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文档简介
1、 单因素方差分析在数理统计中的应用摘要:在详细阐述单因素方差分析原理的基础上,通过两个具体的数学建模案例,说明单因素方差分系的应用及与假设检验的关系,并利用Matlab 实现了两个案例的求解。在数理统计的授课过程中,这种结合不仅能激发学生的学习兴趣,而且能培养学生自己动手、解决问题的能力。关键词:单因素方差分析;数理统计;数学建模;应用;假设检验0引言方差分析又称“变异数分析”或“F 检验”,是由R. A. Fisher 发明的,用于对两个及两个以上样本均数差别的显著性检验。单因素方差分析是检验在一种因素影响下,两个以上总体的均值彼此是否相等的一种统计方法。由于单因素方差分析的原理抽象、计算繁
2、琐、导致教学枯燥无味。基于此,文中详细阐述了单因素方差分析的原理,通过两个具体的数学建模案例,说明单因素方差分系的应用及与假设检验的关系,并利用Matlab 实现了两个案例的求解。在数理统计的授课过程中,这种从理论到应用,再从应用到上机实现的过程,让学生体会到“学以致用”的真正含义,激发了学生的学习兴趣,同时也提高了学生的动手能力。1单因素方差分析原理设单因素A 具有r 个水平,分别记为A1,A2,Ar ,在每个水平Ai (i =1,2,r)下,要考察的指标可以看成一个总体Xi (i =1,2,r)且Xi N(i ,2 ),水平Ai (i =1,2,r)下,进行ni 次独立试验,样本记为Xij
3、 ,i =1,2,r,j =1,2,ni ,Xij N(i ,2)且相互独立。1. 1建立假设假设检验为H0:1 = 2 = = r . ,备择假设为H1:1,2,r 不全相等。由于Xij - i = ij ,记 = ni i ,n = ni . ,i = i - ,i =1,2,r,则数学模型为:Xij = + i + ij ,i =1,2,r,j =1,2,nini i =0ij N(0,2),各个ij相互独立,i 和2 未知故原假设改写为: H0:1 = 2 = = r =0 (1) 1. 2构造统计量为了构造检验假设(1)的统计量,首先,需要找到引起Xij波动的原因。从Xij = +
4、i + ij中可以看出,若检验假设(1)为真,则Xij的波动纯粹是随机性引起的;若检验假设(1)为假,则Xij 的波动是由第i 个水平和随机性共同引起的。因而,需要构造一个量来刻画Xij 之间的波动,并把引起波动的上述两个原因用另外两个量表示,这就是方差分析中的平方和分解法。记Xi. = Xij , = Xij引入ST = (Xij -)= (Xij -Xi) + (Xi -)= SE + SA又因为SA = (X -i -X ) = (i + i - ) SE = =(Xij -Xi. )= (ij - i)。若H0 成立,SA 只反映随机波动,若H0 不成立,SA 还反映了A 的不同水平效
5、应i 。单从数值上看,当H0成立时,SA / (r -1) SE / (n - r)1,而当H0 不成立时,这个比值将远大于1。可以证明:ST / 2 2 (n -1);SE / 2 2 (n- r);SA / 2 2(r -1),且SE 与SA 相互独立。故构造统计量F = (n - r)SA/(r -1)SE F(r -1,n - r)。1. 3对于给定的水平,确定拒绝域由于H0 不真时,SA 值偏大,导致F 值偏大。因此,1)若F F1 - a (r -1,n - r)时,拒绝H0,表示因素A 的各水平下的效应有显著差异;2)若F 时接受H02数学建模案例在概率论与数理统计中的应用2.
6、1案例1让4 名学生前后做3 份测验卷,得到如表2 的分数,推断3 份测验卷测试的效果是否有显著性差异 表2学生测试分数表序号试卷A试卷B试卷C学生171.773.472.3学生271.572.672.1学生370.172.370.8学生470.672.271.6解:编写程序如下:clc,clearx = 71. 773. 472. 371. 572. 672. 170. 172. 370. 870. 672. 271. 6;p = anova1(x)x1 = x(:,1);x2 = x(:,2);x3 = x(:,3);h1,p1 = ttest2(x1,x2,0. 05,0)h2,p2 =
7、 ttest2(x1,x3,0. 05,0)h1,p3 = ttest2(x2,x3,0. 05,0)求得0. 01 p =0. 0198 0. 05,所以拒绝原假设,说明3 份测验卷至少有2 份测试的效果有显著性差异。通过双正态总体假设检验的分析,得到h1 =1,拒绝原假设,说明第1 份测验卷与第2 份测试卷测试的效果有显著性差异,h2 =0,h3 =0,接受原假设,说明第1 份测验卷与第3 份测试卷、第2 份测验卷与第3 份测试卷测试的效果没有显著性差异,又因为p2 =0. 2003, p3 =0. 0754, 说明第1 份测验卷与第3 份测试卷测试的效果更相似。这个案例为同一时间需要区分
8、A,B 卷的出题老师,提供了较好的选择。2. 2案例2从某学校同一年级中随机抽取20 名学生,再将他们随机分成4 组,在2 周内4 组学生都用120 分钟复习同一组概率公式,第一组每个星期一复习一次60 分钟;第二组每个星期一和三两次各复习30 分钟;第三组每个星期二、四、六三次各复习20 分钟;第四组每天(星期天除外)复习10 分钟。2 周复习之后,相隔2 个月再进行统一测验,其结果如表3 所示。推断这4 种复习方法的效果之间有没有显著性差异? 表3测试成绩表序号第一组第二组第三组第四组1242930272262528313202132324282730335222826630解:编写程序如
9、下:clc,clearx = 2429302726252831202132322827303322282630;x = x(1:5),x(6:10),x(20),x(11:15),x(16:19);g = ones(1,5),2nes(1,6),3nes(1,5),4nes(1,4);p = anova1(x,g)x1 = x(1:5);x2 = x(6:11);x3 = x(12:16);x4 = x(17:20);h1,p1 = ttest2(x1,x2,0. 05,0)h2,p2 = ttest2(x1,x3,0. 05,0)h3,p3 = ttest2(x1,x4,0. 05,0)h4
10、,p4 = ttest2(x2,x3,0. 05,0)h5,p5 = ttest2(x2,x4,0. 05,0)h6,p6 = ttest2(x3,x4,0. 05,0)求得0. 01 p =0. 0140 0. 05,所以拒绝原假设,说明这4 种复习方法中至少有2 种复习方法的效果之间有显著性差异。通过双正态总体假设检验的分析,得到h1 = h4 = h5 = h6 =0,接受原假设,说明第1 种与第2 种、第2 种与第3 种、第2 种与第4 种、第3 种与第4 种复习方法的效果之间没有显著性差异。而h2 =h3 =1,拒绝原假设,说明第1 种与第3 种、第1 种与第4 种复习方法的效果之间有显著性差异。案例2 说明,复习方法应该采用重复记忆的方式,一次的复习时间也不能太短。3结语在实际授课过程中,将理论知识条理化,扩充一些理论与实际相结合的例子,对于较复杂的计算方法利用matlab 实现,不仅可以促进学生对理论知识的理解,让学生深刻体会到理论在实际中的应用,而且可以加强学生的动手操作能力,从而激发学生学习兴趣,更有利于实现应用型人才的培养目标。参考文献:1易昆南,程勋杰. “假设检验”决
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