五年级奥数.几何.勾股定理与弦图(C级).学生版

1、.f J、田 j布L 课刖顶习华盛顿的傍晚亲爱的小朋友们：“在那山的那边海的那边的美国首都华盛顿，有一位中年人， 他聪明又勤奋， 他潜心探讨，他反复思考与演算”，那是 1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员加菲尔德。他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。由于好奇心驱使，加菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。于是加菲尔德便问他们在干什么？那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如

2、果直角三角形的两条直角边分别为3和4,那么斜边长为多少呢？”加菲尔德答道：“是 5呀。”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7,那么这个直角三角形的斜边长又是多少？ ”加菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上 7的平方. ”小男孩说：“先生，你能说出其中的道理吗？”加菲尔德一时语塞，无法解释了，心里很不是滋味。加菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他出的难题。他经过反复思考与演算，终于弄清了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。具体方法如下：两个全等的 RtABC和RtBDE可以拼成直角梯形 ACDE则梯形面积等于三个直角三角形面积之和。即(AC+ DE) Xd 冢

3、 ACX BO2FBDX D上 斗 ABX B& 2(a+b) 2+2= axbf ax bf cXc+2化简整理得a2+b2=c2EC aB b D点评：此种解法主要利用了三角形的面积公式：底X高安，和梯形的面积公式：(上底+下底)X高登.而在我国对于勾股定理的证明又做出了那些贡献哪？在我国古代，把直角三角形叫做勾股形。把直角三角形的较短直角边称为勾”，较长直角边为股”，斜边称为 弦”，所以把这个定理称为勾股定理”。勾股定理揭示了直角三角形边之间的关系。即：在直角三角形中俩条直角边的平方和等于斜边的平方。公元前11世纪的周髀算经中提到：故折矩，以为句广三，股修四、径修五.既方之.外半

4、卿一矩，环而共盘.得成三、四、五.通既方之4fh升半之三国时期的赵爽注解道：句股各自乘,并之为弦实，开方除之倍之为朱实四，以句股之差自相乘为中黄实,加差之,亦成弦实.区既方之懒h环而共盘c.环而共撤,即弦.案：弦图又可以句股相乘为朱实二外半之.其中解释到：短面曰句，长面曰股，相与结汉朝张苍、狄昌寿整理的九章算术第九卷为句股 角曰弦.句短其股，股短其弦.句股各自乘，并，而开方除之，即弦。勾股定理的证明:(1)方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形:一.22.1.SE 方形 ABCD = a b =c 4 ab(2)方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形:2Sfc万形 EF

5、GH = ca - b 1，4： -abGF(3)方法三： 总统”法如图所示将两个直角三角形拼成直角梯形:S弟形 ABCD=(a b)(a b) =2 1ab 1c2 2223、 4、 5;知识框架勾股定理：直角三角形中的两直角边平方后的和等于斜边的平方.注：勾一一最短的边、股一一较长的直角边、弦斜边。勾股定理实际上包含两方面的内容： 如果一个三角形是直角三角形，那么两条直角边的平方之和等于斜边的平方；如果一个三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么它一定是直角三角形.勾股数：满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数.常用勾股数:5、 12、 13; 7

6、、 24、 25; 8、 15、 17。弦图:EFrJ重难点1 .会用勾股定理解决简单问题。2 .会用勾股定理的逆定理判定三角形是否为直角三角形3 .勾股定理与弦图的联系与应用岸 例题精讲【例1】如图，以一个直角三角形的三边为边长分别向外作三个正方形，如果两个较大正方形的面积分别 是576和676,那么最小的正方形的面积为【巩固】如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为27cm,则正万形A, B, C, D的面积之和为 cm。例 2已知，如图，四边形 ABCD43, AB=3cm AD=4cm BC=13cm CD=12cm 且ZA=90°

7、 ,求四边形ABC而面积。【例3】在B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60。方向以每小时8海里的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时15海里的速度前进，2小时后，甲船到 M岛，乙船到P岛，两岛相距34海里，你知道 乙船是沿哪个方向航行的吗？【巩固】如图，某沿海开放城市 A接到台风警报，在该市正南方向100km的B处有一台风中心，沿 BC方向以20km/h的速度向D移动，已知城市 A到BC的距离AD=60km那么台风中心经过多长时间从B点移到正在D点休闲的游人在接到台D点？如果在距台风中心 30km的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险, 风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？【例4】 从一个

8、正方形的木板上锯下宽0.5米的一个长方形木条以后，剩下的长方形的面积为5平方米,问锯下的长方形木条的面积等于多少?坪方米336平方分【巩固】从一块正方形玻璃上裁下宽为16分米的一长方形条后，剩下的那块长方形的面积为米，原来正方形的面积是多少平方分米?【例5】如图，P是正方形ABC/卜面一点，船为12厘米.4APB的面积是90平方厘米，ACPB勺面积是48平方厘米.请你回答：正方形ABCM面积是多少平方厘米 ？有一个长方形，它的长是宽的4倍，对角线长34cm。求这个长方形的面积。【例6】.如图，EFGH正方形 ABCD勺内接四边形，四边形 EFGH的面积是94.5.已知EG=15,FH=13，求

9、正方形ABC而面积.【巩固】如图所示，在四边形 ABCM, E, F, G, H分别是ABC哈边的中点，求阴影部分与四边形PQRS的面积之比。HD【例7】.如图，一张长14厘米，宽11厘米的长方形纸片最多能裁出多少个长4厘米、宽1厘米的纸片样裁？青画图说明.【巩固】三个面积都是 12的正方形放在一个长方形的盒子里面，如图 7-15,盒中空白部分的面积已经标 出，求图中大长方形的面积？图775【例8】.有5个长方形,它们的长和宽都是整数,且5个长和5个宽恰好是110这10个整数；现在用这5个长方形拼成1个大正方形，那么，大正方形面积的最小值为多少 ？【巩固】已知两数的和为 3,两数的积为1.25

10、,求两数?例9.如图,A在线段BG上,ABCD和DEFGIB是正方形，面积分别为7和11.求三角形CDE勺面积的平方【巩固】(第8届华罗庚金杯赛小学组第一试决赛试题第4题)如图32-6(b),平面上CDEF是正方形，ABCD是等腰梯形，它的上底肋为23厘米，下底口 C为35厘米.求三角形ADE的面积.【例10】园林小路，曲径通幽.如图32-7所示，小路由白色正方形石板和青、红两色的三角形石板铺成.问:内圈三角形石板的总面积大，还是外圈三角形的总面积大？请说明理由.图 32-7【巩固】一个长方形若能分割成大小不一样的小正方形，则称它为完美长方形。下图完美长方形可以分割成9个小正方形，其中小正方形

11、 A和B的边长分别为5厘米和9厘米，那么大长方形的面积是多少平方厘米？1平方课堂检测1、四个完全一样的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形（如图）如果小正方形的面积是米，大正方形的面积是 5平方米，那么直角三角形中，最短的直角边长度是2、请问下图正方形的面积是 平方厘米。3、如图7-4, 一个边长为1米的正方形被分成 4个小长方形，他们的面积分别是10平方米、5平方米、115平方米和10平方米。已知图中的阴影部分是正方形，那么它的面积是多少平方米？k!p （西城实验考题）E不拿二一样的直角三角形相一个小正方形拼成一个大正方加图）如果小正方形面枳是1GL加系复习总结大正方形面积是5平方米，那

12、麽直曲三角形中,最短的直角边长度是米.根据直角三角形计算出三角形中第三边甲长用，在计算时可;以借助分解质因数，或者根据三遍关系判断是 直角三角形；有直角的通过加辅助线构造通过对弦图进行观察分析得出构成弦图 M角三角形两亩j边的次系,始终要有方程意识昉形面积是1平方米.大正方形面积是5平方米所以外边四个面积和是5-1=4, 一 每个三角形的面枳是1，这个图形是“玄形”，所以长直角边和短直角边差就是中 GLW”喇g作曲求明融百是1.1、左下图中有三个直角三角形。请问x=厘米。2、用同样的长方形条砖，在一丛花的周围镶成一个正方形边框，如右图.边框的周长为264厘米.里边小正方形的面积为900平方厘米，问每块长方形条砖的长和宽各是多少厘米？3 .如下图所示，红、黄、绿三块大小一样的正它们方形纸片，放在一个正方形盒内，它们之间相互叠合, 已知露在外面的部分中， 红色的面积是20 ,黄色的面积是14 ,绿色的面积是10,那么，正方形盒子的 底面积是. （2003年一零一培训学校期末考试题（2003年12月）第17题）4 .如图：长方形的面积是小于 100的整数，他的内部由三个边长是整数的正方形，正方形的边长是51，、一一一，.长方形长的 ,正方形的边长是长方形宽的-，那么图中阴影部分的面积是多少？1285 .在直角