容斥原理之重叠问题(一).教师版

1、L71.先包含：a+b+c重叠部分a|1b、bCc、cDa重叠了 2次，多加了 1次.）2.再排除： A+B+C-ApB-BpC -ApC重叠部分aFIbPIC重叠了 3次，但是在进行 A + B+C- APB BPlCAnC计算时都被减掉了.再包含： A+B+CAnB Bp|C APIC +aPI B< C_在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图（韦恩图）来帮助分析思考.7-7-1.容斥原理之重叠问题（一）1.先包含一一A+B重叠部分An B计算了 2次，多加了 1次;2.再排除一一 A + B-ApB、 把多加了 i次的重叠部分An b减去.包含与排除原理告诉我们，要计算两个集

2、合A B的并集AUB的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合 A、B的元素个数，然后加起来，即先求A + B （意思是把A B的一切元素都 包含”进来，加在一起）;第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C=Ap|B（意思是 排除”了重复计算的元素个数）.月亚睡 教学目标1, 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；2.掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用.且血怔知识要点、两量重叠问题在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算.求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把 两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数， 用式

3、子可表示成： AUB=A + B-Ap|B（其中符号读作并”，相当于中文 和”或者或”的意思；符号 n 读作 交”，相当于中文 且”的意思.）则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理.图示如下：A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：AD B ,即阴影面积.图示如下：A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：AC B,即阴影面积.、三量重叠问题A类、B类与C类元素个数的总和 =A类元素的个数 +B类元素个数+C类元素个数-既是A类又是B类 的元素个数-既是B类又是C类的元素个数 -既是A类又是C类的元素个数+同时是A类、B类、C类的元 素个数

4、.用符号表示为： AUBlJC=A+B+CAp|BBp|CAnC+ARlBDC .图示如下：金厂、 图中小圆表示 A的元素的个数，中圆表示 B的元素的个数， ZlVC /大圆表示C的元素的个数.QtW 例题精讲两量重叠问题【例1】 小明喜欢：踢足球、上网、游泳、音乐、语文、数学；小英喜欢：数学、英语、音乐、陶艺、跳 绳。用圆A、圆B分别表示小明、小英的爱好，如图所示，则图中阴影部分表示 AB【考点】两量重叠问题【难度】1星【题型】填空【关键词】希望杯，四年级，二试，第 3题【解析】阴影部分是两人都爱好的：数学、音乐【答案】数学、音乐例2四（1）班全体同学站成一排，当从左向右报数时，小华报：18

5、;当从右向左报数时，小华报：13.那么该班有学生 名。【考点】两量重叠问题【难度】1星【题型】填空【关键词】希望杯，四年级，二试，第 2题【解析】该班学生人数为：18+131=30 （名）。【答案】30名【例3 实验小学四年级二班， 参加语文兴趣小组的有 28人，参加数学兴趣小组的有 29人，有12人两个小 组都参加.这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？CAB【考点】两量重叠问题【难度】1星 【题型】解答【解析】如图所示，A圆表示参加语文兴趣小组的人，B圆表示参加数学兴趣小组的人，A与B重合的部分C （阴影部分）表示同时参加两个小组的人.图中 A圆不含阴影的部分表示只参加语文兴趣小组未参

6、加数学兴趣小组的人，有 28-12 =16（人）；图中B圆不含阴影的部分表示只参加数学兴趣小组未参 加语文兴趣小组的人，有 29 -12 =17 （人）.方法一：由此得到参加语文或数学兴趣小组的有：16 +12 +17 = 45 （人）.方法二：根据包含排除法，直接可得：参加语文或数学兴趣小组的人=参加语文兴趣小组的人 +参加数学兴趣小组的人-两个小 组都参加的人，即：28 +29 12 =45（人）.【答案】45人【巩固】芳草地小学四年级有 58人学钢琴，43人学画画，37人既学钢琴又学画画，问只学钢琴和只学画画 的分别有多少人？ACB【考点】两量重叠问题【难度】1星 【题型】解答【解析】

7、解包含与排除题，画图是一种很直观、简捷的方法，可以帮助解决问题，画图时注意把不同的对象与不同的区域对应清楚.建议教师帮助学生画图分析，清楚的分析每一部分的含义.如图，A圆表示学画画的人，B圆表示学钢琴的人，C表示既学钢琴又学画画的人，图中A圆不含阴影的部分表示只学画画的人，有：43_37=6（人），图中B圆不含阴影的部分表示只学钢琴的人，有：5837=21（人）.【答案】21人【巩固】四（二）班有48名学生，在一节自习课上，写完语文作业的有30人，写完数学作业的有 20人，语文数学都没写完的有6 问语文数学都写完的有多少人？ 只写完语文作业的有多少人？【考点】两量重叠问题【难度】1星【题型】解

8、答【解析】 由题意，有48 6 =42（人）至少完成了一科作业，根据包含排除原理，两科作业都完成的学生有：30 +20 -42 =8（人）. 只写完语文作业的人数 =写完语文作业的人数-语文数学都写完的人数，即 308 = 22 （人）.【答案】22人【巩固】四（1）班有46人，其中会弹钢琴的有 30人，会拉小提琴的有 28人，则这个班既会弹钢琴又会拉 小提琴的至少有 人。【考点】两量重叠问题【难度】1星【题型】填空【关键词】希望杯，四年级，二试，第 6题【解析】 至少一项不会的最多有（46-30）+（46-28）=34,那么两项都会的至少有 46-34=12人【答案】12例4如图，圆A表示1

9、到50这50个自然数中能被 3整除的数，圆B表示这50个数中能被5整除的数, 则阴影部分表示的数是 。【考点】两量重叠问题【关键词】希望杯，四年级，二试，第 4题【解析】阴影部分是A和B共有的，即1至IJ 50这50个自然数中能被 3X5=15整除的数，即15, 30, 45【答案】15 , 30 , 45【例5学校为了丰富学生的课余生活，组建了乒乓球俱乐部和篮球俱乐部，同学们踊跃报名参加，其中有321人报名参加乒乓球俱乐部，429人报名参加了篮球俱乐部，但学校最后发现有50人既报名参加了乒乓球俱乐部，又报名参加了篮球俱乐部，还有23人什么俱乐部都没报名，问该学校共有名学生.【考点】两量重叠问

10、题【难度】1星 【题型】填空【关键词】学而思杯，4年级，第5题【解析】321 +429 -50 +23 =723 人【答案】723人【例6 某班共有46人，参加美术小组的有 12人，参加音乐小组的有 23人，有5人两个小组都参加了.这 个班既没参加美术小组也没参加音乐小组的有多少人？【考点】两量重叠问题【难度】1星【题型】解答【解析】已知全班总人数，从反面思考，找出参加美术或音乐小组的人数，只需用全班总人数减去这个人数， 就得到既没参加美术小组也没参加音乐小组的人数.根据包含排除法知，该班至少参加了一个小组 的总人数为12 +23 -5=30 （人）.所以，该班未参加美术或音乐小组的人数是46

11、-30 = 16（人）.【答案】16人 【巩固】四年级一班有45人，其中26人参加了数学竞赛，22人参加了作文比赛，12人两项比赛都参加了.班有多少人两项比赛都没有参加？【考点】两量重叠问题【难度】1星【题型】解答【解析】由包含排除法可知，至少参加一项比赛的人数是：26+22 -12 =36（人），所以，两项比赛都没有参加的人数为：45 _36 =9 （人）.【答案】9人【巩固】 实验二校一个歌舞表演队里，能表演独唱的有10人，能表演跳舞的有 18人，两种都能表演的有 7人.这个表演队共有多少人能登台表演歌舞？【考点】两量重叠问题【难度】1星【题型】解答【解析】根据包含排除法，这个表演队能登台

12、表演歌舞的人数为：10+18_7=21（人）.【答案】21人【例7】 全班50个学生，每人恰有三角板或直尺中的一种，28人有直尺，有三角板的人中，男生是 14人，若已知全班共有女生 31人，那么有直尺的女生有 人。【考点】两量重叠问题【难度】1星【题型】填空【关键词】华杯赛，初赛，第 8题【解析】有三角板的学生共 50-28=22 （人），其中女生22-14=8 （人），那么有直尺的女生有 31-8=23 （人）。【答案】23人12人得满分，第一部分有25人做对，第二部分有19人有例8 某次英语考试由两部分组成，结果全班有 错，问两部分都有错的有多少人？两部分都有错的【考点】两量重叠问题【难度

13、】2星 【题型】解答【解析】如图，用长方形表示参加考试的人数，A圆表示第一部分对的人数.B圆表示第二部分对的人数，长方形中阴影部分表示两部分都有错的人数.已知第一部分对的有 25人，全又的有12人，可知只对第一部分的有： 2512 = 13（人）.又因为第二 部分有19人有错，其中第一部分对第二部分有错的有 13人，那么余下的19-13 = 6（人）必是第一部分 和第二部分均有错的，两部分都有错的有 6人.【答案】6人20人，会打篮球的有25人.两项都会的有10人，两项都不会的【例9】对全班同学调查发现，会游泳的有 有9人.这个班一共有多少人？【考点】两量重叠问题【难度】2星【题型】解答【解析

14、】如图，用长方形表示全班人数，A圆表示会游泳的人数，B圆表示会打篮球的人数，长方形中阴影部分表示两项都不会的人数.由图中可以看出，全班人数 =至少会一项的人数 +两项都不会的人数，至少会一项的人数为：20 +25-10 =35（人），全班人数为： 35+9=44 （人）.【答案】44人【巩固】 某班组织象棋和军棋比赛，参加象棋比赛的有 参加了，这个班参加棋类比赛的共有多少人？32人，参加军棋比赛的有 28人，有18人两项比赛都【考点】两量重叠问题【难度】2星【题型】解答【解析】如图，A圆表示参加象棋比赛的人，B圆表示参加军棋比赛的人，A与B重合的部分表示同时参加两项比赛的人.图中A圆不含阴影的

15、部分表示只参加象棋比赛不参加军棋比赛的人，有 32 18 =14（人）；图中B圆不含阴影的 部分表示只参加军棋比赛不参加象棋比赛的人，有 2818=10（人）.由此得到参加棋类比赛的人有 14+18+10 =42（人）.或者根据包含排除法直接得：32 +28 -18=42 （人）.【答案】42人【例10在46人参加的采摘活动中，只采了樱桃的有18人，既采了樱桃又采了杏的有7人，既没采樱桃又没采杏的有6人，问：只采了杏的有多少人？【考点】两量重叠问题【难度】2星【题型】解答【解析】如图，用长方形表示全体采摘人员46人，A圆表示采了樱桃的人数，B圆表示采了杏的人数.长方形中阴影部分表示既没采樱桃又

16、没采杏的人数.由图中可以看出，全体人员是至少采了一种的人数与两种都没采的人数之和，则至少采了一种的人数为：466 =40（人），而至少采了一种的人数 =只采了樱桃的人数 +两种都采了的人数 +只采了杏 的人数，所以，只采了杏的人数为：40187 =15（人）.【答案】15人【例11】甲、乙、丙三个小组学雷锋，为学校擦玻璃，其中68块玻璃不是甲组擦的，52块玻璃不是乙组擦的，且甲组与乙组一共擦了 60块玻璃.那么，甲、乙、丙三个小组各擦了多少块玻璃？【考点】两量重叠问题【难度】2星【题型】解答【解析】68块玻璃不是甲组才§的，说明这 68块玻璃是乙、丙两组擦的；52块玻璃不是乙组才&#

17、167;的，说明这 52块玻璃是甲、丙两组擦的.如图，用圆 A表示乙、丙两组擦的 68块玻壬B圆表示甲、丙两组擦的 52块玻璃.因甲乙两组共 擦了 60块玻璃，那么68 +52 -60 =60（块），这是两个丙组擦的玻璃数.6002 =30（块）.丙组擦了 30块玻璃.乙组擦了：68 -30 =38 （块）玻璃，甲组擦了： 52-30=22（块）玻璃.【答案】甲组擦了：52-30 =22（块）玻璃，乙组擦了： 68 -30 =38（块）玻璃，丙组擦了 30块玻璃。【例12】育才小学画展上展出了许多幅画，其中有 16幅画不是六年级的，有15幅画不是五年级的，五、六年级共展出25幅画，其他年级的画

18、共有多少幅？【考点】两量重叠问题【难度】2星【题型】解答【解析】通过16幅画不是六年级的可以知道，五年级和其他年级的画作数量之和是16,通过15幅画不是五年级的可以知道六年级和其他年级的画作数量之和是15,那也就是说五年级的画比六年级多1幅，我们还知道五、六年级共展出25幅画，进而可以求出五年级画作有13幅，六年级画作有12幅，那么久可以求出其他年级的画作共有3幅.【答案】3幅【例13】47名学生参加数学和语文考试，其中语文得分95分以上的14人，数学得分95分以上的21人，两门都不在95分以上的有22人.问：两门都在 95分以上的有多少人？【考点】两量重叠问题【难度】2星 【题型】解答【解析

19、】如图，用长方形表示这 47名学生，A圆表示语文得分95分以上的人数，B圆表示数学得95分以上的人数，A与B重合的部分表示两门都在 95分以上的人数，长方形内两圆外的部分表示两门都不在 95分以上的人数.由图中可以看出，全体人数是至少一门在 95分以上的人数与两门都不在 95分以上的人数之和， 则至 少一门在95分以上的人数为：47 22 =25（人）.根据包含排除法，两门都在95分以上的人数为：14 +21 25 =10（人）.【答案】10人【巩固】 有100位旅客，其中有10人既不懂英语又不懂俄语，有75人懂英语，83人懂俄语.问既懂英语又懂俄语的有多少人？【考点】两量重叠问题【难度】2星

20、 【题型】解答【关键词】迎春杯【解析】方法一：在100人中懂英语或俄语的有：10010 =90（人）.又因为有75人懂英语，所以只懂俄语的 有：90 75=15（人）.从83位懂俄语的旅客中除去只懂俄语的人，剩下的83-15 =68（人）就是既懂英语又懂俄语的旅客.方法二：学会把公式进行适当的变换，由包含与排除原理，得：A UB =A +B -AHb =75 +83-90=68（人）.【答案】68人 【例14】一个班48人，完成作业的情况有三种：一种是完成语文作业没完成数学作业；一种是完成数学作业没完成语文作业；一种是语文、数学作业都完成了.已知做完语文作业的有37人；做完数学作业的有42人.

21、这些人中语文、数学作业都完成的有多少人？【考点】两量重叠问题【难度】2星 【题型】解答【解析】不妨用下图来表示：完成第咬业的人数完成数蓦业的人数线段AB表示全班人数，线段 AC表示做完语文作业的人数，线段DB表示做完数学作业的人数，重叠部分DC则表示语文、数学都做完的人数.根据题意，做完语文作业的有37人，即AC =37 .做完数学作业的有 42人，即DB=42.AC +DB =37 +42=79 （人） AB =48（人）-式减式，就有DC =79-48 =31（人）,所以，数学、语文作业都做完的有31人.【答案】31【巩固】 四年级科技活动组共有 63人.在一次剪贴汽车模型和装配飞机模型的

22、定时科技活动比赛中，老师到时清点发现：剪贴好一辆汽车模型的同学有42人，装配好一架飞机模型的同学有34人.每个同学都至少完成了一项活动.问：同时完成这两项活动的同学有多少人？【考点】两量重叠问题【难度】2星【题型】解答【解析】因42 +34 =76 , 76 >63 ,所以必有人同时完成了这两项活动.由于每个同学都至少完成了一项活动，根据包含排除法知，42 +34 -（完成了两项活动的人数 ）=全组人数，即76-（完成了两项活动的人数）=63.由减法运算法则知，完成两项活动的人数为76-63 =13（人）.也可画图分析.【答案】13人 【巩固】 科技活动小组有55人.在一次制作飞机模型和制作舰艇模型的定时科技活动比赛中，老师到时清点发现：制作好一架飞机模型的同学有40人，制作好一艘舰艇的同学有 32人.每个同学都至少完成了一项制作.问两项制作都完成的同学有多少人?【考点】两量重叠问题【难度】2星【解析】因为40+32 =72, 72 >55 ,所以必有人两项制作都完成了.由于每个同学都至少完成了一项