sn取最小值时n的值；lan。1可由条件，求出a1,d,利用an0an 10求解，亦可用$利用二次函数求最值;将前面是负值的项转化为正值求解即可。 1设等差数列 ana17 a18 3a1736,S20 S

21、213n 63 0 仆,得:201 3n 60 020 60 ( 3)的首项为a1，公差为a1712,n 21,630当a17a9d17 9n=20 或 21 时,3, an a9 (n 9)d 3n 63,an 1 3n 60Sn最小且最小值为-630.2由1知前20项小于零，第21项等于0,以后各项均为正数。当n 21时，人 Snn( 60 3n 63)23 2123nn222S21当 n 21 时，Tn Sn 2S21n( 60 3n 63)21231260.3 2123(n 21)nn223 2123_c(n 21)nn 126022综上，Tn1假设amn,anm(mn),求am n；

22、2假设Smn,Snm(mn),求 Smn解答：设首项为a<i，公差为d ,nm3 丨由 amn,anm, d1mn am n am (m nm)dn n (1) 0.n(n 1)mna1da12由可得2,解得1例5数列 an是等差数列。m(m 1),dd22n m mn m nmn2(m n)mn(m n)(m n 1) ,/、Smn (m n)a1 2d(m n)【变式】数列an的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意的n N*，满足关系式2Sn= 3 an 3.(1)求数列an的通项公式；1设数列bn的通项公式是bn=，前n项和为Tn,求证：对于任意的正整数n,总有Tn<1.

23、log3an log 3an + 1(1)解 当 n = 1 时，由 2Sn= 3an 3 得，2ai = 3ai 3,a1 = 3.当n?2时，由2S = 3an 3得，2Si1 = 3an 1 3.两式相减得：2(Sn Sn 1)= 3an 3an-1,即卩 2an= 3an 3an 1 , an= 3an 1，又 T a1= 3工 0,二 an是等比数列， 二 an = 3n.验证：当n= 1时，a1 = 3也适合an = 3n.二an的通项公式为an= 3n.1log 33n log33n+ 11(2)证明bn =log 3an log3an + 11 = 1 1 (n+1)n n n+1-Tn= b1 + b2 + + bn1 1 1 1 1=(12)+ (1 1)+(n荷=1<1.n + 1跟踪训练1. 等差数列首项为2,末项为62，公差为4,那么这个数列共有A. 13 项 B . 14 项 C . 15 项 D . 16 项2. 等差数列的通项公式为 an=-3n+a, a为常数，那么公差d=小3.3扎3B. 3C一D,223. 在等差数列an 中，假设a1+a2=-18 , a5+&=-2，那么30是这个数列的A.第22项B .第21项C .第20项D .第19项4. 数列a, -